陕西西安高新第一中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次模考数学试题

西安高新第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级第一次模考数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 9.ABD 10.BCD 11.AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.V3 13.5,2] e2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 15.(1)由题意可知，将y=sinx的图象横坐标缩短为原来的 得到y=si血2x,再向左平移不个单位得到f口。 6 fe)=mp(e+君)】=sim(2红+） 由-号+26版≤2+8≤+2，ke2 解得-5T+2k元≤2x≤6+2kr 即智+≤2≤豆+ 所以函数y=f(x)的单调递增区间为 [招+m,8+kk∈2 [_5r @由fB)=y3 得sm(2B+)=9 21 国防0<B<,写<2B+智<军 烈2B+号营器日=后 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B得： 4=12+2-2x2v3xex5 化简得c2-6c+8=0, 解得c=2或c=4。 当e=2时5m=c血B=×28×2×号-v5 当e=4时，Sm=csmB=号x2vgx4×名-2v5 1 答：△ABC的面积为V3或2V3. 16.(1)证明：连接AE,交BG于点O,取DE的中点H ，连接HO,HC,GE, ·AG∥BE,AG=BE ,·四边形ABEG为平行四边形 .O为AE的中点， OH∥AD,OH=号AD, 又BC∥AD,BC=2AD, .·OH∥BC,OH=BC, ,.四边形BCHO为平行四边形， ..HC∥OB ·.·HCC平面DCE,OBd平面DCE .OB∥平面DCE,即BG∥平面DCE. (2)解：·.平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AD⊥AB,ADC平面ABCD, ∴.AD⊥平面ABEF, 以A为原点，AF,AB,AD所在直线分别为x,y,2轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设AF=a(a>0且a≠1)，则F(a,0,0),B(0,2,0),D(0,0,2),E(1,2,0),C(0,2,1). .DC=(0,2,-1),DE=(1,2,-2),BF=(a,-2,0),BD=(0,-2,2), 设平面DCE的法向量为元=(x,,),则 元.Dd=0 元.DE=0 即 2y-2=0 x+2y-2z=0 令y=1,则x=2=2,.元=(2,1,2)， :直线BF与平面DCE所成角的正弦值为Y 5 5=leos(成， BF.元 2a-2 B·式 a2+4×3 化简得11a2-40a-16=0,解得a=4域-11舍)， 4 .B7=(4,-2,0), 设平面BDF的法向量为沉=(x',,2）,则 成.BF=0 成.BD=0 0 4x3-2=0 -2+2x=0 令=1，则则=之=2，.元=(1,2,2). cos(侃，）= 成.元 88 m元3x39 故平面DCB与平面BDF所成说二面角的余兹值为， 17.解：(1)X的所有取值为0,1,2， P(X=0)= -号Px=-2-0Px= C9C31 C哈 =15 .·.X的分布列为 X 0 1 2 P 25 15 15 .∴.E(X)=0× 8 1 5+1×6+2×5=3 (2)对y=mer(m>0)两边取自然对数得：lny=lnm+nx, 设t=lny,∴.t=nm+nx, 是-6a无 .'n= -】 31.89-6×3.5×1.16≈0.43， 是-6m 91-6×3.52 t=lnm+n元→lnm=t-0.43z=1.16-0.43×3.5≈-0.35， 又e0.35≈0.7047，.m≈0.70，y=0.70.e0.43 18.解：(1)证明：设直线OA的斜率为k1(k1>0),直线OB的斜率为k2, 由题可知，直线的斜率存在且不为0，设直线：工=切+2 联立方程 x=切+2，消去c整理可得：2-2-卫=0， 易知△>0，且19=一p2, 又x1x2= .蓝=2)2- 2p2p 4p2 牙贴=安会=产音= (2)C(IC;yc),D(ID,yD), 由()可知，直线0A的方程为：=M2,直线OB的方程为：！=x=一府2， 4 y=kix a262 联立方程 22 a2 ,可得吃=k好+a2' 用一 替换式子中的k, e1 a2b2 a2b2k 有x品= = 4 2 a2k+16b2' +a2 所以00+00=元+呢+场+%=品+(-票)0+号+(-票）心 =2a2+ b2-a2/a2b2 a202k2 b2 （k+a2+a29+16b =2a2+ b2-a2 a2b4k4+2a462k+16a2b4 b2 a2b2k4+(a4+16b)k2+16a2b2' 4+166=6,且2a2+62-a2 2a4b2 又0C2+0D2=5,则 62=5, 即a2+b2=5,所以a2=4,b2=1, 此时椭圆的方程为 4+x2-1 3)因为S0AB IOAIO SAOB SAOCD 20CllODIsin ZCOD 8088-0品-品 4 由2）可知，当如2=4，=1时，呢=好+4号=十4 2 则rctD=好+4' 又由(1)可知12=名， p2 S△OAB 4 p2 .4 p2 S△oCD 2k1 8 21 +4 当且仅当%1=2时取等号， =1,所以p=√2，此时抛物线方程为y2=2V2x. 19.(1) f(x)的定义域为(0，+o∞)，当a=1时， f(x)=(x+1)Inz-x f()=Int+*+1-1-Inz+1 r国=}- 当0<x<1时，f"(x)<0,f'(z)单调递减： 当c>1时，"(x)>0,f'(x)单调递增。 f'(x)的最小值为f'(1)=1>0,故f'(x)>0对任意x∈(0，+oo)恒成立，f(x)在(0，+o∞)上单调递增。 (2) f(x)在(0，+o)上单调递增，则f'(x)≥0对任意x∈(0，+oo)恒成立。 f(a)=alz+a+1-a=alz+120 当x=1时，f'(1)=1≥0恒成立； 1 1 当>1时，nx>0,得a之xnx令ha)=n h(a)= Inx+1 i血ep>0 h(x)在(1，+o)上单调递增，x→+∞时h(x)→0，故a≥0； <<1时，<0，衡≤ze在=最 =e,故a≤e. 综上，a的取值范围是0，e。 (3) 1 g()=f'()=a血x+,由1+2=1得2=1-1,1∈ 由g(x1)=g(x2)得： t=e() )- t→0+时，h(t)→+oo;t→ 时，A0→2， 且A(在(0,2)上单调送减，故国∈(2，+o。 综上，a的取值范围是(2，十∞)。西安高新第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级第一次模考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1B知味合u-{-8≤，N=a2-≤2.则MnN=0 A[-1,3) B.[1,2 C[-1,2) D.(2,3] 2.cosx= 是：=君+2kk∈Z的0 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.设a=log29,b=40.6,c=30.8,则(0 A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 4.抛物线C:y2=2px的焦点为F,M(3,o)在抛物线C上且MF=5,则抛物线C的方程为(0 A.y2=4x B.y2=8x C.2y2=16z D.y2=32x 5.若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且AC=xAB+yAi(x,y∈R),则c+y=0 A1+2V2 B.1+v2 C.2+V2 D.3 6.小明和同学做一个与扔骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则前进1步，若骰子3点或4点向上，则前进2 步，若骰子5点或6点向上，则前进3步，则小明连续扔三次骰子一共前进了8步的概率是() A27 .2 c 7数(a)=As血(z+石)4>0，w>0在[后引上单调，且时()）=f(位)，若fe在0，利上存在最大值 和最小值，则实数的取值范围为() A后+】 B(后，+∞) c(后引 (后引u(+∞) 8.已知圆C:(x-cos0)2+(y-sin)2=3交直线划=V3x-1于A,B两点，则对于0∈R,线段AB长度的最小值 为(0 A.1 B.v2 C./3 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 9.已知复数1卡0，则对任意的复数2，下列各式始终成立的是() Aa·2=万·2 B.a·22=a·22 C22=号 10.已知非零实数a,b满足34=2，则下列不等关系中正确的是(0 A.a<b B.若a<0,则b<a<0 Ci D.0<a<log32,则ab<b9 11.在三棱锥A-BCD中，△ABC,△BCD都是边长为2V3的正三角形，AD=a(0<a<6),M是棱AC的中点，则 在α的变化过程中，下列说法正确的是() A直线A4D与直线BC所成的角都为 B.当a=2√3时，三棱锥ABCD的体积取得最大值 C.当a=3√3时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为28π D.存在某个实数a,使得∠MBD=90° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，若a2a7a12=3V3,b1+b7+b3=6m,则an+b= a3a11 JAFI 13.已知椭圆C: 9￥2 =1的右焦点为F,若过F的直线与椭圆C交于A,B两点，则BF 的取值范围是一 1 14.已知函数f(x)= 十1'若不等式f(a:e)+f1.2y)≤1对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 15.(本小题13分)将函数则=f儿②)的图象向右平移。个单位得到1的图象，再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2 倍，得到y=sinc的图象 (1)求函数y=f(x)的单调递增区间： 形AB0中，角4，B,C的对边分别a,b,c,且时B)=3，Q=2V3,b=2,求 16.(本小题15分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF ,AD BC,AF‖BE,AD⊥AB,AB⊥AF,AD=AB=2BC=2BE=2. (1)已知点G为AF上一点，且AG=1,求证：BG‖平面DCE: V5 (2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为写°，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值 17.(本小题15分)为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市 “共享单车”保有量数据如下表： 年份代号x 123456 保有量y(万辆) 11.82.745.99.2 (1)从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X,求X的分布列及期望； （(2)用函数y=me(m>0)对两个变量x,y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）. 参考数据 2=35,g=41,29=91,设5=n,t=1.16,是话=31.89，e05≈0.7047 i=1 =1 参考公式：回归直线方程)=x十的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 2-n2 -a=y-BE 本小题17分)已知椭圆方程+三1@>b>0,抛物线方程：=2pzp>0,0为坐标原点，1 线的焦点，过F的直线与抛物线交于A,B两点，如图所示 (1)证明：直线OA,OB的斜率乘积为定值，并求出该定值 (2)反向延长OA,OB分别与椭圆交于C,D两点，且OC2+OD2=5恒成立，求椭圆方程： （B)在②的条件下，若品的最信为1，求物线方理 19.(本小题17分)已知f(x)=(ax+1)1nx-ax (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在(0，十o∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (3)令g(x)=f'(x),存在0<x1<x2,且x1+x2=1,g(x1)=9(x2),求实数a的取值范围