精品解析：　陕西西安市雁塔区西安辅伦学校2026-2027学年上学期九年级学情自测数学试题

数学练习1 一、选择题（共9小题，每题4分，共36分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．化简后方程的二次项系数是，故此选项不符合题意； B．方程的二次项系数可能为，故此选项不符合题意； C．化简后符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； D．这个方程不是整式方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．理解和掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 2. 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 3. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 4. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据关于x的方程有两个不相等的实数根．构建不等式求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出方程即可． 【详解】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：； 故选D． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 8. 如图，中，，垂足为，，垂足为点，与交于点，则图中与不相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； C．条件不足，无法证明：与相似，选项错误，符合题意； D．由B知：， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 9. 如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，过点作交于点，证明出，得到是的中位线，根据已知条件及全等三角形的判定即可求出结果． 【详解】如解图，过点作交于点， ∴ ∴ ， ∴ ∴ 是的中位线， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 故答案选：C． 二、填空题（共9小题，每题3分，共27分） 10. 已知关于x的一元二次方程，当的斜边长a为，且两条直角边的长b、c恰好是这个方程的两个根，的周长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长． 【详解】根据根与系数的关系得， ∵b、c为直角边，斜边长a为， ∴， ∴， ∴， 整理得， ， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴△ABC的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，熟练掌握，是解题的关键． 11. 如图，已知篱笆总长为，现利用一面墙墙的最大可用长度为和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为，则花圃的宽为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 设的长为，则为，然后根据花圃面积为列关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设的长为，则， 根据题意得：， 解得：，， 当时，不符合题意舍去， ∴的长为． 故答案为：5． 12. 如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，，  ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中，   ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 13. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 【答案】6 【解析】 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 14. 若，则的值为 ______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知可得，，，即可得，再分和两种情况解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 当时，解得； 当时，， ∴； 综上，的值为或， 故答案为：或． 15. 在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，二次函数的性质．根据题意得到，先将配方得到，由，进而得到，即可得到，再根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：是关于字母的二次三项式， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 16. 如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程方程．设，由折叠的性质知，结合三角形内角和定理，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， 由折叠的性质知， ∴，，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， 故答案为：． 17. 如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定． 连接，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：连接，如图， 四边形为菱形， ，，， ， ， ∵， 四边形为平行四边形， ， 由，可设，，则， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质．设，则，由折叠的性质得，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：设，则，由折叠的性质得， 分两种情况讨论， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（共6大题，合计57分） 19. 用因式分解法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：原方程可变形为， 提取公因式得， 即， 因此或， 解得，； 【小问2详解】 解：移项整理原方程得， 因式分解得， 因此或， 解得，． 20. 用公式法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：即， ∴， ， ∴，. 【小问2详解】 解：， ∴， ， ∴，． 21. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 22. 【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得，，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ， ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 23. 喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价； 任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现？若能，求出销售价；若不能，请说明理由． （利润率＝） 【答案】（1）降价8元，则每天销售智能摆件的利润为1152元； （2）希望每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大，则每件智能摆件的销售价应该定为75元； （3）不能，理由如下： 设每件智能摆件降价元， ∵为了保证每件智能摆件的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件智能摆件的利润率不低于，小华每天不能获得1200元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件智能摆件降价元，根据“为了保证每件智能摆件的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售智能摆件的利润为元； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠力度最大， ∴， ∴每件智能摆件的销售价应该定为元； （3）略 24. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，从而可得，即可得结果； （2）利用“一线三等角”得出，则，，代入计算得，再利用勾股定理求出的长，从而得出答案； （3）过作于点，则易得，，，由对应边成比例可得，设，，则在中，由勾股定理可得，的关系，从而可求得结果． 【详解】解：（1）根据折叠的性质，得，， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处． ，， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， ，，， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ， ， ， ， ； （3）过作于点，如图， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习1 一、选择题（共9小题，每题4分，共36分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 3. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 4. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，中，，垂足为，，垂足为点，与交于点，则图中与不相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共9小题，每题3分，共27分） 10. 已知关于x的一元二次方程，当的斜边长a为，且两条直角边的长b、c恰好是这个方程的两个根，的周长为_____． 11. 如图，已知篱笆总长为，现利用一面墙墙的最大可用长度为和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为，则花圃的宽为__________． 12. 如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 13. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 14. 若，则的值为 ______ ． 15. 在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是________． 16. 如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为______． 17. 如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为______． 18. 如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为___________ 三、解答题（共6大题，合计57分） 19. 用因式分解法解下列方程： （1） （2） 20. 用公式法解下列方程： （1） （2） 21. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 22. 【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 23. 喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价； 任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现？若能，求出销售价；若不能，请说明理由． （利润率＝） 24. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $