第4章 圆的再认识概念清单速记表（知识清单）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学“圆的再认识”知识清单系统整合圆的对称性、圆心角与圆周角、直线与圆位置关系等核心内容，构建从基础概念到定理应用再到公式计算的层级化学习支架。 清单以章节为单元分类呈现概念，通过“相关概念”列建立知识关联，如将垂径定理与“直径、弦、弧”等概念绑定，强化几何直观。重点标注“三点定圆”“切线判定定理”等关键内容，助力学生形成空间观念，教师可直接用于复习梳理，提升教学效率。

第4章 圆的再认识清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 4.1 圆的对称性 圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。 轴对称；中心对称；对称轴；对称中心；圆心 圆的旋转不变性 将圆绕其圆心旋转任意角度，所得的图形都与原图形重合。这一性质称为圆的旋转不变性。 圆心；旋转；全等；重合 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。若直径 弦 于点 ，则 ，，。 直径；弦；弧；垂直；平分 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。过同一条直线上的三个点不能作圆。 三点定圆；垂直平分线；圆心；半径；共线 三角形的外接圆与外心 经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆；外接圆的圆心叫作三角形的外心；这个三角形叫作这个圆的内接三角形。 外接圆；外心；内接三角形；垂直平分线 4.2 圆心角、圆周角、圆内接四边形 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 圆心；弧；圆心角；度数 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。反过来，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 圆心角；弧；弦；同圆；等圆 圆周角 顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦的角叫作圆周角。 圆上点；弦；圆周角；圆心角 圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。即同弧或等弧所对的圆周角 ，其中 为圆心。 圆周角；圆心角；同弧；等弧 同弧（或等弧）所对的圆周角相等 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 圆周角；同弧；等弧；相等 直径所对的圆周角 直径所对的圆周角是直角，即等于90°；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 直径；圆周角；直角；逆定理 圆内接多边形 所有顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。 圆内接四边形；外接圆；顶点；共圆 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，即 ，；并且它的一个外角等于它的内对角。 圆内接四边形；对角互补；外角；内对角 4.3 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系：相交（两个公共点，直线称为割线）、相切（唯一公共点，直线称为切线，公共点称为切点）、相离（没有公共点）。 相交；相切；相离；割线；切线；切点 直线与圆位置关系的判定 设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，则： 时直线与圆相交； 时直线与圆相切； 时直线与圆相离。 半径；圆心距；相交；相切；相离 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线；半径；外端；垂直；判定 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。若直线 与圆相切于点 ，则圆心 与切点 的半径 。 切线；切点；半径；垂直 切线长 过圆外一点可以作圆的两条切线，这一点与其中一个切点之间的线段的长，叫作这一点到圆的切线长。 切线；切点；圆外一点；线段长 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。若 、 是圆的两条切线，、 为切点，则 。 切线长；圆外一点；切点；相等 4.4 三角形的内切圆 三角形的内切圆与内心 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；内切圆的圆心叫作三角形的内心；这个三角形叫作圆的外切三角形。 内切圆；内心；外切三角形；角平分线 内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，且一定在三角形内部。任意一个三角形有且只有一个内心。 内心；角平分线；距离相等；唯一性 4.5 弧长与扇形面积 弧长公式 在半径为 的圆中，圆心角为 的弧长 。 弧长；半径；圆心角；公式 扇形面积公式 在半径为 的圆中，圆心角为 的扇形面积 ，其中 为扇形的弧长。 扇形；面积；弧长；半径；圆心角 4.6 正多边形与圆 正多边形的对称性 正多边形都是轴对称图形，一个正 边形有 条对称轴；当 为奇数时不是中心对称图形，当 为偶数时是中心对称图形。 正多边形；轴对称；中心对称；对称轴 正多边形的中心、半径、边心距与中心角 正多边形都有外接圆和内切圆，这两个圆是同心圆；公共圆心叫作正多边形的中心，外接圆半径叫作正多边形的半径，内切圆半径长叫作边心距，每条边所对的外接圆圆心角叫作中心角。 正多边形；外接圆；内切圆；中心；半径；边心距；中心角 正n边形的中心角与边长公式 正 边形的每个中心角等于 。设边长为 ，半径为 ，边心距为 ，则 。 正n边形；中心角；边长；半径；边心距 圆内接正n边形的画法 画圆内接正 边形，可以把圆 等分。常用的方法有：用量角器把 的圆心角 等分，或利用尺规作图（如作互相垂直的直径得正方形，用半径长截圆周得正六边形）。 圆内接正多边形；等分圆周；量角器；尺规作图 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $