精品解析：山西吕梁市汾阳市第二高级中学校、方山县高级中学等2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三年级开学考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题下上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 4. 已知为实数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6 6. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（ ） 参考数据：． A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知和都是定义在上的奇函数，设则下列说法正确的是（ ） A. 是减函数 B. 是奇函数 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，则（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “中只有一个元素”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 是周期函数 C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为__________． 14. 设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知. （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数，． （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若，均有，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式 （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； （3）设，若，在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）是否可以为的极值点？请说明理由； （2）证明：若在上单调，则在上单调； （3）若有三个零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级开学考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题下上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的定义可求得集合. 【详解】已知全集，，则. 故选：B 2. 设命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定的规定， 由命题，， 可得，. 故选：B. 3. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由函数是幂函数解得或，再检验即可. 【详解】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 4. 已知为实数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，当时，由不等式性质得，故A错误； 对于B，若，当时，大小关系无法确定，故B错误； 对于C，若，则，所以，不等式两边同乘以，可得，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】令，则，所以，所以． 6. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（ ） 参考数据：． A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知每年投入的研发资金数成以为公比，以为首项的等比数列，再令，通过取对数运算可得，进而可得所求年份. 【详解】由题意知，从年起，每年投入的研发资金数成以为公比的等比数列，设该数列为，则. 令，得，两边取对数，得， 即，所以，即. 所以时，该公司全年投入的研发资金开始超过亿元， 即研发资金开始超过亿元的年份为年． 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得. 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 8. 已知和都是定义在上的奇函数，设则下列说法正确的是（ ） A. 是减函数 B. 是奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可求解ABC，根据，以及的表达式即可求解D. 【详解】若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数， 而，由于，故不是定义在R上的奇函数，且不是单调递减函数，故AB错误； 若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数， 而,而，当时，，不满足，C错误； ，而，故，而 考虑到， 故 因此 因此时， 时，， 故，D正确， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由常见函数的导数和求导法则计算可得. 【详解】选项A：这是复合函数求导，令，，代入， 所以，运算正确. 选项B：因为是常数，常数的导数为，因此，并非，运算错误. 选项C：根据商的求导法则， 所以，运算正确. 选项D：根据基本求导公式，，， 因此，并非 ​，运算错误. 10. 已知集合，，则（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “中只有一个元素”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 是周期函数 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：由，两边求导可得答案； 选项B：由，得，从而证得是周期函数； 选项C：结合的奇偶性和周期性可判断； 选项D：结合的周期性即可求. 【详解】选项A：已知是奇函数，则，两边求导得： 即， 故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确; 选项B：由，替换为得： 故，则的周期为4， 替换为得：， 故可设 又由， 设, 故，由是奇函数，得 易得，替换为得： ， 故， 故的周期为4, 故选项B正确； 选项C：当时，， 令，则， 由选项B知，且是奇函数， 得， 故，则： ， 故选项C错误； 选项D：由周期为4，即，替换为得： 则，由选项B知， 故， 又， 故， 由，得，则： ，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，结合导数的运算、直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】由， 所以在点处切线的斜率为， 因此切线方程为：， 故答案为： 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数性质和单调性即可求解不等式. 【详解】由定义在上的偶函数可得：， 所以不等式等价于不等式， 又因为在上单调递减， 所以， 整理得：， 即解得：或， 则不等式的解集为， 故答案为： 14. 设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】令，则，由得，进而得，作出的图象，利用数形结合即可求解；由题意，进而得，令，则，令，利用导数法研究单调性得，又时，，可得，即可求解. 【详解】令，则，所以，由， 因为，所以，作出的图像：    由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2； 由有， 所以， 所以， 令，则，令，则， 所以在上单调递减， 所以当时，，所以， 又因为时，，所以，且当时，， 又当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算，根据得到，考虑，两种情况可求解； （2）考虑，两种情况可求解. 【小问1详解】 因为， 因为，所以， ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，， 若，则，所以． 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 由（1）知当时，，不合题意； 当时，，要使，必有且，故． 综上，实数的取值范围是． 16. 已知. （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用是方程的两根，利用韦达定理可得值； （2）解得关于的方程的两根，根据两根大小分类讨论得不等式的解集． 【小问1详解】 因为的解集为， 所以，是方程的两根，且.所以解得 【小问2详解】 由题意知，所以， 方程的两根分别为，， ①当，即时，不等式的解为，故的解集为； ②当，即时，不等式的解为或，故的解集为； ③当，即时，不等式的解为或，故的解集为. 17. 已知函数，． （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若，均有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将单调性转化为在区间上恒成立，求导，分离参数，求解函数的最值即可得解， （2）利用换元，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用导数求解最值即可求解. 【小问1详解】 由于在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 故，即在区间上恒成立， 由于函数在区间上单调递增，故当时，取到最大值， 故. 【小问2详解】 由题意可得对，恒成立，即， 令，则， 由于恒成立，故在单调递增，故， 因此在恒成立，故， 记，则，故当，因此在单调递减，在单调递增， 故，故. 18. 已知函数． （1）当时，解不等式 （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； （3）设，若，在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用对数的性质可求解； （2）先利用对数函数的单调性得到，化简可得，分类讨论并结合定义域可求解. (3)利用复合函数的单调性可知在上单调递减，从而得到，分离参数可得，结合换元法和函数单调性可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，即， 由，得，或； 由，得， 故原不等式的解集为． 【小问2详解】 由， 得，所以， 由，得， 即，① 当时，方程①的解为，经检验符合题意； 当，即时，方程①的解为，经检验符合题意； 当且时，方程①的解为，或， 若是原方程的解，则，所以， 若是原方程的解，则，所以， 因为中仅有一个是原方程的解，则和中仅有一个成立， 所以． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 ， 令，则在上单调递减， 所以，， 由题意得，即， 所以． 设，因为，则， 所以， 当，即时，， 当时，即， 因为在上单调递减，所以， 所以， 所以，即的取值范围是． 19. 已知函数. （1）是否可以为的极值点？请说明理由； （2）证明：若在上单调，则在上单调； （3）若有三个零点，证明：. 【答案】（1） 不可以为的极值点.理由如下： 函数的定义域为：. . 若是的极值点，则，即，解得. 此时，，. 令，则. 令，则. 所以在上单调递增. 因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 所以在上恒成立，所以在上恒成立. 所以在上单调递增，无极值点. 故不可以为的极值点. （2） 函数的定义域为：. . 当时，恒成立，所以在上单调递增，满足题意； 当时，令. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以若在上单调，则只能单调递增. 所以在上恒成立，即在上恒成立. 所以恒成立. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，即. 则， 令，则由（1）得在上恒成立， 所以在上恒成立，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. （3） 有三个零点，所以. 不妨设. 由（2）知，且在上不单调.所以. 函数的定义域为：. . 令，则， 令， 则由（1）得在处取得极小值，即最小值，最小值为. 所以. 当时，；当时，. 令，则. 令，则. 所以在和上各存在一个零点，分别记为，则，即. 所以当时，；当时，；当时，. 所以在和上各存在一个零点，分别为且. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，则， 若，则； 若，则. 令， 则. 由知，. 所以. 令，则. 由，得， 令，则. 所以单调递增，即单调递增.所以. 所以单调递增，且，所以. 所以单调递增，所以，即. 所以，即，所以，即. 所以. 【解析】 【分析】（1）假设是的极值点，则，由此求得，代回检验，得到无极值点，所以不可以为的极值点； （2）由在上单调，得到的取值范围，由此推得恒成立，从而证得在上单调； （3）根据有三个零点得到有两个零点，通过构造函数证得其关系，从而证得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $