专题04 轴对称中常考几何模型12大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦轴对称核心模型，以12类题型系统提炼折叠转化、对称构造等方法，构建从性质应用到动态综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂直平分线性质|1典例+3变式|中垂线性质转化线段关系|轴对称性质→线段垂直平分线应用| |折叠问题|2题型各1典例+3变式|折叠全等对应边/角相等|静态折叠→角度/线段计算| |将军饮马模型|1典例+3变式|轴对称转化折线，两点线段最短|对称性质→最短路径模型构建| |角平分线综合|2题型各1典例+3变式|角平分线翻折构造全等，结合中垂线|角平分线+中垂线性质综合应用| |等腰三角形综合|6题型各1典例+3变式|分类讨论边/角关系，动态问题建模|等腰性质→存在性/动点/旋转等综合|

专题04 轴对称中常考几何模型 （题型突破·举一反三） 题型01 垂直平分线的性质 题型02 折叠求角度 题型03 折叠求线段长度 题型04 最短路径问题（将军饮马模型） 题型05 角平分线+轴对称 题型06 角平分线+垂直平分线 题型07 等腰三角形的存在性问题 题型08 等腰三角形的动点问题 题型09 等腰三角形的折叠问题 题型10 等腰三角形中最值问题 题型11 等腰三角形中的旋转问题（手拉手） 题型12 等腰三角形中的分类讨论问题 ▌题型01 垂直平分线的性质 【典例】（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【答案】(1) (2)7 (3)证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解． （3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】（1）解：把向下平移至， ，， ， ， 阴影部分面积梯形的面积，． （2）垂直平分 ， ． （3）略 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ， ∵是的角平分线，， ， ∵在和中， ， ， ． (2)2 【分析】（1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据（1）可知，结合已知条件得到，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可知， ， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1) 证明：是的垂直平分线， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，等量代换证明即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得， ， ∵的周长为， ， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故的周长为． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，平分， ，，       是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ，       ； (2)的长为 【分析】（1）利用三角形外角性质和角平分线导角可得； （2）连接，，利用中垂线的性质可证，，则可求． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，     平分，，， ，       的垂直平分线交于点， ，       在和中， ， ，       ， 在和中， ， ，       ， ，， ， 即的长为． ▌题型02 折叠求角度 【典例】（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，将一条两组对边分别平行的纸带两侧进行折叠，折痕分别是、，点、、、折叠后对应的点分别是、、、，点在线段上． (1)若，则 ； (2)说明的理由； (3)如图2，延长交于点，将四边形沿折叠得到四边形，记，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)由折叠可知：，， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质和平角定义求解； （2）由折叠可知，，则可推出，由，得，则题目可证； （3）由平行可得，则，，故可解． 【详解】（1）解：通过折叠可知，， ， ， ； （2）略 （3）解：， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）实践与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是 ； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请猜想，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)解：猜想，证明如下： 由折叠的性质可得， 设， ∴，， ∴， ∴ ∴ ． 【分析】（1）由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由折叠的性质可得，则由三角形内角和定理可得，进而得到，再由平角的定义可得答案； （3）设，可求出，，再根据可得结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）解：由折叠的性质可得， 在中，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）略 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）【初步感知】 三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．例如：图1，是的一个外角，则有． 【深入探究】 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何图形运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何图形． (1)如图2，在中，，，在边上有一点从向运动（不含端点），把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不含边界）； ①求的取值范围； ②直接写出与之间的数量关系． (2)【拓展运用】如图3，已知，，，，第一次沿过点的直线折叠，使点落在延长线上的点处，得到折痕，再展平纸片：第二次沿直线折叠，得到，延长交的延长线于点，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由及得，折叠得，．当在上时，，，故；当在上时，，故，因在内部，故； ②由折叠得，由平角得，在中，代入得，又，两式相加得． （2）由第一次折叠得， 则，故，由第二次折叠得，故，由题意得，代入得． 【详解】（1）解：①在中，， ， ，解得， 由折叠性质知：，， 当点落在边上时，， ， 当点落在边上时，， ， 点在内部（不含边界）， ． ②结论： 推导：由折叠知， ， ， 在中，， 代入得：， 又， 得． （2）解：由第一次折叠，在延长线上， ，， ， ， 由第二次折叠得：， ， 由题干材料可得，， ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“折叠”为主题展开数学活动． 探究发现： (1)如图1，长方形纸片中，，点分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线过点，且，则______； (2)如图2，长方形纸片中，，点分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线交于点，求的度数； 延伸拓展 (3)如图3，三角形纸片中，．点为边上一点不与点重合，将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据已知，结合平行线的性质可得，进而根据折叠的性质可得得出，根据平行线的性质，得出，结合已知，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，根据折叠的性质得， 根据邻补角可得，进而根据三角形的外角的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，根据平行线的性质以及折叠的性质分别求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴ ∵ ∴ ∵将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置， ∴ ∴ ∵的延长线过， ∴； 又∵， ∴ （2）解：如图 ∵四边形是长方形， ∴ ∵ ∴ ∵将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∵， ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 如图，当时，设交的延长线于点， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 综上所述，若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，或或 ▌题型03 折叠求线段长度 【典例】（2025·浙江台州·模拟预测）如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算得到结果． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， ∴阴影部分图形的周长 ． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，同学们将三角形纸片按如下方式折叠，使点的对应点与点重合，折痕与边交于点，展开后连接；如图2，再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，且，折痕交边于点．若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据第一次折叠可得为的中点，利用等底同高可得的面积；根据第二次折叠可得，，结合线段比例关系求出的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由第一次折叠可知，点与点重合，折痕与交于点， ， ． 由第二次折叠可知，点的对应点落在边上，折痕为， ，． 点在边上，点在边上， ， ，即． ， ， 解得． ， ， 解得． 【变式2】（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为________________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，利用等量代换将的周长转化为线段的长即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 的周长 ， ， 的周长为． 【变式3】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，将沿折叠，使点的对应点落在边上，在（1）所作图中标出点，连结，若，的面积为，求的长． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)3 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由折叠的性质得，利用面积法求出，然后由折叠的性质可得答案． 【详解】（1）略； （2）解：如图， 由折叠可知， ∵，， ∴． 由折叠可得，． ▌题型04 最短路径问题（将军饮马模型） 将军饮马利用轴对称转化折线。作其中一定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线交点即为动点。原理：两点之间线段最短，把两条线段之和转化为一条线段。看清动点所在直线，区分模型，检验三点不共线情况。 【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）综合与实践． 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连结，我只要说明． 请完整地写出小亮的求解过程． 【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）      【答案】（1）根据题意可知：，， ，， ， ∴作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方； （2）如图所示． 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）作点关于的对称点，连接，与的交点即为点E、F． 【详解】略 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【答案】 分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题： （1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论； （2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 【详解】略 【变式2】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:如图，即为最短路径． 任务三：如图，即为最短路径． ． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴，即最小； 任务二 略 任务三 略 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短 【解决问题】如图，即为最短路径． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． （1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再结合三角形三边关系证明路径最短； （2）作点关于草地的对称点，作点关于河的对称点，连接即为最短路径． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）略 ▌题型05 角平分线+轴对称 角平分线是角的对称轴，角平分线上的点到角两边距离相等。常通过翻折构造全等，转移线段与角。看到角平分线可向两边作垂线，或截取等长线段。结合等腰、垂直平分线转化条件，注意找准对称前后对应的边角关系。 【典例】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分，平分． (1)【结论形成】如图①，若，求的度数； (2)【结论应用】如图②，点分别是边、上一点，连接，将沿折叠，使得点与点重合．若，求的度数； (3)【拓展延伸】如图③，点在的延长线上，作的平分线交延长线于点．若，则________度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由三角形内角和定理得，进而由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理解答即可； 由折叠的性质得，，又由平角定义得，即得，得到，再根据即可求解； 利用角平分线及平角定义可得，即得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由折叠可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由可得，； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，C为长方形纸片边的中点，B为长方形纸片边上一个动点（不与点A、D重合），将长方形纸片的一角沿着所在直线折叠，使顶点A落在点处，是的平分线． (1)与有怎样的数量关系：________（小于、等于或大于） (2)当时，________° (3)当点B在纸片边上沿方向运动时，的度数将________（变小、不变、变大），的度数________（变小、不变、变大） 【答案】(1)等于 (2)90 (3)变小；不变 【分析】（1）根据折叠的性质进行解答即可； （2）先根据折叠求出，再根据角平分线定义求出，最后根据计算即可； （3）根据运动可以得出当点B在纸片边上沿方向运动时，的度数将变小；根据折叠得出，根据角平分线定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：根据题意可得：当点B在纸片边上沿方向运动时，的度数将变小； 根据折叠可得：， 即， ∵平分， ∴， ∴， 即的度数保持不变． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）综合实践 折纸中的数学 【问题背景】 折叠垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学 【提出问题】 【问题解决】 如图，能折出过点P且与边平行的折痕吗？ 折平行线的方法步骤说明：第一次过点P折叠使点B落在边上的点，折痕为，第二次过点P折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则 (1)结合图1至图3的操作，说明：； (2)在图2中，若，求∠C的度数 【答案】(1)解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， 第二次折叠后，， ∴； (2) 【分析】（1）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （2）根据折叠的性质和平行线的性质，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （3）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）解：根据折叠可知：，，， ； （3）略 ▌题型06 角平分线+垂直平分线 角平分线可得点到角两边距离相等，垂直平分线可得点到线段两端距离相等。解题可利用两组等量关系，得到线段、角度相等，构造等腰三角形。结合等量代换推导结论，注意区分两个定理条件，不要混淆距离的含义。 【典例】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，垂足为E，，，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【答案】D 【分析】首先连接，，过点作于点，由的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得，继而求得答案． 【详解】解：连接，，过点作，交延长线于点，如图， ∵是的平分线，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在上，点A沿折叠后与点O重合，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，是的平分线，得，垂直平分，则，则，可求得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握各个性质是解题的关键． 【详解】解：，，是的平分线， ∴，垂直平分, ∴， 垂直平分， ， ∴， ， ， 由折叠得， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中的垂直平分线以及角平分线可以求得，根据等腰三角形的性质以及折叠的性质，可以求得 的度数。 【详解】解：如图，连接、， ∵， 为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为 的平分线，， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∵将沿 折叠，点与点恰好重合， ∴， ∴； 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若 ，则的长为______． 【答案】 【分析】连接、，根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，利用 证明 ，得到，再证明 ，得到，即得，最后根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， ． ▌题型07 等腰三角形的存在性问题 等腰三角形存在性问题，分三类讨论：两定点距离为腰、两定点距离为底。分别作线段垂直平分线，或以定点为圆心、定长画圆找点。求出点后检验三点能否构成三角形，舍去共线情况，结合轴对称、等角等边性质计算边长角度。 【典例】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，，，点从点出发，沿着方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿着的方向以的速度匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒 (1)求的长度 (2)当点在边上运动，且时，求的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、一元一次方程的应用、含角的直角三角形的性质等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）证明是等边三角形，即可得到； （2）证明是等边三角形，利用列方程，解方程即可； （3）分和两种情况，利用含角的直角三角形的性质列方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ （2）解：由题意可得，则，    如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 解得； （3）解：存在， 由题意可得，，，， 如图，当时，， ∴，即， 解得， 如图，当时，， ∴，即， 解得，     ∵ ∴符合题意， 综上可知，或 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，直线，平分，过点B作交于点C；动点E，D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)求的度数； (2)若，求动点D，E的运动时间t的值； (3)动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3)存在， 【分析】本题考查几何问题(一元一次方程的应用)，等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分类讨论：①当点E在点左侧时，②当点在点右侧时，逐个分析求解即可； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：作，， ∵平分，则， ， ， ①当点E在点左侧时，有 ，， ， 解得：； ②当点在点右侧时，有 ，， ， 解得． ∴t的值为或． （3）解：存在，．理由如下： ，， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：存在，． 【变式2】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点D坐标为 (2) (3)存在，，或 【分析】本题主要考查长方形的性质、三角形面积计算以及等腰三角形的存在性问题，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据题意得，，求得长方形的面积为24，根据直线能否将长方形的面积分为两部分，分别求出两部分的面积分别为8和16，设，根据三角形面积公式列式求出的面积为8和16，即可解答问题； （2）分点在上、上和上三种情况结合的面积讨论求解即可； （3）分点在上、上和上三种情况结合等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，且， ∴，， ∴长方形的面积为， 若直线将长方形面积分为两部分，则两部分面积分别为8和16． 设，则的面积为． 当的面积为8时，， 解得， 此时 当的面积为16时，， 解得（舍去）， 所以直线能将长方形面积分为两部分，点D坐标为； （2）解：当D在上时，的面积， 此时没有这样的； 当D在上时，设D运动的路程为t，则，则： 的底为，高为， 所以，面积为． 令， 解得， 所以，； 当D在上时，的面积为0，不符合要求． 综上，点D的坐标为； （3）解：∵， ∴； ①当时，，则，因为D在长方形边上，所以； ②当时，，，则． ③当时，则点在边的中点，即, 综上，点的坐标分别为，或． 【变式3】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，和都是边长为厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点P到达点B时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)点、从出发到相遇所用时间是 秒； (2)当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：当时，是等边三角形． 理由如下： 如图所示，若是等边三角形， 此时点在上，点在上，且，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 解得：；         (3) 解：不存在的值，使． 理由如下： 如图所示：若， ，  ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 解得：, 又， 不存在的值，使． 【分析】设点、从出发到相遇所用时间是，根据点、的运动速度把点、运动的路程表示出来，根据点、相遇时所走的路程和等于的周长可列关于的方程，解方程即可； 假设是等边三角形，则有，，从而可证，根据全等三角形对应边相等可知，从而可列关于的方程，解方程即可求出运动的时间； 若，可得为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，可得方程，解方程可得：，此时点从点出发运动的路程为厘米，已经到达线段上，所以不成立，可知不存在的值，使． 【详解】（1）解：设点、从出发到相遇所用时间是， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、动点问题，解决本题的关键是点运动的时间和速度把线段的长度用含的代数式表示出来，再根据线段之间的相等关系列方程． ▌题型08 等腰三角形的动点问题 等腰三角形动点问题，抓住边或角的变化，分情况讨论哪两条边相等。利用等边对等角、等角对等边转化边角关系，设未知数建立等式。求出结果后检验，排除三点共线不能构成三角形的情况，结合轴对称性质简化计算。 【典例】（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，已知直线动点从点开始以每秒的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以每秒的速度运动． (1)问动点运动多少秒时，并说明理由； (2)设动点运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积； (3)动点运动多少秒时，与的面积比为． 【答案】(1) 设动点运动秒时，． ， 是等腰直角三角形，． ， ， ， ． 动点的速度为，动点的速度为， ，，． 要使，需，即，解得． 验证：当时，，，且， ． 故动点运动2秒时，； (2) (3)动点运动秒时，与的面积比为 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形面积的计算及一元一次方程的应用，关键是结合动点运动速度表示线段长度，利用几何性质建立等量关系求解． （1）已知，结合等腰直角三角形性质可得，根据全等判定定理，只需，据此列方程求解运动时间； （2）先求出等腰直角三角形斜边上的高，再用含的式子表示的底边，利用三角形面积公式得出面积表达式； （3）先通过几何关系求出的面积表达式，再根据面积比为列方程求解运动时间． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于， 是等腰直角三角形，， ． ，， 的面积； （3）解：由（2）知， ， 的边上的高， 的面积． ， ，解得：． 答：动点运动秒时，与的面积比为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)的长度不变化，为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； （2）解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·河南开封·阶段检测）如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题： 如图2，等边的边长为，动点P从B出发，以每秒的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)填空：＝________度；t的取值范围是________； (2)当时，t为多少秒时，是等边三角形； (3)当时，t为多少秒时，是直角三角形． 【答案】(1)60； (2) (3)t为4或10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的判定， （1）根据等边三角形的性质解答； （2）根据等边三角形的性质列出方程，解方程即可； （3）分或两种情况，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵动点P从点B出发，以每秒的速度向终点A运动，两动点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， ∴， 故答案为：60；； （2）解：当时，，则， ∵是等边三角形，则， ∴， 解得，， ∴当t运动10秒时，是等边三角形； （3）解：当时，，则， 由结论可知，当或时，是直角三角形， ①时，， 解得，， ②时，， 解得，， ∴当t为4或10时，是直角三角形． ▌题型09 等腰三角形的折叠问题 【典例】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点，处． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查折叠的性质（对应角相等、对应线段相等、折痕垂直平分对应点连线 ）、角的和差计算及三角形面积公式．熟练掌握折叠性质，利用其转化角和线段的等量关系，是解题关键． （1）利用折叠性质，将转化为与相关的角，通过角的和差计算其度数； （2）依据折叠性质得出线段相等关系，确定的高与底，结合面积公式求解． 【详解】（1）解：由折叠可得，． ， ； （2）解：由折叠性质：，且；． 由（1）知，且， 为等腰直角三角形， ． ， ． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在直角三角形中，，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形 ； （2）直接写出与之间的数量关系为 ，并给出证明； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，，，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4），请直接写出的周长为 ； 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围     成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分，，，，，请你帮丁师傅算一下需要买 米的栅栏． 【答案】（1） （2），理由如下： 证明：由折叠得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）（4） 【分析】（1）由折叠得，即可求解； （2）由全等三角形的性质得，，，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，，，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得，即可求解； （4）将沿翻折，使点C落在边上的E处，连结，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠得 ， 故答案为：； （2）略； （3）由折叠得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为：， 故答案为：； （4）将沿翻折，使点C落在边上的E处，连结， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 丁师傅算一下需要买栅栏 （）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角性质，等边三角形的判定及性质等；掌握折叠的性质，全等三角形的性质 ，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等）      (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若，，是否存在这样的x的值，使得是以为腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质定理证明； （2）根据，求得，然后分、两种情况，列方程解答即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴，， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得，， 综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于、翻转变换的性质是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·福建福州·期中）数学活动--折纸中的探索 【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系． 【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔． 【问题1】（1）如图1，把长方形的纸张沿对角线折叠，重合部分（）是一个等腰三角形吗？为什么？ 【问题2】（2）如图2，①对折长方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平；②再一次折叠纸张，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．求证：； 【问题3】（3）如图3，要求在正方形中折出一个等边三角形，使点，分别在边，上，请画出折痕，并简要说明折叠过程． 【答案】 （1）重合部分是等腰三角形． 理由：由沿折叠得到， ． ， ， ， ， 重合部分是等腰三角形；   （2）证明：连接，如图； 由折叠可知，垂直平分， ， ， 是等边三角形， ． ， ； （3）解：如图3，折叠过程如下： ①对折正方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平； ②折叠纸张，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，得到线段，把纸张展平； ③折叠纸张，使与重合，折痕交于点，得到折痕，把纸张展平； ④折叠纸张，使与重合，折痕交于点M，得到折痕，把纸张展平； ⑤过点，折叠，得到折痕； 就是折叠得到的等边三角形． 【分析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质等知识点． （1）由折叠的性质，再根据，得出角相等、边相等即可求解； （2）根据折叠的性质得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质的出各角之间的等量关系，即可求证； （3）仿照问题2中折叠的方法，逐步折叠并画出折痕即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ▌题型10 等腰三角形中最值问题 【典例】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，中，，，，D为中点，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为_____________． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道的长度的最小值是解题的关键．连接，根据三角形的面积公式得到，由垂直平分，得到，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：如图所示：连接， ∵，D是中点， ∴于点D， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，，点P在内部，，点M，点N分别是上的动点，若存在点M，点N使得的周长最小，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点、，连接、、，由轴对称的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，则的周长的最小值为． 【详解】解：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点、，连接、、， 点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ，，，，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值为， 故答案为： 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期末）路径探究问题中最短路径是常见的优化目标，今天我们运用转化思想，一起来研究一类经典的最短路径模型． 【提出问题】某小区计划在，，三栋楼之间建一个水塔，使得水塔到三栋楼之间的距离和最小． 【建立模型】如图1，我们将三栋楼抽象为三点，那么问题转化为在内部确定一点，使得的值最小．已知，当时，点满足条件，下面我们进行说明．（注：为锐角三角形） 如图2，分别以，为边，在其右侧作等边三角形和等边三角形，由此，我们将转化为，将转化为． 【问题解决】 (1)如图3，当，，，在同一直线上时，的值最小．请你说明的理由，并判断此时，和是否都等于； (2)根据以上研究经验，小明尝试在中作出符合上述条件的点．他的作法如下：如图4，分别以，为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接，交于点．请你分析小明作出的点是否符合题意．（提示：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形） 【答案】(1)证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴． (2)解：小明作出的点符合题意，理由如下， 如图，连接， ∵三角形和三角形是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴小明作出的点符合题意． 【分析】（1）由和是等边三角形得出，，，根据邻补角的定义得出，，利用角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出，，根据周角的定义即可求出； （2）根据等边三角形的性质，利用证明，得出，，利用外角的性质，结合角的和差关系得出，同理得出，，即可证明，得出小明作出的点符合题意． 【详解】（1）证明：略 （2）解：略 ▌题型11 等腰三角形中的旋转问题（手拉手） 等腰手拉手模型：共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。旋转可得一组全等三角形，对应边、对应角相等。解题先找公共顶点，识别相等顶角，证明全等后转移边角。留意等腰性质，推导夹角，注意分类，排除特殊共线情况。 【典例】（25-26八年级上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）①； ②2； （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）①首先由得到，进而可求出； ②由全等三角形的性质得，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）略 （2）① ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵若点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1．在和中．，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为，请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ， ， 又， ； (2)的度数为 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明得到，再由三角形内角和定理可得； （2）先由等边三角形的性质得到，再证明，并求出；进一步证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：和均为等边三角形， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 【答案】 （1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，； 和是等腰三角形，，，， ∴， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)40 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌题型12 等腰三角形中的分类讨论问题 【典例】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 【变式1】（2025八年级上·江苏徐州·竞赛）如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)的值为或 (2)的值为5或20 【分析】（1）先由等边三角形性质得，结合动点速度写出，的线段表达式；分两种直角情况讨论，套用含直角三角形边长规律列一元一次方程，求解并验证符合范围； （2）按动点两段运动区间分类：第一段利用“有一个角、邻边相等可判定等边三角形”列方程求值；第二段分析端点重合的特殊情况算出，汇总所有符合条件的结果． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 当时，点在线段上（不含端点）， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴当，且为直角三角形时，的值为或； （2）当时，即在线段上（不含端点）， ∵，，， ∴当时，为等边三角形， ∴， 解得， 当时，即在线段上（含端点）， ∵为等边三角形， ∴， ∵在线段上（含端点）且，， ∴点与点重合， ∴， 综上所述，当为等边三角形时，的值为5或20． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）在直角三角形中，，，点是边上一个定点（），点是边上的一个动点，将沿翻折，得到，其中． (1)若，则_____，_____； (2)当时，求证； (3)当与其中一边平行时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， ∴； (3)或或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理及折叠的性质作答即可； （2）根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，可知，即可证明； （3）分三种情况根据折叠的性质、三角形内角和定理及平行线的性质作答即可． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可知； （2）略； （3）解：如图，当且P在M左侧时， 由得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∵， ∴，即； 如图，当且P在M右侧时， 由得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∵， ∴，即； 如图，当时， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， 解得； 综上所述，的值为或或． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 【答案】或 【分析】先根据等腰的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用表示出三个内角的度数，再分两种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， 又∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称中常考几何模型 （题型突破·举一反三） 题型01 垂直平分线的性质 题型02 折叠求角度 题型03 折叠求线段长度 题型04 最短路径问题（将军饮马模型） 题型05 角平分线+轴对称 题型06 角平分线+垂直平分线 题型07 等腰三角形的存在性问题 题型08 等腰三角形的动点问题 题型09 等腰三角形的折叠问题 题型10 等腰三角形中最值问题 题型11 等腰三角形中的旋转问题（手拉手） 题型12 等腰三角形中的分类讨论问题 ▌题型01 垂直平分线的性质 【典例】（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． ▌题型02 折叠求角度 【典例】（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，将一条两组对边分别平行的纸带两侧进行折叠，折痕分别是、，点、、、折叠后对应的点分别是、、、，点在线段上． (1)若，则 ； (2)说明的理由； (3)如图2，延长交于点，将四边形沿折叠得到四边形，记，试用含的代数式表示的度数． 【变式1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）实践与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是 ； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请猜想，并证明你的结论． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）【初步感知】 三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．例如：图1，是的一个外角，则有． 【深入探究】 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何图形运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何图形． (1)如图2，在中，，，在边上有一点从向运动（不含端点），把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不含边界）； ①求的取值范围； ②直接写出与之间的数量关系． (2)【拓展运用】如图3，已知，，，，第一次沿过点的直线折叠，使点落在延长线上的点处，得到折痕，再展平纸片：第二次沿直线折叠，得到，延长交的延长线于点，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“折叠”为主题展开数学活动． 探究发现： (1)如图1，长方形纸片中，，点分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线过点，且，则______； (2)如图2，长方形纸片中，，点分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，若的延长线交于点，求的度数； 延伸拓展 (3)如图3，三角形纸片中，．点为边上一点不与点重合，将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，直接写出的度数． ▌题型03 折叠求线段长度 【典例】（2025·浙江台州·模拟预测）如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，同学们将三角形纸片按如下方式折叠，使点的对应点与点重合，折痕与边交于点，展开后连接；如图2，再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，且，折痕交边于点．若，，则的长为_______． 【变式2】（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为________________． 【变式3】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，将沿折叠，使点的对应点落在边上，在（1）所作图中标出点，连结，若，的面积为，求的长． ▌题型04 最短路径问题（将军饮马模型） 将军饮马利用轴对称转化折线。作其中一定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线交点即为动点。原理：两点之间线段最短，把两条线段之和转化为一条线段。看清动点所在直线，区分模型，检验三点不共线情况。 【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）综合与实践． 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连结，我只要说明． 请完整地写出小亮的求解过程． 【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）      【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【变式2】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． ▌题型05 角平分线+轴对称 角平分线是角的对称轴，角平分线上的点到角两边距离相等。常通过翻折构造全等，转移线段与角。看到角平分线可向两边作垂线，或截取等长线段。结合等腰、垂直平分线转化条件，注意找准对称前后对应的边角关系。 【典例】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分，平分． (1)【结论形成】如图①，若，求的度数； (2)【结论应用】如图②，点分别是边、上一点，连接，将沿折叠，使得点与点重合．若，求的度数； (3)【拓展延伸】如图③，点在的延长线上，作的平分线交延长线于点．若，则________度． 【变式1】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，C为长方形纸片边的中点，B为长方形纸片边上一个动点（不与点A、D重合），将长方形纸片的一角沿着所在直线折叠，使顶点A落在点处，是的平分线． (1)与有怎样的数量关系：________（小于、等于或大于） (2)当时，________° (3)当点B在纸片边上沿方向运动时，的度数将________（变小、不变、变大），的度数________（变小、不变、变大） 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）综合实践 折纸中的数学 【问题背景】 折叠垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学 【提出问题】 【问题解决】 如图，能折出过点P且与边平行的折痕吗？ 折平行线的方法步骤说明：第一次过点P折叠使点B落在边上的点，折痕为，第二次过点P折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则 (1)结合图1至图3的操作，说明：； (2)在图2中，若，求∠C的度数 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． ▌题型06 角平分线+垂直平分线 角平分线可得点到角两边距离相等，垂直平分线可得点到线段两端距离相等。解题可利用两组等量关系，得到线段、角度相等，构造等腰三角形。结合等量代换推导结论，注意区分两个定理条件，不要混淆距离的含义。 【典例】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，垂足为E，，，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在上，点A沿折叠后与点O重合，则是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若 ，则的长为______． ▌题型07 等腰三角形的存在性问题 等腰三角形存在性问题，分三类讨论：两定点距离为腰、两定点距离为底。分别作线段垂直平分线，或以定点为圆心、定长画圆找点。求出点后检验三点能否构成三角形，舍去共线情况，结合轴对称、等角等边性质计算边长角度。 【典例】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，，，点从点出发，沿着方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿着的方向以的速度匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒 (1)求的长度 (2)当点在边上运动，且时，求的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，直线，平分，过点B作交于点C；动点E，D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)求的度数； (2)若，求动点D，E的运动时间t的值； (3)动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，和都是边长为厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点P到达点B时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)点、从出发到相遇所用时间是 秒； (2)当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． ▌题型08 等腰三角形的动点问题 等腰三角形动点问题，抓住边或角的变化，分情况讨论哪两条边相等。利用等边对等角、等角对等边转化边角关系，设未知数建立等式。求出结果后检验，排除三点共线不能构成三角形的情况，结合轴对称性质简化计算。 【典例】（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，已知直线动点从点开始以每秒的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以每秒的速度运动． (1)问动点运动多少秒时，并说明理由； (2)设动点运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积； (3)动点运动多少秒时，与的面积比为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【变式2】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【变式3】（25-26八年级上·河南开封·阶段检测）如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题： 如图2，等边的边长为，动点P从B出发，以每秒的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)填空：＝________度；t的取值范围是________； (2)当时，t为多少秒时，是等边三角形； (3)当时，t为多少秒时，是直角三角形． ▌题型09 等腰三角形的折叠问题 【典例】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点，处． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在直角三角形中，，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形 ； （2）直接写出与之间的数量关系为 ，并给出证明； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，，，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4），请直接写出的周长为 ； 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围     成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分，，，，，请你帮丁师傅算一下需要买 米的栅栏． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等）      (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若，，是否存在这样的x的值，使得是以为腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·福建福州·期中）数学活动--折纸中的探索 【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系． 【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔． 【问题1】（1）如图1，把长方形的纸张沿对角线折叠，重合部分（）是一个等腰三角形吗？为什么？ 【问题2】（2）如图2，①对折长方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平；②再一次折叠纸张，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．求证：； 【问题3】（3）如图3，要求在正方形中折出一个等边三角形，使点，分别在边，上，请画出折痕，并简要说明折叠过程． ▌题型10 等腰三角形中最值问题 【典例】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，中，，，，D为中点，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为_____________． 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，，点P在内部，，点M，点N分别是上的动点，若存在点M，点N使得的周长最小，则周长的最小值是______． 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期末）路径探究问题中最短路径是常见的优化目标，今天我们运用转化思想，一起来研究一类经典的最短路径模型． 【提出问题】某小区计划在，，三栋楼之间建一个水塔，使得水塔到三栋楼之间的距离和最小． 【建立模型】如图1，我们将三栋楼抽象为三点，那么问题转化为在内部确定一点，使得的值最小．已知，当时，点满足条件，下面我们进行说明．（注：为锐角三角形） 如图2，分别以，为边，在其右侧作等边三角形和等边三角形，由此，我们将转化为，将转化为． 【问题解决】 (1)如图3，当，，，在同一直线上时，的值最小．请你说明的理由，并判断此时，和是否都等于； (2)根据以上研究经验，小明尝试在中作出符合上述条件的点．他的作法如下：如图4，分别以，为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接，交于点．请你分析小明作出的点是否符合题意．（提示：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形） ▌题型11 等腰三角形中的旋转问题（手拉手） 等腰手拉手模型：共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。旋转可得一组全等三角形，对应边、对应角相等。解题先找公共顶点，识别相等顶角，证明全等后转移边角。留意等腰性质，推导夹角，注意分类，排除特殊共线情况。 【典例】（25-26八年级上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1．在和中．，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为，请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 【变式3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． ▌题型12 等腰三角形中的分类讨论问题 【典例】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【变式1】（2025八年级上·江苏徐州·竞赛）如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）在直角三角形中，，，点是边上一个定点（），点是边上的一个动点，将沿翻折，得到，其中． (1)若，则_____，_____； (2)当时，求证； (3)当与其中一边平行时，直接写出的值． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $