第4章 圆的再认识（复习课件）数学新教材青岛版九年级上册

第4章 圆的再认识 复习课件 青岛版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 能准确识记圆心角，圆周角，切线等核心定义，理清各概念之间的区别与联系。 02 工具掌握 牢固掌握圆的基本性质，能熟练运用垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论进行计算、证明与解题。 深化理解  在综合解题、几何证明、作图练习中，养成规范解题、归纳总结的习惯，提升几何学习的逻辑思维与探究能力。 思想与应用 熟练运用数形结合、转化的数学思想，提升几何推理、运算和综合解题能力。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1. 垂径定理、圆周角定理推论的灵活运用，区分易混淆概念，处理多情况分类讨论问题。 2. 几何图形中，结合圆的性质挖掘隐含条件，完成复杂的几 何推理与综合证明。 3.把圆的知识和之前所学三角形等知识结合，解决综合性习题。 1. 圆的相关概念，垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及其推论的理解与综合运用。 2. 利用圆的性质进行角度、线段长度的计算和几何证明。 3. 点与圆的位置关系的判定，正多边形与圆之间的联系。 4 知识图谱 圆的再认识 圆的性质及相关计算 圆的轴对称 直线与圆 圆与其他图形 垂径定理 三角形的外接圆 圆的旋转性质 弧、弦、圆心角之间的关系 同（等）弧上的圆周角与圆心角 弧长与扇形 切线的判定与性质 三角形的内切圆 正多边形与圆 正多边形的外接圆 正多边形的画法 5 考点串讲 ——1：圆的轴对称性 1.圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. · ●O 圆有无数条对称轴。 6 考点串讲 ——1：圆的轴对称性 2.垂径定理： · 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 C D A B E ●O 几何言语： ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CE=DE, AC=AD, BC=BD。 ( ( ( ( 作用：求线段，角，弧的关系 连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 7 考点串讲 ——1：圆的轴对称性 · 垂径定理理解注意： 1经：这里的“径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。 2弦：垂径定理中的“弦”是任意一条弦，为直径时，结论仍然成立。 3作用：垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要方法，同时也为圆的计算和作图 提供了基本的方法和理论依据。 4模型：垂径定理四个常见图形如下图： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 8 考点串讲 ——2：圆的中心对称性 1.圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. . O A B 180° 圆的旋转不变性： 把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合,即圆是旋转对称图形. 9 考点串讲 ——2：圆的中心对称性 2.顶点在圆心的角叫作圆心角。 ●O • A • B 圆心角一般指小于平角的角。 圆心角特征是定点在圆心，两条边是半径。 一条弧（或弦）所对的圆心角只有一个。 10 考点串讲 ——2：圆的中心对称性 3.圆心角、弧、弦的关系定理： 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 11 考点串讲 ——2：圆的中心对称性 · O A B A' · O' B' 在等圆⊙O与⊙O'中， AB=A'B' ( ( AB=A'B' ∠AOB=∠A'OB' 12 考点串讲 ——3：圆周角定义及定理和推论 1.圆周角的定义： 顶点在圆上,并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦,这样的角叫作圆周角。 ①角的顶点在圆上，②角的两边在圆内的部分都是圆的弦。 13 考点串讲 ——3：圆周角定义及定理和推论 2.圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 B C O A ① B C O A ② B C O A ③ ∠BAC=∠BOC。 14 考点串讲 ——3：圆周角定义及定理和推论 3.圆周角定理的推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等 • D E • C ●O • A • B F G ∵AB=DE ( ( ∴∠C=∠G=∠F. 15 考点串讲 ——3：圆周角定义及定理和推论 4.圆周角定理的推论2： 直径所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对的弦是直径。 ●O A B C AB是☉O直径 ∠ACB=90° 16 考点串讲 ——3：圆周角定义及定理和推论 5.圆周角定理的推论3： 圆内接四边形的对角互补。 ●O A B C D ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形, ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 17 考点串讲 ——4：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系定义： 直线与圆相交： 直线l与☉O的有两个公共点时,把这种位置关系叫作直线l与☉O相交 直线与圆相切： 当直线和圆有唯一的公共点时, 叫作直线与圆相切。 直线与圆相离： 当直线和圆没有公共点时, 叫作直线与圆相离。 18 考点串讲 ——4：直线与圆的位置关系 2.直线与圆的位置关系： 当直线l与☉O相交时,d<r;反之,当d<r时,直线l与☉O相交。 当直线l与☉O相切时,d=r;反之,当d=r时,直线l与☉O相切。 当直线l与☉O相离时,d>r;反之,当d>r时,直线l与☉O相离。 形 数 形 数 19 考点串讲 ——4：直线与圆的位置关系 3.直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系     公共点的个数       公共点的名称       直线的名称       圆心到直线的距离d 与圆的半径r的关系     相离 相切 相交 0 1 2 切点 交点 切线 割线 d>r d=r d<r 20 考点串讲 ——5：圆的切线 1.切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ●O A l ∵OA为⊙O的半径，l⊥OA于点A, ∴l为⊙O的切线。 必备条件： 1.直线过半径的外端; 2.直线垂直于这条半径. 21 考点串讲 ——5：圆的切线 2.切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径． A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA. 22 考点串讲 ——5：圆的切线 3.切线长的定义： 过圆外一点可以作圆的两条切线,这一点与其中一个切点之间的线段的长, 叫作这一点到圆的切线长． P O R Q 如图PQ, PR 是☉O 的两条切线, Q,R 是切点，则PQ与PR都是点P到☉O 的切线长。 23 考点串讲 ——5：圆的切线 4.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等（并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）． B P O A ∵ PA、PB是☉O的切线, ∴PA=PB ，∠APO=∠BPO . 24 考点串讲 ——6：三角形与圆 1.确定圆的条件： · 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的外接圆： 经过三角形的三个顶点可以作一个圆， 这个圆叫作三角形的外接圆; 三角形的外心： 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径. 三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 25 考点串讲 ——6：三角形与圆 3.三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫作三角形的内心。 这个三角形叫作圆的外切三角形。 点M是△ABC的内心， 到三边的距离相等。AM平分∠BAC. A B C M 26 考点串讲 ——7：弧长与扇形的面积 弧长公式和扇形面积公式： l = S = S = lr O r n° 27 考点串讲 ——8：正多边形与圆 1.正多形的外接圆与内切圆： 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。圆心是各对称轴的交点,它到正多边形各顶点的距离相等,到各边的距离也相等。 2.正多边形的中心： 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫作正多边形的中心； 28 考点串讲 ——8：正多边形与圆 3.正多边形的半径： 外接圆的半径叫作正多边形的半径； 4.正多边形的边心距： 内切圆的半径长叫作正多边形的边心距。 5.正多边形的中心角： 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫作正多边形的中心角。 正n边形的每个中心角都等于 。 29 题型全解 题型01 垂径定理及其应用 B 例1：如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧 AB （AB 所在圆的圆心为O），弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂AB 的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂AB 所在圆的半径为（ ） A. 2dm B.2.5dm C. 3dm D.4dm ( ( ( ( ( 解析：本题主要考查垂径定理。弧中点的性质:如果一条过圆心的线经过弧的中点，那么这条线会垂直平分这条弧对应的弦。利用勾股定理可以得解. 30 题型全解 题型01 垂径定理及其应用 垂径定理应用的方法总结 遇垂径定理及应用，先抓条件与结论； 直径垂直于弦时，弦被平分弧也分； 弦的中垂线过心，弧被平分性质明； 定理推论记分明，垂径问题轻松解。 题型全解 题型02 圆心角，弧，弦关系定理 例2、如图，AB为⊙O的弦，C，D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC,OD分别交⊙O于点E,F.试证明AE=BF. 分析:欲证弧相等，结合图形，可先证弧所对的圆心角相等，即证∠AOE=∠BOF. ( ( 32 题型全解 题型02 圆心角，弧，弦关系定理 证明：∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC. ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B. ∴∠AOC=∠BOD,即∠AOE=∠BOF. ( ( ∴AE=BF. 33 题型全解 题型02 圆心角，弧，弦关系定理 求等弧的方法总结 方法 1： 应用垂径定理证明.构造垂径定理适用的条件得等弧. 方法 2： 利用圆心角、弧、弦之间的关系定理证明.把证等弧转化为证明它们所对的圆心角或弦相等. 方法 3： 在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等. 题型全解 题型03 圆周角定理及推论 例3、如图,在☉O中,弦AB,CD 相交于P,∠A=48°, ∠APD=80°。求∠B的度数 解析：本题解题的关键点是结合三角形外角的性质，以及同弧所对的圆周角相等的圆的性质，快速推导所求角的度数。 解：∵∠A=48°,∠APD=80° ∴∠C=∠APD-∠A=48°, ∴∠B=∠C=48°, 35 题型全解 题型03 圆周角定理及推论 例4、如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,∠BCD=105°,连接OB,OC,OD, BD,∠BOC=2∠COD。求∠CBD 的度数。 解析：本题考查圆内接四边形的性质、圆心角与圆周角的关系(圆周角定理)以及等腰三角形的性质。重难点在于利用圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，进而求出圆心角∠BOD的度数，再结合已知比例关系求出∠COD，最后利用等腰三角形性质求解。 36 题型全解 题型03 圆周角定理及推论 解:∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BCD=105， ∴∠BAD=180°-105°=75°, ∴∠BOD=150°. ∵∠BOC=2∠COD ∴∠COD=50°. ∴∠CBD=25°. 37 题型全解 题型03 圆周角定理及推论 解析：本题主要考查：①垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对应的两条弧;②同圆或等圆中,相等的弧对应的弦长相等,相等的弦对应的弧相等;③三角形全等判定定理:SAS、SSS。 例5、如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,D 为BC的中点,过点D 作DF⊥AB, 垂足为点E,交☉O于点F,交弦BC于点G,连接AC,CD,DB,BF。 写出两对全等的三角形,并证明; ( 38 题型全解 题型03 圆周角定理及推论 解:选取两对全等三角形分别为 △BDE≌△BFE,△BCD≌△FDB，证明如下: DE = FE ∠DEB =∠FEB BE = BE 所以△BDE≌△BFE。 证明：△BDE≌△BFE: 由DF⊥AB，AB是☉O的直径， 根据垂径定理可得:DE=FE，∠DEB=∠FEB=90° 在△BDE和△BFE中: 39 题型全解 题型03 圆周角定理及推论 证明△BCD≌△FDB: ∵D为BC的中点，∴CD=BD，∴ CD=BD 由垂径定理得BD=BF,可得BD=BF,∴CD=BF 由CD=BD=BF,可得CD+BD=BD+BF, 即CBD=DBF，对应弦长相等:BC=FD 在△BCD和△DBF中. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ∵D为BC的中点，∴CD=BD，∴ CD=BD 由垂径定理得BD=BF,可得BD=BF,∴CD=BF 由CD=BD=BF,可得CD+BD=BD+BF, 即CBD=DBF，对应弦长相等:BC=FD ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( CD =FB BD=DB BC=FD 所以△BCD≌△DBF。 40 题型全解 题型04 切线的判定 例6、如图，☉O是△ABC的外接圆，BC是☉O的直径，点E在 BC 的延长线上，连接 AE ，∠ABE=∠CAE． 求证： AE 是☉O的切线． 解析：本题主要考查切线的判定定理。连半径，证垂直。连接半径OA，要证明AE是☉O的切线，需证明OA⊥AE(切线的判定定理:经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线)。 题型全解 题型04 切线的判定 证明：连接半径OA， ∵OA=OC， ∵BC是☉O的直径， ∴∠OCA=∠OAC, ∴∠BAC=90°. ∵∠ABE=∠CAE, ∴∠OAE =∠CAE+∠OAC =∠ABE+∠OCA=90°. ∴AE是☉O的切线. ∴AE⊥OA 题型全解 题型05 切线的性质 例7、如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC边于点D，过点D作☉O的切线，交AC边于点E，且DE⊥AC.求证:AB=AC. 解析：本题主要考查切线的性质。连半径，得垂直。连接OD，要证明AB=AC，只要∠B=∠C.由切线的性质得OD⊥DE。 43 题型全解 题型05 切线的性质 证明:连接OD, ∴ OD⊥ DE, ∵DE ⊥AC, ∴ OD//AC, ∴∠ODB=∠B, ∵OB=OD, ∴∠B=∠C, ∴∠ODB=∠C, ∴AB=AC. ∵DE为☉O的切线， 44 题型全解 题型06 切线判定与性质综合 例8、如图，AB与☉O相切于点B，AO交☉O于点F，延长AO交☉O于点C，连接BC，点D为☉O上一点，且 = ，连接AD． (1)求证：AD是☉O的切线； (2)若AB = 6，AC = 8，求☉O的半径的长． 解析:本题主要考查了切线的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等。 45 题型全解 题型06 切线判定与性质综合 (1)证明:如图，连接OD,OB. ∵AB与☉O相切于点B, ∴∠ABO=90°. ∴∠AOD=∠AOB 又∵OD=OB,OA=OA, ∴△AOD≌△AOB(SAS). ∴∠ADO=∠ABO=90° ∵OD是☉O的半径， ∵DF=BF. ( ( ∴AD是☉O的切线. 46 题型全解 题型06 切线判定与性质综合 (2)设☉O的半径为r, 则OB=r,OA=AC-OC=8-r. 在Rt△ABO中，由勾股定理得OA2=OB2+AB2， (8-r)2=r2+62, 解得r= ∴☉O的半径的长为. 47 题型全解 题型06 切线判定与性质综合 圆中与切线相关的常见辅助线方法总结 方法 1： 判定切线时，连接圆心和直线与圆的公共点，证明半径垂直直线；或过圆心作该直线的垂线证明半径; 方法2： 有切线时，常常连接切点和该圆的圆心得半径垂直切线. 题型全解 题型07 切线长定理 例9、如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化 B 解析：本题的核心是利用切线长定理，结合三角形内切圆的切线线段相等性质，推导剪下的△AMN的周长转化内切圆切线线段关系。 49 题型全解 题型08 正多边形与圆的综合 例10、如图,两个同心圆的圆心为O,正方形ABCD 的顶点都在大圆上,四条边都与小圆相切,大圆的半径OA 与OB 分别与小圆交于点E与F,正方形的边长为a。求AB与EF的弧长之差,并求阴影部分的面积。 ( ( 解析：本题考查圆的切线性质、正方形的性质、勾股定理、弧长公式以及扇形面积公式。重难点在于利用正方形和圆的几何关系求出大圆和小圆的半径，进而利用公式计算弧长和面积。 50 题型全解 题型08 正多边形与圆的综合 解:由题意知AB=a, 在△AOB中,AO=a。 又∵小圆内切于正方形ABCD， ∴小圆的半径为r=AB= a。 AB的长度为== ( :EF的长度为==. ( 51 题型全解 题型08 正多边形与圆的综合 ∵S扇形AOB==, S扇形EOF==, ∴S阴影=S扇形AOB-S扇形EOF =- = AB与EF的弧长之差=- ( ( 52 题型全解 题型09 正多边形与圆的综合 例11 、如图，正五边形ABCDE内接于☉O，P为 DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为______． 36° 解析：此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.根据圆周角的性质即可求解。连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD=72°×=36°. 53 针对训练 1.如图，CD是☉O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H,交☉O于点 A，OH:HA=3:2，点M是CBD上异于C,D的一点，连接 CM,DM，则sin∠CMD的值是( ) A. B. C. D . ( 解析：本题主要考查垂径定理和圆周角定理，及三角函数的定义来求解。 首先确定圆的半径和线段长度；然后利用垂径定理求弦心距对应的弦长；最后圆周角与圆心角的关系。 B 针对训练 2.(聊城中考)如图，BC是半圆☉O的直径，D，E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点 A，连接OD，OE.如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为( ) A.35° B. 38° C.40° D. 42° 解析：本题考查了圆周角定理及推论。存在了直径，也就隐含了90°的圆周角.连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出 ∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出 ∠DOE=2∠ACD=40°即可， C 针对训练 3.(潍坊奎文区期末)如图，CO,CA是OD的弦，OD与坐标系x轴、y轴分别交于点A，B,点B的坐标为(0,2),∠ACO=60°,则的直径为( ) A.2 B. C.4 D.5 解析：本题主要考查圆周角定理的推论和三角函数。存在90°圆周角，也就有了直径。首先由∠BOA=90°判断AB为直径，再由三角函数计算出直径AB。 C 针对训练 4.如图，☉O的直径AB与弦CD的延长线交于点E.若 DE=OB,∠AOC=84°，则∠E等于（ ） A.42° B.28° C.21° D.20° B 解析：本题考查了圆的认识:掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).连半径，得等腰三角形.连接OD，由DE=OB=OD,得∠OCD=∠ODC=2∠E,由外角定理得∠AOC=3∠E=84°。 针对训练 5.(枣庄中考)如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点P, AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( ) A. B.2 C.2 D. 8 C E 解析：本题考查了垂径定理，勾股定理以及含30度的直角三角形的性质.过圆心作弦的垂线段。作OE⊥CD于E，连接OC，根据垂径定理得EC=ED，再利用AP=2, BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA-AP=2,在Rt△OPE中根据含30°的直角三角形的性质计算出OE=1,由勾股定理计算CE的长。 针对训练 6.如图，☉O是正五边形ABCDE的内切圆，点M,N,F分别是边AE,AB,CD与☉O的切点，则∠MFN的度数为 。 解析：本题主要考查正五边形的性质和圆周角定理。先算出正五边形的内角∠A=108°， 连接OM,ON,点M,N,F是正五边形各边与内切圆O的切点，因此OM⊥AE,ON⊥AB,结合切线的性质定理和四边形内角和，可推得:∠MON=72° ，得出∠MFN=36°。 36° 针对训练 解析:本题考查圆的切线判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、解直角三角形(锐角三角函数)以及勾股定理。切线的判定:利用“弧相等”推导出“角相等”，进而证明"平行"，最后利用"垂直"证明"切线”。利用三角函数值设未知数，结合勾股定理求出线段 AC的长，再根据直径所对的圆周角是直角，在Rt△ABC中求出直径AB。 7.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，AC=BD，连接AC，AD，CD，过点A作AH⊥CD交DC的延长线于点H. (1)求证:AH是☉O的切线; (2)若AH=2,sin∠CAH=，求☉O的半径. ( ( 针对训练 (1)证明:∵AC =BD ∴∠ADC =∠DAB. ∴CD∥AB ∵AH⊥ CD ∴ AH ⊥ AB ∵AB是☉O的直径， ∴AH是☉O的切线。 ( ( 针对训练 (2)解:在Rt△ACH中，∠H=90°， sin∠CAH= 设CH=x，则AC=5x 由勾股定理得:AH2+CH2=AC2 即22+(x)2=(5x)2 解得x= :AC=5×= 针对训练 ∵CD∥AB ∴∠CAB = ∠ACH ∴sin∠CAB = cos∠CAH== . ∵AB是☉O的直径.∠ACB=90° 在RtABC中，sin∠CAB= 设BC=2k,AB=k 由勾股定理得:AC2+BC2=AB2即()2+(2k)2=(k)2解得k= ∴AB=×=5 ∴☉O的半径为 单元总结/易错复盘 ·数学思想 本章内容是体现数形结合、分类思想、转化思想的理想素材。点与圆的位置关系(点到圆心的距离与半径的大小);确定圆的条件(三个点在同一直线或不在同一直线上);三角形的外接圆的圆心的位置(根据三角形的形状确定);圆内非直径的两平行弦间的距离;同一条弦所对的圆周角;直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离与半径的大小)。 ·核心概念 理解圆心角，圆周角，三角形与圆的关系，直线与圆的位置关系，正多边形与圆的位置关系中的相关概念。 ·建模思想 本章中的垂径定理往往与直角三角形结合，通过过圆心作弦的垂线段或连半径构造出直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决问题。 64 青岛版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $