专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理三角形倒角模型知识体系，涵盖平分平行构等腰、角平分线第二定理两大核心模型，用表格归纳平行线性质、等腰三角形判定等知识储备，清晰呈现边角转化、比例计算等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固模型应用，如利用平分平行构等腰求三角形周长，培养推理意识；C组压轴题综合内外角平分线，提升几何直观。易错点总结指导学生规范倒角步骤，帮助不同层次学生掌握方法，支持教师实施精准化复习教学。

专题02.三角形中的倒角模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 平分平行构等腰是初中几何 “由角推边” 的经典构造手段，和飞镖、八字、双角平分线共同构成三角形倒角体系，用来解决无全等条件下的边角转化问题。角平分线第二定理，是从角度倒角过渡到线段比例计算的桥梁，衔接三角形基础与相似几何。 角平分线搭配平行线可推导等腰三角形，用于线段等量转化，常出基础求值题。角平分线第二定理即角分线分对边成比例，依靠相似证明，多用于线段计算。两类模型常综合命题，难点在于识图转化，易混淆比例对应关系，是几何中档常考考点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 角平分线相关理论最早记载于欧几里得《几何原本》，书中给出角平分线尺规作图与基础性质，为两类模型奠定理论根基。角平分线第二定理由古希腊数学家阿波罗尼奥斯系统推导证明，最初用于平面线段比例研究，是经典几何比例定理。 平分平行构等腰无专属古代定理，是后世教学总结的衍生模型。古人研究平行线与等角关系时，已发现等角对等边规律，但未将角平分线、平行线、等腰三角形三者结合归纳。 近代初中几何教学中，大量考题同时出现角平分线与平行线组合图形，教师归纳出固定解题规律，形成该倒角模型。两类模型均依托古老几何公理，结合中考题型整合简化，去掉复杂推导，提炼直观解题结论，方便学生快速识图解题，成为初中几何标准化拓展模型。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1）平行线性质：两直线平行，内错角相等； 2）角平分线定义与角平分线的性质（第一定理），等角代换； 3）等腰三角形判定：等角对等边； 4）三角形面积公式；比例式变形与计算。 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 【模型提炼与证明】 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ， 故选：． 【典例2】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　） A．14 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【分析】先由角平分线定义及平行线性质得到，，然后由等角对等边确定，再由的周长为，得到，进而求的周长即可． 【详解】解：在中，平分、平分， ，， ， ，， ，， 则， 的周长为， ， ， 的周长是． 【典例3】（25-26八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，于点D，是的平分线．且交于点P．若，则的长为（     ）    A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】先证明，再，则，由，求得，然后证明，得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线． ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【典例4】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，然后即可得到ED和DF的值，然后根据线段的和差即可求得EF的值. 【详解】解：∵△ABC的内角∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC ∵EFBC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴DE=BE=9 同理：DF=CF=5， ∴EF=DE-DF=9-5=4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键. 【典例5】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）（1）如图1，在中，，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，则线段与之间有怎样的数量关系？说明你的理由：    （2）如图2，若中的平分线与三角形外角平分线交于点O，过O点作交于点E，交于点F，直接写出与之间的数量关系__________.    【答案】（1），理由如下： ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ （2） 【分析】（1）利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可； （2）利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可． 【详解】(1)略 (2)， 理由是：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键． 模型2.角平分线第二定理（内（外）角平分线定理）模型 【模型提炼与证明】 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ， ∵平分，，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴ ． 【典例2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的平分线相交于点，连接并延长交于点，过点作于点．若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内心的性质，含角的直角三角形的性质，掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先过点作的垂线，利用角平分线性质得垂线段相等，再由三角形内心性质得平分，求出的度数，最后在直角三角形中用 的性质求的长． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分，，， ． 又平分， ∴点O为三角形内心， 平分， ， 在中，． 故答案为：6． 【典例4】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作，，，垂足分别为D，E，F． (1)与是否相等？请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，由的周长是40，根据推出，由此即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵的周长是40， ∴， ∴， ． 【典例5】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】 （1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： 又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】 （2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，等腰三角形等边对等角，等角对等边． （1）根据题意补全图形，根据三角形的面积公式，即可解答； （2）根据（1）中得出的结论，代入数据进行计算即可； （3）在上截取，通过证明，得出，再求证，得出，结合（1）中的结论，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）补全图形如图所示： 又 与的数量关系为， 故答案为：，，； （2）由（1）可得：， ∵． ∴， 解得：； （3）在上截取， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， 解得：． 模型常见易错点 1）分不清平行线产生的同位角/内错角，代换角度出错； 只机械记模型，不会写平行线带来的等角，等量代换逻辑断裂。 正解：先写平行→角相等，再写角分→角相等，再等量传递。 2）随便套用角平分线第二定理，忽略使用条件 定理使用前提：线段是内角平分线，且端点落在对边上，外角平分线不能直接套用该比例式。 3）把比例式写反，比例颠倒 记忆口诀：分点两侧的线段之比=相邻两边之比，BD对应AB，DC对应AC。 4）解答题直接写定理结论，没有推导过程 初中课内未学角平分线第二定理，大题不能直接默写公式，需要用面积法/作平行线简单推导再使用。 5）外角平分线 + 平行的结构，套用内角等腰结论 内外构图角度位置不同，需要重新倒角，不能照搬内角模型结论。 解题方法总结 （1）平分平行构等腰（角分线 + 平行线模型） 一条角平分线 + 一条平行线，利用平行线内错角相等，进行等量代换，可推导出三角形两底角相等，进而得到等腰三角形，实现 “角相等→边相等” 的转化，属于纯倒角构造模型。 （2）角平分线第二定理（内角平分线分线段成比例定理） 三角形内角平分线交对边于一点，分对边所得的两条线段，与三角形的两条邻边对应成比例。 本定理可以用面积法推导，是线段比例计算的重要工具，解答题可先推导再使用。 万能口诀：角分遇平行，内错来搭桥；等角换等边，等腰马上出；角分比例式，邻边比底边，设k解方程。 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将周长转化为，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴周长为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级下·湖南永州·期末）如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质．根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴，故②正确； 假设， ∵， ∴， ∴， ∴只有时，故③错误； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴，故④正确． ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴,故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②④⑤． 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．先根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，证明得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 5．（第15讲轴对称图形全章复习与测试-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假精品课（苏科版））如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作交AB、AC于E、F．试回答： (1)图中等腰三角形是_______________．猜想：EF与BE、CF之间的关系是___________．理由：____________ (2)如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是____________．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？ (3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1)△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；，理由见解析 (2)△EOB、△FOC；存在 (3)图中还有等腰三角形，，理由见解析 【分析】（1）由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO＝∠OBC＝∠FCO＝∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO＝∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO＝BE，OF＝FC，则EF＝BE＋FC； （2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB＝AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF＝BE＋FC的结论仍成立； （3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF＝BE−FC． 【详解】（1）解：图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC．理由如下： ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB； ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO； 即EO＝EB，FO＝FC； ∴EF＝EO+OF＝BE+CF． （2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1）） （3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下： 同（1）可证得△EOB是等腰三角形； ∵EO∥BC， ∴∠FOC＝∠OCG； ∵OC平分∠ACG， ∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG， ∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形； ∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是的平分线． (1)的度数为______； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图，在上截取，连接，过D点作于P，作交的延长线于， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， ，是平角， ， ， 是的平分线，， ，，， 在和中，， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，外角的计算和全等三角形的判定和性质，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质，求出，再根据角平分线，求出，最后利用求三角形外角的计算方法即可求解； （2）在上截取，连接，过D点作于P，作于，根据等腰三角形的性质和角之间的关系，得到，，根据角平分线的性质，得，利用证明，得到，最后等量代换即可证明． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， ； （2）略 7．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线的计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互以及等边对等角得到，由角平分线得到，再根据角度和差计算即可． 【详解】解：∵腰上的高线为，， ∴， ∵等腰，， ∴， ∵的平分线为， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，中，，，和的平分线交于点P，过点P作分别交，于点D，E，则的周长为（   ） A．不能确定 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点P，， ∴，， ∴， ∴的周长为：， ∵， ∴的周长为， 故选：D． 9．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，的平分线与相交于点D，过点B作交的延长线于点E．分别延长， 相交于点F．判断，的数量关系．____. 【答案】 【分析】证明和 ，得到，进而解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在和中， ∴； ∴； ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的定义以及平行线的性质等知识，由平行线的性质得，，再证明，，然后证明，，即可得出结论． 【详解】解：， ，， 和的平分线分别交于点，， ，， ，， ，， ，， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的对应、平行线的性质及等角对等边，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，根据等角对等边即可得答案． 【详解】解：∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 12．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，的平分线交于点，于点，连接交于点． (1)若，求的度数． (2)若与的周长分别为20和6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线性质：，结合可证，得，因此是等腰三角形，垂直平分，利用直角三角形两锐角互余、等角代换求解； （2）通过线段等量代换，将转化为，再联立周长列等式求． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， 平分， ， 在和中 ， ， ，即为等腰三角形， 又是角平分线， ， 在中，， ， ． （2）解：设， 由得，， ①周长：， ，代入得： ， 即， ②周长：， ，替换得：， ， ， 将代入周长式： ， 再把代入： ， 展开化简： ， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，E是的中点，连接．    (1)若平分，求证：是的平分线； (2)在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； (3)若，求证：是的平分线． 【答案】(1) 证明：如图：过E作，    ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． (2)5 (3) 证明：如图：延长交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是的平分线（三线合一）．    【分析】（1）如图：过E作，由角平分线的性质定理可得，再结合已知条件可得，进而得到，最后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答； （3）如图：延长交于点N，再证明可得，进而得到是线段的垂直平分线，即；最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴；    同理可得：， ∴． 故答案为：5． （3）略 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 14．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ，， 又和的平分线分别交于点、， ，， ，， ，， ． 故选：． 15．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，为延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质以及判定，解题的关键是正确作出辅助线求解． 过点分别作直线的垂线，垂足为，先由等边对等角以及三角形内角和定理求解，以及可求，再证明平分，然后由角平分线的定义求解，，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作直线的垂线，垂足为 ∵，， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 故选：B． 16．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，的平分线交于点D．过C点作，交于E，过D点作于F．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质可得，，利用等角的余角相等及对顶角相等可证，从而判断①④；过点作，利用角平分线性质得，结合三角形面积公式判断②；根据题意无法推出与的倍数关系，判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，，， ∴， ∴，故④正确； 如图，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴， 即，则， 故由题意无法得出，故③错误； 综上所述，正确的结论是①②④． 17．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点，则下面说法中：；②；③；④，正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据余角的性质可判断①，根据角平分线的定义可判断③，证明，根据等角对等边推出可判断②，过点作于，根据角平分线的性质定理可得，利用三角形的面积可判断④． 【详解】解：是的平分线， ， ，是边上的高， ，， ，， ．故①③符合题意． ，是边上的高， ，， 是的平分线， ， ， ， ．故②符合题意． 如图，过点作于，   ，是的平分线， ， ∴， ∵， ∴ 故④符合题意． 18．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，角平分线有关计算．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的关键． 根据、分别平分、的外角，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 同理可得 ，， ， ， 故答案为：． 19．（2025八年级上·海南三亚·专题练习）如图，在中，与的平分线交于点O，过O点作，分别交、于D、E．若，，则的周长是______． 【答案】13 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，由平行的性质和角平分线的定义可得，可求得，同理可求得，可求得，可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 故答案为：13． 20．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）（1）如图：中，，、的平分线相交于点，过点作交、于、． 图中有哪几个等腰三角形？ 猜想并证明、、间的数量关系． （2）如图，若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图，与、间的关系如何？并证明之． 【答案】 （1）有个等腰三角形，分别是，，，，，理由如下： ， ， ， ，， ，， ， ， 又、的平分线相交于点， ，， ， ，，， 有个等腰三角形，分别是，，，，； 、、间的数量关系是：， 证明：由可知，，，， ，即， ； （2）与、间的关系是：． 证明：，分别是与的平分线， ，， ， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质，分别进行角度和线段的等量代换是解答本题的关键． （1）根据， 、的平分线相交于点， 可得，，根据等角对等边即可证得，，，，即可得解；易证，从而根据线段的和差关系等量代换即可证得； （2）根据，，分别是与的平分线，可证得，，根据等角对等边即可证得 ， ， 从而根据线段的和差关系等量代换即可得证． 【详解】 略 21．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系． 【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______； 【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题的做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系． 以下是小明探究线段数量关系的部分过程： 证明：如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______． 【答案】【特例研究】，； 【特例研究】如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【拓展研究】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是通过截长法构造全等三角形： 【特例研究】证明，得到，，推出为等腰直角三角形，得到，作答即可； 【深入探究】证明，得到，，推出为等腰三角形，得到，作答即可； 【拓展研究】在上截取，连接，证明，得到，，推出，得到，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结果． 【详解】【特例研究】解：在边上截取，连接， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【深入探究】略 【拓展研究】在上截取， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故． 22．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，数学课本的例1同时运用了角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例1．如图1，已知，在中，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：如图2，过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理） 同理可得： 又，∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接、、． （1）点为三条___________的交点，点为三条___________的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线；②角平分线；③高；④中线； （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么___________．（用含的代数表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）②，①；（2）； （3）示意图如图2所示． ， 由题意得，， ， 由（2）可知． ， ，， ， ， 点在的垂直平分线上． 在和中， ，，， ， ，， 是的垂直平分线， 点在直线上． 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）对于：根据角平分线的性质定理以及逆定理可得点是三条角平分线交点．对于：通过证明，得出点、在线段垂直平分线上，同理证、是、垂直平分线，从而确定点是三条边垂直平分线交点； （2）先利用、，结合等腰三角形性质表示出、，进而得出与的关系．再依据、，结合四边形内角和及，求出，进而得到，最终算出 ． （3）先根据、推出，结合（2）的结论得 ．由推出，得，即点在垂直平分线上 ．证明，得出、，即是垂直平分线，从而证得点在直线上 ． 【详解】解：（1）过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理）， 同理可得：， ， 又，， ∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 由于、、分别是三个角的平分线， ∴点为三条角平分线的交点． 如图所示， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 同理：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， 因此，点O为三条边的垂直平分线的交点． 故答案为：②，①； （2）如图1所示， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ，， ， 即， ， ， ，． 故答案为：； （3） 略 23．（25-26八年级上·广西桂林·期末）如图，已知，是的平分线，点B，D分别在射线上． (1)【初步尝试】如图①，当时，求证：； (2)【深入探究】如图②，当时，求证：； (3)【综合应用】如图③，当时，点P是延长线上的一点，连接，若，请直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴； (2) 证明：在上截取，连接，    ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了的直角三角形的边角关系，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质问题，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． （1）由题中条件可得，，在直角三角形中可得，，所以； （2）在上截取，连接，可得为等边三角形，进而可得，推出，进而结论得证； （3）作于点，利用证明和，推出，，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，理由如下： 作于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②，，之间的数量关系为， 理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （2）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1)5， (2)2， (3) 解：，理由如下： ∵的平分线与三角形外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，作，证明是的平分线，三线合一得到垂直平分，得到，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （2）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （3）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，根据线段的和关系即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，作， ∵， ∴为等腰三角形， ∵、的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 综上：共有5个等腰三角形，； （2）解：∵、的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 故共有2个等腰三角形，； （3）略 26．（25-26八年级上·广西玉林·期中）综合与实践 【问题背景】小星利用尺规作角的平分线，作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求． （1）小星作角的平分线方法的依据是__________； 【操作发现】 （2）如图②，小红将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线．请你根据小红的作法，说明为的平分线； 【问题解决】 （3）如图③，在中，平分交于点，于点．若，，，，求的面积． 【答案】（1）全等三角形的对应角相等； （2）由题意，在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 射线为的平分线； （3）36 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据作图，推出，得到，作答即可； （2）先证明，得到，再证明，得到即可； （3）过点作于，角平分线的性质得到，三角形的内角和定理结合等角对等边，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故依据为：全等三角形的对应角相等； （2）略 （3）过点作于， 平分交于点， ，， ，， ， ， ， 的面积． 27．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 【答案】 （1）证明：， ． 又，平分， ． 为的中点， ， ． ， ． 又， 是的平分线； （2）为线段的中点； 理由：过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，如图， ， ． 作于点，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ， ， 为线段的中点； （3）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，有．作于点，由角平分线的性质可得，证得，即可求证； （3）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】（1）略． （2）解：略． （3）解：在和中， ， ， 则， 同理可证，则， ． 又， ， ， ． 28．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； (2) 解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.三角形中的倒角模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 平分平行构等腰是初中几何 “由角推边” 的经典构造手段，和飞镖、八字、双角平分线共同构成三角形倒角体系，用来解决无全等条件下的边角转化问题。角平分线第二定理，是从角度倒角过渡到线段比例计算的桥梁，衔接三角形基础与相似几何。 角平分线搭配平行线可推导等腰三角形，用于线段等量转化，常出基础求值题。角平分线第二定理即角分线分对边成比例，依靠相似证明，多用于线段计算。两类模型常综合命题，难点在于识图转化，易混淆比例对应关系，是几何中档常考考点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 角平分线相关理论最早记载于欧几里得《几何原本》，书中给出角平分线尺规作图与基础性质，为两类模型奠定理论根基。角平分线第二定理由古希腊数学家阿波罗尼奥斯系统推导证明，最初用于平面线段比例研究，是经典几何比例定理。 平分平行构等腰无专属古代定理，是后世教学总结的衍生模型。古人研究平行线与等角关系时，已发现等角对等边规律，但未将角平分线、平行线、等腰三角形三者结合归纳。 近代初中几何教学中，大量考题同时出现角平分线与平行线组合图形，教师归纳出固定解题规律，形成该倒角模型。两类模型均依托古老几何公理，结合中考题型整合简化，去掉复杂推导，提炼直观解题结论，方便学生快速识图解题，成为初中几何标准化拓展模型。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1）平行线性质：两直线平行，内错角相等； 2）角平分线定义与角平分线的性质（第一定理），等角代换； 3）等腰三角形判定：等角对等边； 4）三角形面积公式；比例式变形与计算。 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 【模型提炼与证明】 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　） A．14 B．19 C．21 D．23 【典例3】（25-26八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，于点D，是的平分线．且交于点P．若，则的长为（     ）    A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【典例4】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例5】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）（1）如图1，在中，，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，则线段与之间有怎样的数量关系？说明你的理由：    （2）如图2，若中的平分线与三角形外角平分线交于点O，过O点作交于点E，交于点F，直接写出与之间的数量关系__________.    模型2.角平分线第二定理（内（外）角平分线定理）模型 【模型提炼与证明】 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【典例2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的平分线相交于点，连接并延长交于点，过点作于点．若，，则的长为_____． 【典例4】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作，，，垂足分别为D，E，F． (1)与是否相等？请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 【典例5】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】 （1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： 又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】 （2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 模型常见易错点 1）分不清平行线产生的同位角/内错角，代换角度出错； 只机械记模型，不会写平行线带来的等角，等量代换逻辑断裂。 正解：先写平行→角相等，再写角分→角相等，再等量传递。 2）随便套用角平分线第二定理，忽略使用条件 定理使用前提：线段是内角平分线，且端点落在对边上，外角平分线不能直接套用该比例式。 3）把比例式写反，比例颠倒 记忆口诀：分点两侧的线段之比=相邻两边之比，BD对应AB，DC对应AC。 4）解答题直接写定理结论，没有推导过程 初中课内未学角平分线第二定理，大题不能直接默写公式，需要用面积法/作平行线简单推导再使用。 5）外角平分线 + 平行的结构，套用内角等腰结论 内外构图角度位置不同，需要重新倒角，不能照搬内角模型结论。 解题方法总结 （1）平分平行构等腰（角分线 + 平行线模型） 一条角平分线 + 一条平行线，利用平行线内错角相等，进行等量代换，可推导出三角形两底角相等，进而得到等腰三角形，实现 “角相等→边相等” 的转化，属于纯倒角构造模型。 （2）角平分线第二定理（内角平分线分线段成比例定理） 三角形内角平分线交对边于一点，分对边所得的两条线段，与三角形的两条邻边对应成比例。 本定理可以用面积法推导，是线段比例计算的重要工具，解答题可先推导再使用。 万能口诀：角分遇平行，内错来搭桥；等角换等边，等腰马上出；角分比例式，邻边比底边，设k解方程。 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 2．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南永州·期末）如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，，则_____． 5．（第15讲轴对称图形全章复习与测试-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假精品课（苏科版））如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作交AB、AC于E、F．试回答： (1)图中等腰三角形是_______________．猜想：EF与BE、CF之间的关系是___________．理由：____________ (2)如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是____________．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？ (3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是的平分线． (1)的度数为______； (2)求证：． 7．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，中，，，和的平分线交于点P，过点P作分别交，于点D，E，则的周长为（   ） A．不能确定 B．10 C．12 D．14 9．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，的平分线与相交于点D，过点B作交的延长线于点E．分别延长， 相交于点F．判断，的数量关系．____. 10．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为______． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为___________． 12．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，的平分线交于点，于点，连接交于点． (1)若，求的度数． (2)若与的周长分别为20和6，求的长． 13．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，E是的中点，连接．    (1)若平分，求证：是的平分线； (2)在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； (3)若，求证：是的平分线． 14．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，为延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，的平分线交于点D．过C点作，交于E，过D点作于F．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 17．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点，则下面说法中：；②；③；④，正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为______． 19．（2025八年级上·海南三亚·专题练习）如图，在中，与的平分线交于点O，过O点作，分别交、于D、E．若，，则的周长是______． 20．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）（1）如图：中，，、的平分线相交于点，过点作交、于、． 图中有哪几个等腰三角形？ 猜想并证明、、间的数量关系． （2）如图，若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图，与、间的关系如何？并证明之． 21．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系． 【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______； 【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题的做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系． 以下是小明探究线段数量关系的部分过程： 证明：如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______． 22．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，数学课本的例1同时运用了角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例1．如图1，已知，在中，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：如图2，过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理） 同理可得： 又，∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接、、． （1）点为三条___________的交点，点为三条___________的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线；②角平分线；③高；④中线； （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么___________．（用含的代数表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 23．（25-26八年级上·广西桂林·期末）如图，已知，是的平分线，点B，D分别在射线上． (1)【初步尝试】如图①，当时，求证：； (2)【深入探究】如图②，当时，求证：； (3)【综合应用】如图③，当时，点P是延长线上的一点，连接，若，请直接写出三条线段的数量关系． 24．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 25．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 26．（25-26八年级上·广西玉林·期中）综合与实践 【问题背景】小星利用尺规作角的平分线，作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求． （1）小星作角的平分线方法的依据是__________； 【操作发现】 （2）如图②，小红将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线．请你根据小红的作法，说明为的平分线； 【问题解决】 （3）如图③，在中，平分交于点，于点．若，，，，求的面积． 27．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 28．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $