第四章 圆的再认识（17大考点+10大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学“圆的再认识”单元知识清单全面覆盖圆的核心内容，包含圆的定义、性质定理、位置关系、计算及应用五大知识范畴，构建了从基础概念到性质推理再到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“知识点系统梳理+易错点精准突破”的方式呈现知识体系，如垂径定理推论分条件细化，切线判定总结“连半径证垂直”“作垂直证半径”模型，培养学生的几何直观和推理意识。特别设计“对点训练”和“解题模型”，如“钻石图形”整合切线长定理关联要素，助力学生高效掌握重点，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第四章 圆的再认识 知识点01圆的有关定义 1.圆的定义： 运动观点：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 集合观点：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形. 总结：确定圆的两个条件 ①圆心，它确定圆的位置. ②半径，它确定圆的大小. 2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 注意： ①在一个圆上可以画无数条弦和直径. ②直径是弦，但弦不一定是直径，直径是最长的弦. 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧用符号“⌒” 表示， 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧 注意：半圆是弧,但弧不一定是半圆. 知识点02 垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 2.推论：（1）平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧. 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 知识点03 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学-科网 知识点04 圆周角定理及推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3、推论: 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也________. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：如果三角 形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点05 圆内接四边形 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点06 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O_____； d=r点P在⊙O_____； d>r点P在⊙O______. 点拨：在不确定点的位置时，要分三种情况进行讨论：即点在圆上、点在圆内、点在圆外 知识点07确定圆的条件 (1)过一点作圆，圆心、半径不确定； (2)过两点作圆，圆心在连接两点线段的垂直平分线上，半径不确定： (3)过不共线的三点作圆，圆心、半径确定，可作唯一圆. 知识点08 三角形的外接圆 1.三角形外接圆的有关概念 (1)三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.如图，⊙O是△ABC的外接圆 (2)三角形的外心：三角形的外接圆的圆心. 2.三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 3.点拨：三角形外接圆的作法 (1)定圆心，作三角形任意两边的垂直平分线，交点即为圆心： (2)定半径，以圆心到三角形任一顶点的距离为半径作圆，即可画出三角形的外接圆， 知识点09直线与圆的位置关系 直线和圆的位 置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公 共点,这时我们说这 条直线和圆相交 直线和圆只有一个 公共点,这时我们说 这条直线和圆相切 直线和圆没有公共 点,这时我们说这条 直线和圆相离 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的 距离d与半径r 的关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 总结 直线l与⊙O相交 d<r 直线l与⊙O相切 d=r 直线l与⊙O相离 d>r 知识点10 切线的判定定理 1.文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2.符号语言：如图，QA是⊙0的半径，因为l⊥OA,垂足为A,所以直线1是⊙O的切线。 3.切线的判定方法： （1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. （2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. （3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 4.证明切线的两种常见思路： （1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证______”； （2）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证______”． 知识点11 切线的性质定理 1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 2.解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 知识点12 切线长定理 1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 3.解题模型： 如图，PA,PB为⊙O的切线，此图形是切线长定理的基本图形.因为此图形的形状像一个“钻石”，我们常把它称为“钻石”图形.此图形中含有： (1)两个等腰三角形（△PAB和△OAB): (2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB): (3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB). 知识点13 三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形的内心：内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心. 知识点14弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：_______________； （2）扇形面积公式： ___________ ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长 注意：　 （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点15圆内接正多边形的计算 1.正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； 2.正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： 3.正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，． 知识点16与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径． 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距． 4.中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 知识点17正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形．一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心． 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心． 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形． 易错点1 运用圆心角、弧、弦之间的关系定理时忽视“同圆或等圆”的条件而致错 易错提醒 对圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理适用条件掌握不到位，只记忆了定理的结论部分，忽略了前提限定，容易直接丢掉“在同圆或等圆中”这个成立前提，直接认为相等圆心角所对的弧相等、相等的弦所对的圆心角相等，进而得到错误结果。实际上该定理的结论仅在同圆或等圆中成立，若两个圆心角分别位于大小不同的两个圆中，这些等量关系都不成立。 【对点训练】1．下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 易错点2 用垂径定理解决平行弦问题 易错提醒 在圆中，两条平行弦与圆心的位置关系存在两种情况——圆心位于两条平行弦之间，或圆心位于两条平行弦的同侧。不少题目不会明确给出图形说明位置关系，解题时若只默认其中一种情况，就会出现漏解的错误。因此遇到这类问题时，需要先画出两种可能的图形，再分别结合垂径定理和勾股定理计算两条平行弦之间的距离，保证结果完整。 【对点训练】2．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 易错点3 非直径的弦所对的圆周角问题 易错提醒 在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，一条非直径的弦所对的圆周角有两种情况：①顶点在优弧上的圆周角；②顶点在劣弧上的圆周角.由此在图形不确定的情况下，常忽略其中的一种情况而导致出现丢解的情况. 【对点训练】3．已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于 ． 易错点4 忽视三角形外心位置的讨论而致错 易错提醒 不同类型的三角形，外心位置并不相同：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。在遇到涉及外心位置的计算类题目时，如果题干没有明确给出图形，也没有指定外心位置，需要分三种情况分别进行讨论，避免漏解出现错误。 【对点训练】4．．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知在圆内接三角形中，，圆心O到的距离为，圆的半径为，则腰的长为 ． 易错点5 立体图形圆锥与对应的平面图形扇形间的转化关系混乱致错 易错提醒 在计算圆锥侧面积、扇形圆心角度数这类题目时，很容易混淆两个图形中各对应要素的关系：要么错把圆锥母线长当成扇形弧长，要么误将圆锥底面圆的直径当作扇形的弧长代入计算，完全忽略了转化过程中最核心的等量关系——圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线长等于侧面展开图扇形的半径。对应关系梳理不清，会直接导致弧长、面积、圆心角的计算结果全部错误，解决这类问题时一定要先明确对应关系，再结合相关公式逐步计算。 【对点训练】5．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算：(1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 易错点6 忽视动圆运动过程中图形相切的多解性而致错 易错提醒 在涉及动圆与定直线相切的应用问题中，符合条件的动圆可出现在定直线的两侧，且两种位置均满足题目给出的条件。很多同学只考虑了动圆在定直线一侧的情况，没有意识到另一侧也存在符合条件的解，直接导致结果漏解。遇到这类问题，要先结合图形对称性，画出所有可能的位置，再分别计算对应结果，就可以有效避免这类错误。 【对点训练】6．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 易错点7 求图形旋转后扫过的面积 易错提醒 1.易错误判断旋转后图形扫过的区域形状，把非扇形部分误算成扇形，或者对旋转半径的确定不准确，导致面积计算错误。 2.:明确图形旋转时的旋转中心、旋转角度，准确判断扫过区域的形状，仔细确定各部分对应的半径，再结合相应面积公式计算。 【对点训练】7．如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π） 易错点8 直线与圆相切的判定中忽视直线与圆是否存在公共点 易错提醒 常见证明切线的两种思路可总结为“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂线，证半径”。不少同学解题时，会直接默认直线与圆已经存在确定公共点，不分情况盲目套用证明思路，若题目中未明确给出直线与圆的公共点，也不对公共点的唯一性进行说明，就直接推导证明，最终导致证明过程逻辑不严谨被扣分。要避免这个问题，拿到题目后先确认已知条件中是否指明直线与圆有公共点，再对应选择合适的证明思路，保证推导逻辑完整。 【对点训练】8．在中，,平分∠CAB，O是OA上任一点，为半径作 求证：是的切线 ．    易错点9 求不规则图形的面积时，出现补全或拆分错误 易错提醒 1.易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。 2.仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算时留意重叠、空缺部分的处理。 【对点训练】9.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 易错点10 与圆有关的新定义型问题 易错提醒 1易因未完全理解新定义内涵，错用定义中的条件（如特殊点、特殊线段、角度关系）；也常忽略新定义与圆的基本性质（如半径、圆心角、切线）的关联，导致解题思路偏离。 2.注意事项:先逐字研读新定义，圈画关键条件并转化为数学语言；再结合圆的基本性质分析，通过画图直观呈现新定义中的图形关系，验证每一步推理是否符合定义要求。 【对点训练】10．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 1、 单选题 1.在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( ) A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．AB＝2CD 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 3.在半径为1的中，弦，则弦所对的圆周角的度数为（    ）． A． B． C．或 D．或 4.（2023·山东泰安·二模）已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（    ）． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 5.（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 2、 填空题 6.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升　 　 ． 7．直线与相切于点B，C是与线段的交点，D是上的动点（点D与B，C不重合），若，则的度数为 ． 8.中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 9.如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是 个 A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 三、解答题 11.如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作， 求证：与相切． 12.【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 13.如图，为的直径，点C是上异于A，B的点，连接，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 14．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 圆的再认识 知识点01圆的有关定义 1.圆的定义： 运动观点：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 集合观点：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形. 总结：确定圆的两个条件 ①圆心，它确定圆的位置. ②半径，它确定圆的大小. 2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 注意： ①在一个圆上可以画无数条弦和直径. ②直径是弦，但弦不一定是直径，直径是最长的弦. 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧用符号“⌒” 表示， 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧 注意：半圆是弧,但弧不一定是半圆. 知识点02 垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 2.推论：（1）平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧. 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 知识点03 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学-科网 知识点04 圆周角定理及推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3、推论: 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：如果三角 形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点05 圆内接四边形 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点06 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外. 点拨：在不确定点的位置时，要分三种情况进行讨论：即点在圆上、点在圆内、点在圆外 知识点07确定圆的条件 (1)过一点作圆，圆心、半径不确定； (2)过两点作圆，圆心在连接两点线段的垂直平分线上，半径不确定： (3)过不共线的三点作圆，圆心、半径确定，可作唯一圆. 知识点08 三角形的外接圆 1.三角形外接圆的有关概念 (1)三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.如图，⊙O是△ABC的外接圆 (2)三角形的外心：三角形的外接圆的圆心. 2.三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 3.点拨：三角形外接圆的作法 (1)定圆心，作三角形任意两边的垂直平分线，交点即为圆心： (2)定半径，以圆心到三角形任一顶点的距离为半径作圆，即可画出三角形的外接圆， 知识点09直线与圆的位置关系 直线和圆的位 置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公 共点,这时我们说这 条直线和圆相交 直线和圆只有一个 公共点,这时我们说 这条直线和圆相切 直线和圆没有公共 点,这时我们说这条 直线和圆相离 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的 距离d与半径r 的关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 总结 直线l与⊙O相交 d<r 直线l与⊙O相切 d=r 直线l与⊙O相离 d>r 知识点10 切线的判定定理 1.文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2.符号语言：如图，QA是⊙0的半径，因为l⊥OA,垂足为A,所以直线1是⊙O的切线。 3.切线的判定方法： （1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. （2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. （3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 4.证明切线的两种常见思路： （1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； （2）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 知识点11 切线的性质定理 1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 2.解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 知识点12 切线长定理 1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 3.解题模型： 如图，PA,PB为⊙O的切线，此图形是切线长定理的基本图形.因为此图形的形状像一个“钻石”，我们常把它称为“钻石”图形.此图形中含有： (1)两个等腰三角形（△PAB和△OAB): (2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB): (3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB). 知识点13 三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形的内心：内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心. 知识点14弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长 注意：　 （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点15圆内接正多边形的计算 1.正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； 2.正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： 3.正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，． 知识点16与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径． 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距． 4.中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 知识点17正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形．一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心． 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心． 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形． 易错点1 运用圆心角、弧、弦之间的关系定理时忽视“同圆或等圆”的条件而致错 易错提醒 对圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理适用条件掌握不到位，只记忆了定理的结论部分，忽略了前提限定，容易直接丢掉“在同圆或等圆中”这个成立前提，直接认为相等圆心角所对的弧相等、相等的弦所对的圆心角相等，进而得到错误结果。实际上该定理的结论仅在同圆或等圆中成立，若两个圆心角分别位于大小不同的两个圆中，这些等量关系都不成立。 【对点训练】1．下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】试题分析：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来判断，其中“在同圆或等圆中”是必备条件. 解：①两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧对等弦，①正确； ②两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故②错误； ③两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故③错误； ④两个相等的圆心角不一定在同圆或等圆中，故④错误； ⑤两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧所对的圆心角相等，⑤正确． 综上①⑤正确. 故选B. 易错点2 用垂径定理解决平行弦问题 易错提醒 在圆中，两条平行弦与圆心的位置关系存在两种情况——圆心位于两条平行弦之间，或圆心位于两条平行弦的同侧。不少题目不会明确给出图形说明位置关系，解题时若只默认其中一种情况，就会出现漏解的错误。因此遇到这类问题时，需要先画出两种可能的图形，再分别结合垂径定理和勾股定理计算两条平行弦之间的距离，保证结果完整。 【对点训练】2．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，． ，， ． ，，， ，． 在中，． 在中，． 当，在圆心的同侧时， ； 当，在圆心的异侧时， ． 故答案为：或． 易错点3 非直径的弦所对的圆周角问题 易错提醒 在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，一条非直径的弦所对的圆周角有两种情况：①顶点在优弧上的圆周角；②顶点在劣弧上的圆周角.由此在图形不确定的情况下，常忽略其中的一种情况而导致出现丢解的情况. 【对点训练】3．已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于 ． 【答案】或 【分析】此题考查了求圆周角；直径所对圆周角是直角，勾股定理求出，证得为等腰直角三角形即可解得． 【详解】解：如图, 连接， 的直径 , 根据勾股定理得 ∴ 为等腰直角三角形 ， 弦所对的圆周角的度数等于或者． 故答案为：或者． 易错点4 忽视三角形外心位置的讨论而致错 易错提醒 不同类型的三角形，外心位置并不相同：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。在遇到涉及外心位置的计算类题目时，如果题干没有明确给出图形，也没有指定外心位置，需要分三种情况分别进行讨论，避免漏解出现错误。 【对点训练】4．．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知在圆内接三角形中，，圆心O到的距离为，圆的半径为，则腰的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当圆心在内部时；②当圆心在外部时；由，可判定是的垂直平分线，进而可得，由题意可知，于是可求出的长，然后利用勾股定理可求出的长，进而可求得的长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当圆心在内部时， 如图， ，， 是的垂直平分线， ， 由题意可知：， ， 根据勾股定理可得： ， ； ②当圆心在外部时， 如图， ，， 是的垂直平分线， ， 由题意可知：， ， 根据勾股定理可得： ， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，垂线的性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 易错点5 立体图形圆锥与对应的平面图形扇形间的转化关系混乱致错 易错提醒 在计算圆锥侧面积、扇形圆心角度数这类题目时，很容易混淆两个图形中各对应要素的关系：要么错把圆锥母线长当成扇形弧长，要么误将圆锥底面圆的直径当作扇形的弧长代入计算，完全忽略了转化过程中最核心的等量关系——圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线长等于侧面展开图扇形的半径。对应关系梳理不清，会直接导致弧长、面积、圆心角的计算结果全部错误，解决这类问题时一定要先明确对应关系，再结合相关公式逐步计算。 【对点训练】5．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算：(1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 【答案】(1)（或）(2) 【详解】（1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长，或． （2）解：，，，解得：， 在直角中，，，，． 易错点6 忽视动圆运动过程中图形相切的多解性而致错 易错提醒 在涉及动圆与定直线相切的应用问题中，符合条件的动圆可出现在定直线的两侧，且两种位置均满足题目给出的条件。很多同学只考虑了动圆在定直线一侧的情况，没有意识到另一侧也存在符合条件的解，直接导致结果漏解。遇到这类问题，要先结合图形对称性，画出所有可能的位置，再分别计算对应结果，就可以有效避免这类错误。 【对点训练】6．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 【答案】4或8/8或4 【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可． 【详解】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30° ∴OP＝2PE＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切 ∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E ∴PF＝1cm ∵∠AOC＝∠DOB＝30° ∴OP＝2PF＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒） ∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切． 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算． 易错点7 求图形旋转后扫过的面积 易错提醒 1.易错误判断旋转后图形扫过的区域形状，把非扇形部分误算成扇形，或者对旋转半径的确定不准确，导致面积计算错误。 2.:明确图形旋转时的旋转中心、旋转角度，准确判断扫过区域的形状，仔细确定各部分对应的半径，再结合相应面积公式计算。 【对点训练】7．如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】根据旋转的性质得出，，，，根据直角三角形的性质求出，，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转至△，， ，，，， ，，， ，， ， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 易错点8 直线与圆相切的判定中忽视直线与圆是否存在公共点 易错提醒 常见证明切线的两种思路可总结为“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂线，证半径”。不少同学解题时，会直接默认直线与圆已经存在确定公共点，不分情况盲目套用证明思路，若题目中未明确给出直线与圆的公共点，也不对公共点的唯一性进行说明，就直接推导证明，最终导致证明过程逻辑不严谨被扣分。要避免这个问题，拿到题目后先确认已知条件中是否指明直线与圆有公共点，再对应选择合适的证明思路，保证推导逻辑完整。 【对点训练】8．在中，,平分∠CAB，O是OA上任一点，为半径作 求证：是的切线 ．    错解:证明：如图设AB与⊙O的公共点为F，连接OF. 通过证明△OCA≌△OFA. 得到∠OFA=∠OCA=90°. ∴⊙O与AB 相切. 错解分析:切线的证明方法通常有两种， 一是已知圆与直线有公共点“连半径，证垂直”， 二是不知圆与直线有公共点“作垂直，证半径”． 本题未说明AB与⊙O有公共点，故应该用第二种证明方法． 正解：证明：如图：过点作于点，   是的角平分线，，， ， 是的切线． 【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 易错点9 求不规则图形的面积时，出现补全或拆分错误 易错提醒 1.易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。 2.仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算时留意重叠、空缺部分的处理。 【对点训练】9.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到， ，， ， 在中，，， ， 上式． 故答案为：． 易错点10 与圆有关的新定义型问题 易错提醒 1易因未完全理解新定义内涵，错用定义中的条件（如特殊点、特殊线段、角度关系）；也常忽略新定义与圆的基本性质（如半径、圆心角、切线）的关联，导致解题思路偏离。 2.注意事项:先逐字研读新定义，圈画关键条件并转化为数学语言；再结合圆的基本性质分析，通过画图直观呈现新定义中的图形关系，验证每一步推理是否符合定义要求。 【对点训练】10．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①60；②（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可． 【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径,连接, 则 ∵圆的半径为5， ∴, ∵， ∴. ∴． （2）关系为：，理由如下： 如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， ∴, ∵平分， ∴, ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 1、 单选题 1.在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( ) A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．AB＝2CD 【答案】B 【详解】在同圆或等圆中，∵=，∴AB=CD. 故选B 点睛：同圆或等圆中，等弧对等弦． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个的弧长和一个的弧长．求出圆心O滚动一周路径长，可得结论． 【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为， ∴滚动2025周后圆心所经过的路径长， 故选：D． 3.在半径为1的中，弦，则弦所对的圆周角的度数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】如图，连结，，，，，， 当圆周角的顶点在优弧上时，，当圆周角的顶点在劣弧上时，， ， 综上所述，弦所对的圆周角的度数为或．故选C． 4.（2023·山东泰安·二模）已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（    ）． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【详解】作于E，延长交于F，连接、，如图     ∵，∴∴， 在中， 在中， 当点O在与之间时，如图1， 当点O不在与之间时，如图2，故选：C． 5.（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 图中阴影部分的面积为，求出相关数据计算即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵为半圆弧的中点， ∴，， 连接， ∵四边形的边与相切，切点为， ∴且， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 2、 填空题 6.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升　 　 ． 【答案】1或7 【详解】解：作半径于，连接，由垂径定理得： 在中，，当水位上升到圆心以下水面宽时，则， 水面上升的高度为：；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：， 综上可得，水面上升的高度为或．故答案为：1或7． 7．直线与相切于点B，C是与线段的交点，D是上的动点（点D与B，C不重合），若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． 根据切线的性质，连接，得，结合，可求．分点D在优弧和劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵直线与相切于点B， ∴， ∵， ∴， 当点D在优弧上时，为圆周角，所对弧为，圆心角为，故； 当点D在劣弧上时，与优弧上的圆周角互补，即． 故答案为：或． 8.中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、弧长公式等知识，推导出cm及是解题的关键．由，，求得，由旋转得cm，，则，由弧长公式求得点所经过的路径cm，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 由旋转得，， 、、三点在同一条直线上， ， 点所经过的路径为半径为cm且圆心角等于的一段弧， 点所经过的路径（cm)， 故答案为：cm． 9.如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是 个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先判断图中的特殊直角三角形，画出与该直线相切时的位置，再在圆和直线相交过程中找到所有整数点即可． 【详解】在上， 令；令 Rt中 如图所示，当在P点和点时和直线相切，切点分别为M，N 当与该直线相交时， 横坐标为整数的点即线段之间的三个点． 故选：B 【点睛】此题考查圆与切线的关系，结合平面直角坐标系求点的坐标，解题关键是画出两种可能性，看图选整数点即可． 10．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 三、解答题 11.如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作， 求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】过点作于，根据证明，推出，即可证明与相切． 【详解】证明：如图，过点作于， 平分， ， 又，， ， 在与中， ， ， ， 点D在上， 又， 与相切于点． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定方法． 12.【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1），，，， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 13.如图，为的直径，点C是上异于A，B的点，连接，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，然后根据，可得，即可求证； （2）根据，可得，设，根据勾股定理求出x，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 即的半径3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 14．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）连接，利用得到，然后利用角度的代换可证明，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）利用圆周角定理得到，求出，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：， ， ， 在中，， ， 阴影部分的面积 ． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）因为邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以①正确；因为正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以②正确；因为四边形中，，，所以四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以③错误； （2）设分别与相切于点，得到，，继而得到，，即可得到结论； （3）①连接，由是四边形的内切圆，可得，进而得，同理可得，进而可得，即可证明结论； ②连接，作于点，于点，得到，，可证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理得到，，得出，得到求出． 【详解】（1）解；①邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 邻边不相等的矩形一定没有内切圆， 故①正确； ②正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 正方形一定有内切圆， 故②正确； ③四边形中，，， 四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 故③错误； 故答案为：，，； （2）证明：如图，设分别与相切于点， ， ， ， ； （3）①证明∶如图，连接， 是四边形的内切圆， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：如图，连接，作于点，于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了上直线的圆的位置关系，切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $