精品解析：陕西西安市西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期高三年级零模数学试题

西工大附中2026-2027学年度第一学期 高三年级零模数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的定义域及指数函数的值域求出集合，，再求交集即可. 【详解】由已知可得：，，所以. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，不等式， 而集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 3. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以， . 4. 已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，， ． 5. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比. 【详解】对抛物线，焦点，准线：. 如图： 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 6. 设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求导判断函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】由求导得：， 所以在上是增函数， 又因为， 所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数， 所以， 故选：C 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据内切圆的性质，可由面积比得到边长比，设出边长，利用双曲线的概念，结合余弦定理，可得答案. 【详解】 由的内切圆的圆心为，得点到三边的距离相等， 由，得， 设，则，由双曲线定义知：， ，则，解得， 于是， 在中，由余弦定理得， 在中，，则， 所以该双曲线的离心率为. 故选：A 8. 已知函数 若关于x的方程 有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 （ ）. A. B. （0，1] C. D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【分析】由得：.所以或.作出函数 的简图，结合图象判断即可.特别注意:要单独分析当时的情形. 【详解】 函数 的简图如上. 由得：. 当 时，.如图所示，函数图象与直线有3个交点，说明此时方程有3个不相等的实数根.不合题意.所以不等于0. 所以或. 因为关于x的方程 有7个不相等的实数根，方程有3个不相等的实数根，所以方程有4个不相等的实数根，即函数图象与直线有4个不同的交点. 结合函数的简图，可得，所以.所以实数a的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真的是（ ） A. 设，若，则 B. 线性回归直线一定经过样本点的中心 C. 正态分布，若，则 D. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为 【答案】BC 【解析】 【详解】选项 A，， ，所以，A 错误； 选项 B，线性回归方程，其中，代入得， 所以回归直线一定过样本中心点，B 正确； 选项 C，，正态曲线关于对称，又 ，则， 由对称性：， 所以，C 正确； 选项 D，共 10 个数据，计算位置：， 数据：，百分位数取第 8、9 个数的平均值：，D 错误. 10. 若实数，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A直接利用基本不等式即可；B利用“1的代换”，再结合基本不等式；C利用不等式即可；D变形为，再结合对勾函数的单调性即可. 【详解】因，，则， 等号成立时，故A正确； 因，， 则， 等号成立时，故B错误； 因，则，等号成立时，故C正确； 因，，则，等号成立时， 又，则， 因函数在上单调递减，则， 等号成立时，即，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求的周期，再求，再举出不是奇函数但是满足题意的函数，最后根据周期性讨论的值. 【详解】由题可知：，由得，对两边求导得：，即得， 所以关于中心对称，所以，因为为偶函数，所以， 根据关于中心对称得，所以，所以， ，所以A正确，B正确； 对于C，令，其导数为偶函数，且满足，，但是不是奇函数，C错误； 对于D，因为，所以，即， 的周期为8，考虑的前八项，其中，，， ， 因为可为任意实数，所以不一定为，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数列式求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得正四棱锥的外接球球心为，半径为，可求外接球的体积. 【详解】正四棱锥中，设，连接，则平面， 设正四棱锥的外接球球心为，则在直线上， 因为正四棱锥的高为，所以， 底面正方形的边长为6，则有，所以即为， 正四棱锥的外接球半径为，外接球的体积为. 故答案为： 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】法1：由题意得，令，求导可得，则，再分、、三种情况求最值即可；法2：利用几何意义，表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作于，根据，即求的最值即可． 【详解】法1：由题意得， 令，则， 所以当时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当，时，取得最小值2. 综上所述，的最小值为2. 法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和. 作于，， 令，则， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 故的最小值为2． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足，数列的前项和为，满足. （1）求数列与的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）设公差为，由已知列式即可求出首项和公差，得出通项公式，利用可得为等比数列，即可求出通项公式； （2）利用错位相减法可求出. 【详解】（1）设数列的公差为d，则，解得， 所以， 对于数列，当时，，所以. 当时，由，即， 故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）① ② ①-②得， ， . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 16. 如图，三棱柱的所有棱长都相等，点在底面上的射影恰好是等边的中心. （1）证明：四边形是正方形； （2）设分别为的中点，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证明平面，可得，有几何体结构特征即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面的法向量即可求出二面角的余弦值，即可得二面角的正弦值. 【小问1详解】 设点为的中心，连接，连接并延长交于点， 则平面. 因为平面， 所以， 又因为， 所以平面. 因为平面， 所以， 又因为， 所以，且， 所以四边形是矩形， 因为， 所以四边形是正方形. 【小问2详解】 以为坐标原点，平行于且指向的方向为轴正方向，分别为，轴建立坐标系， 设棱长为3，则,所以 因为为的中点，所以 所以， 设平面与平面的法向量分别为，则 ，即， 取，则，所以 易知，平面的法向量沿轴方向，不妨取， 所以， 故二面角的正弦值为. 17. 已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果； （2）根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为， 由题意可得，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可得：， 根据题意可设直线， 联立方程，消去y得， 则， 可得，① 由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则， 可得， 因为，可得， 整理得，② 将①代入②得：，解得， 所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时. 【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略 （1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． （2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； ③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 18. 为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． （1）两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； （2）两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 【答案】（1） X 0 1 2 P ． （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）首先分析得X的可能取值为0，1，2，再列出其分布列，计算其数学期望即可； （2）①：分两次都交换玩具车、两次都交换玩偶以及一次交换玩具车，一次交换玩偶讨论即可； ②：记小明手中恰有0个玩具车的概率为，利用全概率公式得，再构造等比数列即可得到其表达式. 【小问1详解】 由题意知X的可能取值为0，1，2 ， ， X 0 1 2 P 所以． 【小问2详解】 ①若两次都交换玩具车，则概率为， 若两次都交换玩偶，则概率为， 若一次交换玩具车，一次交换玩偶， 情况1：每次互换的玩具相同，则概率为， 情况2：每次互换的玩具不同，则概率为， 则. ②重复n复这样的操作后，记小明手中恰有0个玩具车的概率为， 则小明手中恰有2个玩具车的概率为， 根据全概率公式可得，当时，， ∴， 由（1）是，∴， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，即 ． 19. 已知，函数，. （1）证明：当时，对于任意，恒成立； （2）已知时，曲线和有公共点， （i）若，求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） 当时，函数，， 令，， ，设，， 当时，，所以在单调递增， 又，所以时，，在单调递增， 又，所以时，，即， 所以对于任意，恒成立. （2） （i） （ii）方法1：柯西不等式 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 即， 由柯西不等式可知： 当且仅当时，等号成立， 又，所以， 当时，，所以， 设，，则， 因为，所以恒成立，在单调递增， 又，所以时，恒成立， 因为，所以，所以， 由(1)可知：，即，所以. 方法2：数形结合 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 即， 则点为直线上的动点， 又表示原点与点之间的距离， 所以大于等于原点到直线的距离， 即，所以， 设，，则， 因为，所以恒成立，在单调递增， 又，所以时，恒成立， 因为，所以，所以， 由（1）可知：，即，所以. 方法3：代入消元 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 因为，所以， 要证：，即证：， 即证：关于的不等式成立， 即证：根的判别式， ， 因为，所以即证：恒成立， 即证：对于恒成立， 由（1）可知：，又， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）构造新函数，利用二次求导法进行运算证明即可； （2）（i）利用转化法，通过构造函数，利用导数判断单调性进行求解即可； （ii）方法一：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用柯西不等式进行运算证明即可； 方法二：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用柯西不等式进行运算证明即可； 方法三：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用代入消元法、一元二次方程根的判别式进行运算证明即可； 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）时，令， 因为，所以，令，， 因为曲线和有公共点，所以直线与函数的图象有交点， 因为时，，所以在单调递增，， 当时，， 所以. （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西工大附中2026-2027学年度第一学期 高三年级零模数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 6. 设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知函数 若关于x的方程 有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 （ ）. A. B. （0，1] C. D. [1，+∞） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真的是（ ） A. 设，若，则 B. 线性回归直线一定经过样本点的中心 C. 正态分布，若，则 D. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为 10. 若实数，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 13. 已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________. 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足，数列的前项和为，满足. （1）求数列与的通项公式； （2）设，求. 16. 如图，三棱柱的所有棱长都相等，点在底面上的射影恰好是等边的中心. （1）证明：四边形是正方形； （2）设分别为的中点，求二面角的正弦值. 17. 已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 18. 为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． （1）两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； （2）两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 19. 已知，函数，. （1）证明：当时，对于任意，恒成立； （2）已知时，曲线和有公共点， （i）若，求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $