山西省部分校2026-2027学年高三上学期开学联考数学试题

★★★202609 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据68，56，50，42，39，62，35，30的极差为 A．32 B．36 C．38 D．40 2．在等差数列中，若，，则的公差为 A．3 B．-3 C．5 D．-5 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．若直线与曲线相切，则实数 A．-2 B．-1 C．1 D．2 5．函数的图象大致为 A． B． C． D． 6．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C在第一象限的交点为A，与x轴的交点为B，若，则C的准线方程为 A． B． C． D． 8．在的展开式中，含项的系数为，记数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数t的最小值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z满足，则 A． B．z的虚部为 C．是纯虚数 D． 10．已知直线l的方程为，点，曲线E上任意一点N均满足（其中O为坐标原点），则 A．直线l过定点 B．存在实数k，使直线l与曲线E无公共点 C．直线l被曲线E截得的弦长的最小值为 D．当时，直线l被曲线E截得的弦长最大 11．在直三棱柱中，，，P为棱的中点，Q是侧面内一点（含边界），，则 A． B．点P到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点Q的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆的右焦点，则C的离心率为__________． 13．已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有2条对称轴，则的取值范围为__________． 14．甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为，无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表： 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 100 非老年人 64 合计 60 180 （1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 在中，，点D在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为的中点，点N在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数，证明：在上有且只有一个极小值点． 19．（17分） 已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求E的方程． （2）设O为坐标原点，过点F的直线l与E的右支交于M，N两点，其中点N在第四象限，直线与E的另一个交点为R． （ⅰ）若，求l的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $★★★202609 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案C 2.答案A 3.答案B 4.答案D 5.答案A 6.答案D 7.答案B 8.答案C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分. 9.答案AD 10.答案ACD 11.答案ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 58 V10 12.答案2 13.答案 3’3 14.答案 10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解析(1)2×2列联表为 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 (2分) 44 =0.44 估计老年人患白内障的概率为100 (4分) 16 =0.2 非老年人患白内障的概率为80 (6分) （2)零假设为H0:患白内障与年龄无关。…(7分) X-180x4x64-l6x560=1152>7879=6m 100×80×60×120 (11分) 根据小概率值Q=0.005的独立性检验，推断不成立，即认为患白内障与年龄有关.…(13分) 1 S△ABD= 16.解析(1) BxADsin A-7x5x3sinA- 3 ∴.sinA= 5 …（2分) :∠ABC= 3π 4,.A为锐角， ..cos 4=v1-sin24= -5 (4分) “在△ABD中，由余弦定理 4=10 BD=AB2+AD2-2AB×AD0sA=5+32-2x5x3 .BD=10 …………（7分) sin C=sin 安4 sincos4cwmA2423B (2)由题可得 4 1=252510,…(9分) AB AC ∴.在△ABC中，由正弦定理得sinC sin∠ABC, AC=Bsin∠4Bc5x2 sinC 12=25 10 (12分) 8mx1csm4=5x25xg的 52， 759 ∴.S△BCD=S△ABC-S△ABD= =33 22 (15分) 17.解析(1)如图，取PA的中点为Q,连接B0,M0, O x/B N M为PD的中点， 1 ·MQ∥AD MO=AD （2分) .3BN NC. BN=1 BC 4 :AD∥BC,BC=2AD=2. Mg∥BN.Mg=BN,…(4分) :四边形BNMQ为平行四边形， .MN∥BQ (5分) :MN丈平面PAB,BOC平面PAB, ∴.MN∥平面PAB (6分) (2)连接AC. PB-PA-AB-BC-2.ZABC- , :△PAB,△ABC均为等边三角形，取线段AB的中点O,连接OP，,OC, 则OP⊥AB,OC⊥AB,且OP=OC=V5 :平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB 且OPC平面PAB,OCC平面ABCD, .AB,OP,OC两两互相垂直.… (8分) 以OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O2, nPea同.acai到0g -8-9m-39 …（9分) m.AD=-1 3 20 设平面PAD的法向量为m=(:,),则 m-+-0 取片1，则=5，名=-1，平面PAD的一个法向竖为m=(5.L-) (11分) n.CD=-3 3 X2 2 20 设平面PCD的法向量为=(：，乃，2)，则 2- 2+V32=0 取为=V5,则6=，=5，平面PCD的一个法向量为i=(-5,列 …(13分) -les(.列- m列 V3x1+Ix(5)-1x(5) √105 同 v++(×P+(5+(3矿 35 …(14分) V105 .平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为35.… (15分) 5+cosX>2× 5+c0s2x 18.解折1)由f()>2f(2x),得x 2x 化简得c0sx>cos2x,即cosx>2cos2x-1,整理得(2cosx+1)(c0sx-)<0, 1 <cosx<1 所以2 …(2分) 2π 0<x< 因为0<2x<2π，即0<x<π，由余弦函数的图象可得 3. 0 即原不等式的解集为 3 (4分) f(x)=-xsinx-5-cosx (2)由题知， (5分) g(x)=-xsinx-cosx-5(0<x<2) 则g(x)）=-XC0SX,…(6分） π 3π <x< π3 …当2 2时，g()>0,当 0<x< 2或2 <x<2 时，8(x)<0 0, π3π g()在 心单赋，在22上单调洗藏在2风 上单调递减，…(8分) 3- 3π-5<0 .g(0)=-6 82) 2 :当0<x<2π时，g()<0,即f'()<0, ∴f(x)在(0,2)上单调递减. (9分) (3)由题意知，h()=cosx-xsinx-x(0<x<π)，则h'(x)=-2sinx-xcosx-t. 0<x<π 2时，sinx>0,cosx>0,此时h'(x)<0. (11分) H(x)=-xcosx <x< 设 2 ..H'(x)=-cosx+xsinx>0 .H(x)在N 上单调递增，…（13分) ,兀 元 又y=-2sinx-4在2上单调递增，h()=-2sinx-xCOSx-1在2 )上单调递增， h' =-2-t<0 h'(π)=π-t>0 2π x,∈ 由零点存在定理可知，存在唯一的 使得h'()=0 (15分) 当2 <x<X0 时，h(x)<0,当<x<π时，h()>0 (16分) 综上，当0<x<x时，h()<0,当<x<兀时，h()>0, 故()在(0，)上单调递减，在，)上单调递增， .h()在(0，m上有且只有一个极小值点x=. (17分) 19.解析(1)设双曲线E的半焦距为c. b=5 由题意得，c=2, (1分) 又c2=a2+b2, ..a=1,b=3 …(3分) x22 =1 E的方程为3 ,…………（4分) (2)易知直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=my+2,M(:,y),V(:,),且2<0， x=my+2 x-号=」a3my+12m+9=0 12m 9 ∴.y+y2= 3m2-1, yy2=3m2-1, (6分) 1 m2< 由直线1与E的右支交于两点，得 3 (7分) (MF=5INFI,..FM =5NF .(x-2,)=5(2-x2,-y2) .y1=一5y2.……（8分） 将其代入 +为 12m 15m 3m 解行=3m,片3m,且 3m2-1,解得 0<m< 3, 45m2 9 …y2= (3m2-1）23m2-1 m21 解得 ,故4（负值舍去)，… (10分) “直线1的方程为4x-V2y-8=0 (11分) (ⅱ)由双曲线的对称性知， MO=RO (12分) ∴Saa=2Saow=2x2×10F1×M-y=oFly-为=2y-为 =20+%}-4yy=2 12m）2 9 =12 m2+1 3m2-1 3m-1V(3m2-1 …14分 15143, 4 设t=m2+1, t t 1 .S△NR= 26-=129r-24+16 12 16-24 /9 t …15分 、21 SAMNR =12 1 1 =12 ≥12 f() 1 9r+16-24 t .△MNR面积的取值范围为12，+∞) 17分