辽宁北票市高级中学2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

**基本信息** 开学摸底试卷，通过现实情境与梯度问题设计，衔接初高中知识，考查数学抽象、运算推理及模型表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数性质、立体几何|结合生活情境，综合考查推理能力与空间观念，体现数学思维的逻辑性|

高三年级开学摸底考试 数学 （考试用时：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（） A． B． C． D． 2．在复平面内，对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在边长为2的正方形中，是的中点，则（） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．已知等差数列，若，则（） A．6 B．4 C．3 D．2 5．双曲线的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A．1 B．3 C．7 D．9 6．学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为（） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知点，，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9．已知，下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．关于的方程在上有个相异实根 D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 11．在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ） A．直线与平面平行 B．四面体的外接球的表面积为 C．三棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） 12．已知函数，则__________． 13．在中，若，，，则__________． 14．已知的顶点，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则__________． 四、解答题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．已知，，分别是的角，，所对的边，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 16．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 17．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 18．已知椭圆，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 19．已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）已知在上的最小值为，求的值； （3）若恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $