陕西西安高新第一中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次模考数学试题

西安高新第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级第一次模考数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BCD 11．AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）由题意可知，将的图象横坐标缩短为原来的得到，再向左平移个单位得到． 由，， 解得，即． 所以函数的单调递增区间为（）． （2）由得． 因为，所以． 所以，解得． 由余弦定理得：， 化简得，解得或． 当时，； 当时，． 答：的面积为或． 16．（1）证明：连接，交于点O，取的中点H，连接，，， ，，四边形为平行四边形， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面，即平面． （2）解：平面平面，平面平面，，平面，平面， 以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设（且），则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则 即 令，则，， 直线与平面所成角的正弦值为， ， 化简得，解得或（舍），， 设平面的法向量为，则，即 令，则，， ， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 17．解：（1）X的所有取值为0，1，2， ，，， 的分布列为： X 0 1 2 P ． （2）对（）两边取自然对数得：， 设，， ， ， 又，，． 18．解：（1）证明：设直线的斜率为（），直线的斜率为， 由题可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：， 联立方程，消去x整理可得：， 易知，且， 又，则； （2）设，， 由（1）可知，直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，可得， 用替换式子中的， 有， 所以 ， 又，则，且， 即，所以，，此时椭圆的方程为； （3）因为， 由（2）可知，当，时，，， 则，又由（1）可知， ， 当且仅当时取等号， 由题意，所以，此时抛物线方程为． 19．（1）的定义域为，当时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 的最小值为，故对任意恒成立，在上单调递增． （2）在上单调递增，则对任意恒成立． 当时，恒成立； 当时，，得，令， 在上单调递增，时，故； 当时，，得，在处取最小值，故． 综上，a的取值范围是． （3），由得，， 由得： 令， 时，；时，， 且在上单调递减，故． 综上，a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安高新第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级第一次模考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．是（）的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，，，则（ ） A． B． C． D． 4．抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上且，则抛物线C的方程为（ ） A． B． C． D． 5．若O是正八边形的中心，且（x，），则（ ） A． B． C． D．3 6．小明和同学做一个与扔骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则前进1步，若骰子3点或4点向上，则前进2步，若骰子5点或6点向上，则前进3步，则小明连续扔三次骰子一共前进了8步的概率是（ ） A． B． C． D． 7．函数（，）在上单调，且，若在上存在最大值和最小值，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆C：交直线于A，B两点，则对于，线段长度的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则对任意的复数，下列各式始终成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系中正确的是（ ） A． B．若，则 C． D．若，则 11．在三棱锥中，，都是边长为的正三角形，（），M是棱的中点，则在a的变化过程中，下列说法正确的是（ ） A．直线与直线所成的角都为 B．当时，三棱锥的体积取得最大值 C．当时，三棱锥的外接球的表面积为 D．存在某个实数a，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列为等比数列，数列为等差数列，若，，则_______． 13．已知椭圆C：的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，则的取值范围是_______． 14．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）将函数的图象向右平移个单位得到的图象，再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象． （1）求函数的单调递增区间； （2）已知在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求的面积． 16．（本小题15分）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，． （1）已知点G为上一点，且，求证：平面； （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17．（本小题15分）为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如下表： 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望； （2）用函数（）对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）． 参考数据： ，，，设，，， 参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 18．（本小题17分）已知椭圆方程（），抛物线方程：（），O为坐标原点，F是抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，如图所示． （1）证明：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值； （2）反向延长，分别与椭圆交于C，D两点，且恒成立，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线方程． 19．（本小题17分）已知． （1）当时，讨论的单调性； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （3）令，存在，且，，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $