精品解析：辽宁省名校联盟2026-2027学年高三上学期开学考数学试卷

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定的规律可知，命题的否定为： 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式化简集合B，再根据交集的定义计算A与B的交集. 【详解】由不等式解得或，则或， 因，由，解得， 故. 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 因为，所以， 所以 4. 已知a，b均为正数，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用可得，结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用展开式的通项即可求解. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，且， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为80. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，利用恒正的性质，将区间上单调递减转化为二次因式恒小于等于0，结合二次函数解集与给定区间的包含关系求解参数范围. 【详解】 ， 因为，因此在上单调递减等价于对任意，恒成立， 二次函数图像开口向上， 零点为，，，所以不等式的解集是, 则 ，需满足 ， 解得，即. 7. 一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（ ）（附：） A. 6.3小时 B. 7.9小时 C. 9.3小时 D. 10.5小时 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，得，因，消去后得，对等式两边取自然对数，得，解得， 当时，代入公式得，消去得，取自然对数得， 将代入，得， 根据对数换底公式，得，因此小时. 8. 不透明的甲、乙两个袋子中装有若干个球，其中甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从甲、乙两个袋子中各随机抽取一个球，记下两个球的颜色，并放回原袋中，视为一次抽奖，且规定一次抽奖抽取的2个球中至少有一个黑球即为中奖，现随机抽奖（）次，记中奖次数为，已知概率最大，则（）的值为（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】先计算单次抽奖中奖概率，确定中奖次数服从二项分布，利用二项分布概率取最大值的条件列不等式求解的取值范围即可. 【详解】中奖的对立事件为从甲、乙两袋均抽取白球，甲袋取白球概率为，乙袋取白球概率为， 因此单次中奖概率， 抽奖次的中奖次数服从二项分布， 概率公式为， 若最大，则满足： ， 对第一个不等式化简： ， 对第二个不等式化简： ， 结合且，得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某商家投入经费（单位：万元）与销售量（单位：吨）的统计结果如下表． 投入经费 1 2 3 4 5 销售量 1 4 8 13 19 根据上表，可得关于的回归直线方程为，则（ ） A. 变量与的相关系数 B. C. 当时，销售量的预测值为 D. 当时，销售量的残差为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据表格求出样本中心点代入回归方程得到，再逐项分析判断即可. 【详解】由表格知，，， 因回归直线经过样本中心点，代入得，解得. 对于A：回归系数，说明与正相关，相关系数，故A正确； 对于B：由上述计算得，故B正确； 对于C：当时，销售量预测值，故C正确； 对于D：当时，预测值，残差为，故D错误. 10. 已知随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先结合已知条件求出，再逐一推导各选项的概率值. 【详解】 选项A：根据条件概率的性质，在事件发生的前提下，发生与发生的概率和为1，因此，A正确； 选项B：由条件概率公式，得，再由概率加法公式：，B正确。 选项C：根据条件概率公式，，其中，代入得，C错误； 选项D：，因此，故，D正确. 11. 已知函数（），则（ ） A. 当时，为的极值点 B. 当时， C. 当时，的极值点由小到大成等差数列 D. 当时，由小到大的极值点对应的极值成等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】把代入，由极值点的意义及不等式的性质判断AB；求出极值点，利用等差数列、等比数列定义判断C D. 【详解】函数，求导得， 令， 对于A，当时，， 由，得，则不是函数的极值点，A错误； 对于B，当时，，由，得， 因此，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，其中由确定，， 由，得，当时，， 显然是的变号零点，则是函数的极值点，，数列是等差数列， 当时，，同理数列是等差数列， 因此的极值点由小到大成等差数列，C正确； 对于D， 当时，或，， ；当时，，， ，数列是构成等比数列，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙等5人站成一排，甲不在两端，乙和丙相邻，则不同的排法共有_________种（用数字作答）． 【答案】 24 【解析】 【分析】相邻捆绑，先排其余元素造空隙，再把受限的甲插入非两端空隙. 【详解】将乙丙捆绑：内部排列有种，乙丙捆绑整体与不是甲的另外2人，共3个元素全排列，有种， 3 个元素排好产生 4 个空隙，因为 甲不能在两端，所以甲只能选中间 2 个空隙插入，有种， 由分步乘法计数原理，不同的排法共有种. 13. 若一组成对数据（，2，…，n）的相关系数，则数据（，2，…，n）的相关系数为__________．（相关系数的计算公式为，其中，） 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的相关系数计算公式，将因变量扩大2倍后的新变量代入公式化简，即可求得新的相关系数. 【详解】设新成对数据为，其中，, 因此，, 设新数据的相关系数为， 所以 ，  故所求相关系数为. 14. 设正整数，其中（），记，则_________． 【答案】5145 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二进制数的意义求出到的二进制表示中1的总个数即可. 【详解】依题意，是正整数的二进制表示中数字1的个数， ，由，得的二进制表示中有10个1， 即，而的二进制表示可记为，因此到的二进制表示均可记为10位二进制数的形式， 共有个数位，又每个数位上0和1是等可能出现的，因此到的二进制表示中共有个1， 即，由，得，， ， ， ， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某校学生参加篮球运动的情况，采用按性别按比例分配的分层随机抽样的方法进行调查．已知该校共有学生6000人，其中男生3600人，从全校学生中抽取了一个容量为的样本，得到学生一天中参加篮球运动的时间统计数据如下： 超过1小时 不超过1小时 男 180 120 女 100 （1）求m，n； （2）分析是否有95%的把握认为该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别有关？附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有95%的把握认为该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别有关. 【解析】 【小问1详解】 全校共6000人，男生3600人，则女生人数：6000-3600=2400， 分层随机抽样，抽样比男女相同，样本里男生总数：180+120=300， 抽样比：， 抽取女生样本总量：，女生样本：， 样本总容量：. 【小问2详解】 零假设为: 该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别无关, 整理列联表： 超过1小时 不超过1小时 合计 男 180 120 300 女 100 100 200 合计 280 220 500 卡方公式： 其中 ， ， 根据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，认为该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别有关. 16. 已知幂函数，且在定义域上不单调． （1）证明：是奇函数； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）根据幂函数的定义：幂函数的系数必须为1，即， 整理得，解得或， 若，则，根据幂函数的性质可知： 在和上都单调递减， 但在整个定义域上不单调，符合条件， 若，则，定义域为， 在定义域上单调递增，不符合“不单调”的条件，舍去， 因此，定义域为， 关于原点对称，且对任意定义域内的，有：  ，故是奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据幂函数定义求出的可能值，再结合不单调条件确定，最后验证证明奇函数. （2）利用奇函数性质将不等式转化，再根据函数单调性分情况讨论求解的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 又因为是奇函数，所以， 由（1）可知，，根据幂函数的性质可得： 在和上单调递减， 所以不等式成立的条件是两个自变量同属一个单调区间， 且自变量的绝对值满足，同时自变量不能为0，即： 1）两个自变量都大于，，即，解得， 2）两个自变量都小于，，即，无解， 3）且，则，即，解得， 4）且，则，即，解得， 此时正数函数值小于负数函数值，不成立，舍去， 综上所述：的取值范围是. 17. 已知函数的两个极值点互为相反数，且极小值为． （1）求，的值； （2）求曲线经过原点的切线方程； （3）已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理求得，再讨论函数单调性即可得，解方程即可求得； （2）分为切点和不是切点两种情况讨论求解即可； （3）结合函数的单调性，极值讨论求解即可. 【小问1详解】 由得， 因为函数的两个极值点互为相反数， 所以有两个不相等的实数根，且互为相反数，不妨设为， 所以，由韦达定理得，解得， 所以，解得， 所以，当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，当时，函数取得极小值， 因为极小值为， 所以，即，解得， 所以， 【小问2详解】 结合（1）知，， 当为切点时，，此时切线方程为，即； 当不是切点时，设切点为，则切线斜率为， 此时切线方程为：， 因为切线过点， 所以，即，解得，与矛盾， 所以，不存在切点不是原点，且过原点的切线. 综上，过原点切线只有. 【小问3详解】 由（1）知，， 所以，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因为，，，， 所以，当函数在区间上的值域为，需满足， 所以实数的取值范围为. 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有两类答题方式．每位参加比赛的同学先在两类答题方式中选择一类并从中回答（）道题，且每道题的答题结果相互独立．在类答题方式中，答完道题比赛结束，每道题回答正确得3分，否则得0分；类答题方式中，从第一道题开始，若回答正确，则继续答下一道题，直到答错题（或答完道题）终止答题，比赛结束，每答对一道题得10分，答错一道题得0分． 已知甲选择类答题方式，乙选择类答题方式，且甲能正确回答每道题的概率为，乙能正确回答每道题的概率为，记X、Y分别为甲、乙两人的累计得分． （1）当时，求；（用含的式子表示） （2）当时，求的分布列和数学期望； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） 0 3 6 9 数学期望 （3）证明：先计算： 甲答对题数服从，故，， 再计算：设乙答对题数为的可能取值为， 对任意有限，，， ， 令， 设， ， 两式相减：， ， 因为，所以， ， ， 所以， ， ，即， 因此， 当时，，结合，得，证毕． 【解析】 【分析】（1）利用二项分布方差公式和方差线性性质求解； （2）枚举取值计算对应概率得到分布列后求期望； （3）分别计算两个期望的表达式，结合的有界性与时的取值比较完成证明． 【小问1详解】 设甲答对题数为，由题意知，， 根据二项分布方差公式：， 由得分规则得，结合方差性质， 得． 【小问2详解】 当时，的所有可能取值为， ， ， ， ， 据此可得的分布列， 0 3 6 9 数学期望． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中． （1）求函数的单调区间； （2）设存在两个极值点，，记，． （ⅰ）求直线的斜率的最大值； （ⅱ）证明：直线与曲线有异于A，B的交点． 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）(i) （ii）证明：结合（i）得直线的方程为， 整理得 设函数， 令，则 显然，， 要证明直线与曲线有异于的交点，只需证明函数在上有三个零点， 则，其中， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在区间上仅有极小值点， ①估计： 由(i)知在单调递减，， 设，则在单调递增， 所以 ②估计： ③ 估计极小值，先证不等式：， 设，则 所以，在单调递增，故，即,. 于是 由均值不等式，等号当且仅当即，而，取不到等号. 所以，即 由①②③，结合零点存在定理可得： ，使得；，使得， 于是时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 结合： 在递增，故； 在递减，故， 由零点存在定理，，使得，且， 即直线与曲线有异于的交点，其横坐标为 【解析】 【分析】（1）直接求导，结合导数的符号判断函数的单调区间即可； （2）（i）结合（1）得，，进而得，，再构造函数，求解函数的最值即可； （ii）求出直线的方程，进而构造函数将问题转化为研究函数的零点问题，再利用导数，结合零点存在性定理判断即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ，， 令得，， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，是函数的极大值点，是函数的极小值点 因为存在两个极值点，，所以，， 所以， ， 所以， 设函数，则，. 设函数， 则， 所以，在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即在上单调递减， 所以，即在上的最大值为， 所以，直线的斜率的最大值为. (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 已知a，b均为正数，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 100 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（ ）（附：） A. 6.3小时 B. 7.9小时 C. 9.3小时 D. 10.5小时 8. 不透明的甲、乙两个袋子中装有若干个球，其中甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从甲、乙两个袋子中各随机抽取一个球，记下两个球的颜色，并放回原袋中，视为一次抽奖，且规定一次抽奖抽取的2个球中至少有一个黑球即为中奖，现随机抽奖（）次，记中奖次数为，已知概率最大，则（）的值为（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某商家投入经费（单位：万元）与销售量（单位：吨）的统计结果如下表． 投入经费 1 2 3 4 5 销售量 1 4 8 13 19 根据上表，可得关于的回归直线方程为，则（ ） A. 变量与的相关系数 B. C. 当时，销售量的预测值为 D. 当时，销售量的残差为 10. 已知随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（），则（ ） A. 当时，为的极值点 B. 当时， C. 当时，的极值点由小到大成等差数列 D. 当时，由小到大的极值点对应的极值成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙等5人站成一排，甲不在两端，乙和丙相邻，则不同的排法共有_________种（用数字作答）． 13. 若一组成对数据（，2，…，n）的相关系数，则数据（，2，…，n）的相关系数为__________．（相关系数的计算公式为，其中，） 14. 设正整数，其中（），记，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某校学生参加篮球运动的情况，采用按性别按比例分配的分层随机抽样的方法进行调查．已知该校共有学生6000人，其中男生3600人，从全校学生中抽取了一个容量为的样本，得到学生一天中参加篮球运动的时间统计数据如下： 超过1小时 不超过1小时 男 180 120 女 100 （1）求m，n； （2）分析是否有95%的把握认为该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别有关？附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知幂函数，且在定义域上不单调． （1）证明：是奇函数； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数的两个极值点互为相反数，且极小值为． （1）求，的值； （2）求曲线经过原点的切线方程； （3）已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有两类答题方式．每位参加比赛的同学先在两类答题方式中选择一类并从中回答（）道题，且每道题的答题结果相互独立．在类答题方式中，答完道题比赛结束，每道题回答正确得3分，否则得0分；类答题方式中，从第一道题开始，若回答正确，则继续答下一道题，直到答错题（或答完道题）终止答题，比赛结束，每答对一道题得10分，答错一道题得0分． 已知甲选择类答题方式，乙选择类答题方式，且甲能正确回答每道题的概率为，乙能正确回答每道题的概率为，记X、Y分别为甲、乙两人的累计得分． （1）当时，求；（用含的式子表示） （2）当时，求的分布列和数学期望； （3）证明：当时，． 19. 已知函数，其中． （1）求函数的单调区间； （2）设存在两个极值点，，记，． （ⅰ）求直线的斜率的最大值； （ⅱ）证明：直线与曲线有异于A，B的交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $