山西太原市第五中学校2027届高三9月开学质量检测数学试卷

**基本信息** 高三开学数学检测卷立足基础，融入新能源电池工艺、碳化硅器件测试等真实情境，通过函数、几何、概率统计等知识考查数学抽象、运算推理与建模能力，适配开学诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、圆锥侧面积等|第7题以电池工艺边际缩减量考查函数应用，体现数学建模| |多选|3/18|数据变换、三角恒等变换等|第9题通过线性变换考查统计量性质，强化数据分析| |填空|3/15|解三角形中线、抛物线与双曲线焦点等|第12题结合中线长公式考查解三角形，注重知识综合| |解答题|5/77|椭圆综合、函数切线与不等式证明等|第18题椭圆面积比与斜率关系论证，第19题函数不等式证明，突出逻辑推理与创新应用|

机密★启用前 2027届高三9月开学质量检测 数 学 注意事项: 1 . 本试卷满分150分 , 考试时间120分钟。 2. 答题前 , 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3. 全部答案在答题卡上完成 , 答在本试题卷上无效。 4. 回答选择题时 , 选出每小题答案后 , 用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 , 用橡皮擦干净后 , 再选涂其他答案标号。 5. 考试结束后 , 将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．若复数，则 A．13 B． C．5 D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 4．已知平面向量．若向量在向量上的投影向量为，则 A． B． C．1 D．3 5．与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在 A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 6．若函数的最大值为，则实数的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 7．某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为 A．20 B．22 C．24 D．26 8．已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据．已知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则 A． B． C． D． 10．已知均为锐角，且，则 A． B． C．若，则 D．的最大值为 11．在矩形 中， ，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥 . 若，则 A． B．三棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成的角为 D．平面与平面的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为______． 13．抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则实数的值为________． 14．已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1) 求角B的大小； (2) 若的外接圆半径，求的面积． 16．（15分）已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是． (1) 求实数a的值； (2) 求的值（结果可保留幂的形式）． 17．（15分）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点，分别为棱，的中点． (1) 证明：平面； (2) 当且时，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，且C过点． (1) 求C的方程； (2) 直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 19．（17分）已知函数． (1) 求曲线在点处的切线方程； (2) 证明：； (3) 若在上恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三9月开学质量检测 数学参考答案 2026.09 1.A 根据共轭复数的定义和复数的乘法运算计算即得， 因==2+3i,则·2=(2+31)(2-31=2+3=13. 故选：A. 2.B 由题意，集合B={x|x+2>0}={xx>-2},而A={-1,-2,1,5}, 因为-2EB,-1eB,1∈B,5∈B,所以A∩B={←1,1,5}， 3.B 由题意可得：圆锥的母线长为1=V?+1下=√2， 所以圆锥的侧面积为S=πr1=πx1x√2=√2π 4.C 因为a=(3,0),b=(x,2),所以a+b=(3+x2). 所以向量a6在向量a上的投影向量为←i=gi=元，解得x1 5.A 根据圆与圆的位置关系可得OP+OP=7,再根据椭圆的定义可得动圆圆心的轨迹 设动圆的圆心为P,半径为”，圆O:x2+y2=1,圆O,:(x-3)+y2=36, P=r+1,OP=6-r,Q =3. 又OP+O叫=7>OO,所以点P在以O,O2为焦点的椭圆上. 故选：A 6.C 利用导数求出函数的最大值，进而列式求解， 答案第1页（共11页） 函数/a)r你定义该为Q+网，水导得 1.x-(nx+a)1-a-Inx. 当xe(0,e-)时，f()>0,fx)单调递增：当x∈(e-,+∞)时，∫"()<0，fw)单调递减， 正数在x=中处取得最大位e。名。e,所以a=2 7.C 根据指数函数和对数函数的性质计算即可. 由题意，得△T()=T2)）-T(m+1)=40e01m+10-「40e01++10]=40e01(1-e1)≈4e0 由4e1<0.4,得e01<0.1. 两边取自然对数，得-0.1n<ln0.1,所以0.1n>nl0≈2.30， 解得n>23,所以满足停止迭代条件的迭代次数n至少为24. 8.B 利用集合新定义，等差数列的定义以及充分条件、必要条件的判断分析即可. 由i=1,2,,n-1,n+1.…可知i≠n,所以t=4-对任意的i=12,,n-1,n+1…均有意义， i-n 充分性：若数列{a}是等差数列，设公差为d,首项为4，且a.>0, 则1=4-a_[4+6-l)d-[a+0n-)ad_亿-)d i-n i-n i-n 因为：≠m,所以1=位-m)证=d,所以对于任意正整数，集合工=都是单元素集， i-n 当d=0时，4=4>0满足已知条件，但是不满足集合T.中元素为正数，故充分性不成立， 必要性：若对于任意正整数，集合T都是单元素集，且该元素为正数， 则对任意正整数n,所有1≠n对应的9-马为同一个正数，记为d(d>0), i-n 取1=n+1,则8=a4-a,=d, (n+1)-n 根据等差数列的定义可知：数列{a}是等差数列，故必要性成立， 所以“数列{a}是等差数列是“对于任意正整数，集合T,都是单元素集，且该元素为正数”的必要不充分 条件 9.ABD 由题意，得a=2×4+3=11,b=2×3=12,c=2×8=16,d=2×5+3=1, 故选项ABD都正确 10.ACD 根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简判断AB;利用和差角的正切公式，结合基本不等式求解判断 CD. 2sin(a+B)=3sin(a-B),2(sinacosB+cosasinB)=3(sinacosB-cosasinB), 即sinacosB=5 cosasin B,由a,B为锐角，得coS≠0，cosB≠0， 对于AB,tana=5tanB,A正确，B错误： 答案第2页（共11页） 对于C,由a+B=行得a(e+) tana+tan B 6tan B=1, 1-tanatanB 1-5tan2B 即5tan'B+6taB-l=0,而tamB>0,解得tang=4-3 5 C正确： tana-tanB 4tanB 4 42 对于D, tan (a-B)=1+tan ctanB 1+5tan B 5tan+1 255, tanB 当且仅当5tanB= nB,即tanB=V5时取等号，D正确 5 故选：ACD 11.AC A选项，直接利用勾股定理即可求解： B选项，根据几何关系找到外接球的球心和半径，根据球的表面积计算公式进行求解； C选项，将直线的夹角转化为方向向量的夹角，注意直线夹角的取值范围： D选项，将平面的夹角转化为二面角，注意平面夹角的取值范围， D A选项，因为AP⊥BC,且AB⊥BC,所以BC⊥平面ABP,则BC⊥BP,所以△PBC是直角三角形， 又因为CD=CP=V2,BC=1,所以BP=VPC2-BC=W2-P=1,所以A选项正确： B选项，由A选项分析得BP=1,又因为AP=AD=1,AB=√2，所以△PAB是直角三角形， 又因为CP=√5，AC=V3,所以AP2+CP2=AC,所以△PAC是直角三角形， 分别作AC和AB的中点O和M,则OM⊥AB,因为△PAC是直角三角形， 所以OA=0P=OC=5, 2 同理可得0A=0B=0C=5 则0点即为三棱锥P-ABC外接球的球心，且外接球半径为R=OA=5 所以外接球表面积S=4R2=4π× V3 =3π，所以B选项错误： 2 C选项， cos AB,Cp= AB.CP AP+PBCB+BP) AP.CB+AP.BP+PB.CB+PB.BP0+0+0-1_1 AB.CP V2×V2 2 又因为直线AB与直线CP所成的角范围是0， 27 所以夹角为60°，所以C选项正确； D选项，如图所示，分别作PT⊥AC,BNL AC,则异面直线PT和BN的夹角即为平面ACP与平面ABC 的夹角， 由三角形面积公式可得AC×PT=AP×PC,所以PT=1PPC=LK5_V6 AC 53 答案第3页（共11页） 同理可得B= AB×BC-V2x1V后 AC 3 ,则A=C-5 而cos TP,NB TP.NB (TA+AP)NC+CB) @ 6V6 33 而（⑦A+AP(Nc+CB=A.Nc+A.CB+Ap.Nc+Ap.CL, 其中A.Nc= 353 Ap.c=1x5x↓1 353,A丽.C西=0， -X 以a(c两列-+}0- 1 所以cos TP,B= 3 V662,即平面ACP与平面ABC的夹角为60，所以D选项错误 1 33 12.√万 已知两边及其夹角，可通过余弦定理求第三边，利用向量关系计算中线长即可， 由b=4,c=2,A=3根据余弦定理可得： t-b2+c2-2bc0s4=-16+4-2x4×2x分12，解得a=25: 由中线M满足向量关系A-(a店+4C)可得： AM(B+AC)=++2h G c0s4 e+公+2次6as44+16+2x427, 则AM=V万. 13.2 因为p>0,所以抛物线)护=2px的焦点为（号0】 x2 y2 因为m-2=1回转化为行言1所以-分6-分c=--分号 p2 所以双曲线的焦点为 由题意，可得=， 1,1 2√p2,两边平方并整理， 答案第4页（共11页） 得p3-2p-4=0,即(D-2)(p2+2p+2)=0. 因为p2+2p+2=(p+1)+1>0,所以方程的解只有p=2.故实数P的值为2. 4.（+o) 由题可知f(x)-∫(2-x)=0,即f(x)的图象关于直线x=1对称，再利用导数判断函数的单调性，然后结 合对称性及单调性解不等式即可. 因为f(x)=e-+ex-x2+2x,x∈R, 所以f(x)-f(2-x)=e-1+e-x-x2+2x-e-x-e-1+(2-x)2-2(2-x)=0, 所以f(x)的图象关于直线x=1对称. 因为f'(x)=e-1-e-x-2x+2,设g(x)=f'(x), 则g)=em+e-2=+222=0 当且仅当e。女，即x=1时。等号成立，所以函数了)在R上单调递增 又因为f'(I)=0,所以当x∈(-o,1)时，f'(x)<0, 函数f(x)单调递减，当x∈(1，+o)时，f(x)>0,函数f(x)单调递增 由f(m+2)<f(2-1),得m+2-1<2m-1-1, 所以(m+1)2<(2m-2).整理得(m-3)(3-1)>0, 解得m<或m>3,时不等式的解架是（兮引(6o)。 3 15.0B号 (2)25 (1)由余弦定理即可求解； (2)由正弦定理求得b,结合a=2c以及b2+ac=a2+c2求得a,c,再结合三角形面积公式即可求解 (1)因为b2+ac=+c2,所以cosB=a2+c2-b_1, 2ac 又0<B<π，所以B=T」 3 (2)由正弦定理，得b 得m62R,又R=2.所以b=4x5=2N5. 2 因为sinA=2sinC,所以a=2c, 由b2+ac=d2+c2,得(2W3)+2c2=4c2+c2，所以c2=4,c=2,又a=2c,所以a=4. 答案第5页（共11页） 所以△MBC的面积为csnB=x4×2×sinT=2√5. 2 16.(1)3 (2134 4 (1)根据二项式的x3项的系数是-22680解得a的值： (2)运用赋值法解决问题，先对己知的二项式中的x赋值2，再对己知的二项式中的x赋值0，得到两个 方程，联立方程组求解得出答案 (1)解：(1)二项式(a-2x)的展开式中含x3的项为Ca(-2x)=-280ax3, .-280a4=-22680, 则a=81, 又a>0,解得a=3. (2)由(1)可得(a-2x)’=1-2(x-1]=4+a(x-1)++a,(x-1)',， 令x=2,则46+4+…+a4,=(1-2)=-1①， 令x=0，则4-4+4--41=(1+2)=3②， .由①+②可得：+凸+a4+4= 37-1 2 由0-②可得：4+4+4+a,=3-1 2 3-1-37-11-314 ∴(4+4+a,+4)a+4+a+4上2 2 4 17.(1)证明：如图2，取PA的中点为G,连接FG,EG 因为四边形ABCD是矩形，且点E为BC的中点，所以EC∥AD, 且BC=AD, 2 又因为F,G分别为PD,PA的中点，所以GFIIAD, 且cR-AD, P F D 的 E 图2 所以GF∥EC,且GF=EC,所以四边形ECFG为平行四边形， 所以CFIEG,且CFa平面PAE,EGc平面PAE, 所以CF∥平面PAE. o号 答案第6页（共11页） (1)取PA的中点为G,连接FG,EG,易证四边形ECFG为平行四边形，从而得CF/EG,再根据线面 平行的判定定理可得CF∥平面PAE; (2)分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可得. (1)略 (2)因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形， 所以分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图3所示. H A XKB 图3 因为E为BC中点，所以AE=DE,即△AED为等腰直角三角形，即∠EAD=45°. 又因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAE=45°，所以AB=BE,即AD=2AB. 又PA=AB=2, 所以A(0,0,0),E(2,2,0),C(2,4,0),F(0,2,1),P(0,0,2), 则AE=(2,2,0),AP=(0,0,2),AC=(2,4,0),AF=(0,2,1), 设平面PAE的法向量为=(x1,,3), 「A亚.4=0m∫2x+24=0 则 ，即 AP.乃=0’25=0 则=0，令x=1,则4=-1，所以2=(1，-1,0)： 设平面ACF的法向量为h=(化2，y2,22), AC2=0m「2x+4y2=0 则 ,即 AF.n=0’2y+5=0 令=1，则x3=5=-2,所以m=（2,1,-2). 设平面PAE与平面ACF的夹角为0， 则c0s8=cos(4乃 h· 3√2 V2×32 即平面PAE与平面ACF夹角的余弦值为 2 (2)①证明见解析：②是定值，理由见解析 (1)由题意建立关于a,b,c的方程组，解方程组即可求解； 答案第7页（共11页） (2)(i)根据面积关系结合面积公式可得PQ平分∠APB,即可证得kAP+kP=0; ()联立直线方程和椭圆方程消元后结合P在椭圆上化简前者后可得k.k'=】 2 e=c= a 2 42 (1)由题意，得合+是=1，解得d=8=4c-4, a2-b2=c2 所以椭圆c的方程为二+上=1 84 (2)(i)因为AP斗S=|BPS, 则S 2rPen∠g AP sin APO BP S2 2 P-sin☑BPe BP sin BPO 因此sin∠APO=sin∠BPQ, 而∠AP2+∠BP2=∠APB∈(O,T),有∠APQ=∠BPQ,即PQ平分∠APB, 故直线AP,BP的斜率k4P,ksP互为相反数，则kaP+kP=O. (i)设P(%), x+上1 由84，得(22+1)x-4x+22-8=0, y=k(x-1) 因△=16k4-4(2k2+1)(2k2-8)=56k2+32>0, 设A(5,片)，B(5,y), 4k2 则有 X+3=2k+1, 5·528,而+邵=乃-九+2=0， ￥-七3- 化简得(-%)(6-)+(5-)(-6)=0， 即[k(3-1)-(3-)+k(x3-1)-%](-) =2x-(6++k)(+)+2(%+k)=0, 于是达3：点20 故2k(2k2-8)-42(y++k)+2(+k)(2k2+1)=0, 答案第8页（共11页） 化简得2%（伍-1）2+(5-8)k+%=0, 又因P(G,%)在椭圆上，则古+片=1，即+2好=8，则飞。-8=-名-2， 84 从而2%(0-1)k2+(-号-26)k+%=0, 整理得(2yk-)(-1)k-=0, 又因P(,%)不在直线：y=k(x-1)上，即(-1)k-%≠0， 则得2%k-5=0,即k=,因= 2% 于是kK=名b=1 2奶而2故k为定值. 珠 19.(1)2.x+y-2-e=0 (2)证明：：x>0,·f(x)>0等价于e-2xlnr>0. 方法一：令g(x)=e-2xnx,x>0,则g'(x)=e-2lnx-2. 令hy=e-2nr-2,则(e)=e-2 通数()在(Qm上单词道增，且个目)-6-40加@=c-0, 面数（在号到内存在唯的客点5：即e名=0。 .当x∈(0，)时，h(x)<0;当x∈(，+o)时，h(x)>0, .函数(x)即g'(x)在(0，)上单调递减，在(，+o)上单调递增， ÷函数g付的最小值为g(6)=c0-26-2=2-2-2-21-6）-2n5>( ∴.函数g(x)在(0，+o)上单调递增. 当xe(0,1)时，e>0,lnr(0.g(x)=e-2xlnx)0: 当x∈[1，+o)时，g(x)2g(1)=e>0. 综上，g(x)>0在(0，+∞)上恒成立，即f()>0在(0，+w)上恒成立. 答案第9页（共11页） 方法二：令g(x)=e-2xlnx,x>0. 当x∈(0,1)时，'e>0,lnx0,.g(x)=e-2.xlnx)0. 当x∈[1，+w)时，g'(x)=e-2nx-2. 令m(x)=e-2c-2,则m'(y)=e-2在[L,+o)上单调递增. .m(x)≥m(1)=e-2>0, ∴.函数m(x)即g'(x)在[1，+o)上单调递增，g'(x)≥g(1)=e-2>0, ∴.函数g(x)在1，+o)上单调递增，.g(x)≥g(1)=e>0. 综上，g(x)>0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)>0在(0，+o)上恒成立 (1)利用导数的几何意义求切线方程即可； (2)方法一：不等式等价于证e-2.xlnx>0,令g(x)=e-2xnx,x>0,求导得g(x)=e-2lnr-2,再 令M)=e-2x-2,继续求导得公()=e-是然后由零点存在定理可得函致以()在[内存在唯 的零点x,进而可得函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，再分当x∈(0,1)及x∈[1，+∞)即可证明. 方法二：易知x∈(0,1)时，g(x)>0,再利用导数可证g(x)在[1，+∞)上单调递增，则g(x)≥8(1)=e>0, 然后可证. (3)不等式可化为e-+x-lnr>am+ln(a,令p(x)=e+x,则p(x-lnx)>p(h(ax),结合函数p(x) 的单调性可得-hr>h血(a)在(Q+)上恒成立，即a<在(0，+o）)上恒成立，再求函数k()-gx>0的 最小值即可. ()e. 又f=c-2f0=-2 ∴.曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程为y-e=-2(x-1), 即2x+y-2-e=0. (2)略 (3)不等式f(e>(a-lx+ha(a>0),即+0-ax-2hx-la>0. 等价于e-ir+x-lnr>eha)+ln(ad. 令p(x)=e+x,则原不等式可转化为p(x-nx)>p(ln(). 答案第10页（共11页） :函数p(x)在R上单调递增，∴x-hx>n(ax)在(0，+o)上恒成立， 得ac≤ace在0o上恒成粒，a在0+o上恒成立 ex一x 设)=>0，则数()=e-巴， 当x∈(0,2)时，'(x)<0:当x∈(2，+o)时，K(x)>0, ∴.函数k(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 西数个)的拉小位为(2)-号 又ya>Q实激a的取值范围为Q写 答案第11页（共11页）