专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 三角形中的倒角模型是考试中经常出现的题型，尤其是在压轴题中，该模型主要考查的有高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角和定理等）；对于初学者来说，设角的未知数，再通过设的角表示其他角，就可以搭建关联角之间关系的桥梁；本专题主要讲解双角平分线模型，可以帮助学生快速得到角的关系，求出所需的角，运用结论做题，事半功倍，但需要注意特殊题型要特殊分析。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到24-25世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2024·安徽滁州·一模）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． （2023·山东青岛·一模）（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，分别是的角平分线交于点O，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，，则 ． 例4（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)当为高时，若，求的度数； (2)当为角平分线时，若，求的度数． 例5（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 例2（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）． 例4（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 例5（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 例2（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    例3（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1−图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； (2)在（1）的条件下，如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (3)如图5，中，的三等分线分别与的角平分线交于点，，若，，则的度数为 ． 例4（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 例5（23-24七年级下·四川乐山·期末）在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 1．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，已知两个内角的角平分线交于点D，两个内角的平分线交于点E，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，，分别是，的两条角平分线，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·北京大兴·期中）在中，、的角平分线交于点O，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（　　）时，． A．45° B．50° C．60° D．120° 6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ． 7．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点为边延长线上一点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，…，与的角平分线交于点，若，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）已知中，，与的角平分线与相交于点，则 ． 9．（24-25八年级上·北京·开学考试）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ． 10．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点P是的外角和的角平分线的交点，若，则    11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 12．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 13．（23-24八年级上·广西崇左·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 14．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图①，的角平分线相交于点．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，过点作直线，分别交和于点和，且平行于，试求的度数（用含的代数式表示）；    (3)将（2）中的直线绕点旋转，分别交线段于点（不与重合），交直线于，请探索并直接写出三者之间的数量关系．    16．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 17．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________； ②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 18．（23-24七年级下·重庆·期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关． 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … (1)通过以上测量数据，请你写出与的数量关系： ； (2)如图2，的平分线交于点，当时，求的度数； (3)如图3，在中，若与的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并进行证明． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1−图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； (2)在（1）的条件下，如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (3)如图5，中，的三等分线分别与的角平分线交于点，，若，，则的度数为 ． 20．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在中，，于点D，于点E，、所在直线交于点F． (1)如图，当时，求的度数； (2)若在、这两个角中，有一个角是另一个角的2倍时，求的值； (3)的角平分线与的角平分线交于点G，的度数是否是一个定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 三角形中的倒角模型是考试中经常出现的题型，尤其是在压轴题中，该模型主要考查的有高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角和定理等）；对于初学者来说，设角的未知数，再通过设的角表示其他角，就可以搭建关联角之间关系的桥梁；本专题主要讲解双角平分线模型，可以帮助学生快速得到角的关系，求出所需的角，运用结论做题，事半功倍，但需要注意特殊题型要特殊分析。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到24-25世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2024·安徽滁州·一模）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． （2023·山东青岛·一模）（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，分别是的角平分线交于点O，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，再根据三角形的外角得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； 故选C． 例2（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理先求出与的和，再根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形的内角和求出． 【详解】解：， ． ，分别是和的平分线， ． ， ． 故选C． 例3（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得的度数，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 例4（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)当为高时，若，求的度数； (2)当为角平分线时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线和高，关键是由角平分线定义和三角形内角和定理推出． （1））由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，由三角形的外角性质即可求出的度数； （2）由角平分线定义，三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴． 例5（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 例2（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到，，结合题意可求得的度数，根据外角性质即可得到结果． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点P， ，， ， ，， 是的外角， ， 故选：A． 例3（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）． 【答案】/ 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．根据三角形外角的性质得到，，由角平分线的性质得到，，即可得到，同理可得，进一步得到答案即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故答案为：． 例4（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： (4) 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握其性质定理． （1）利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解； （2）结合（1）的过程得，即可作答． （3）利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明； （4）与（3）同理先求出，则得，再观察规律，得即可求解． 【详解】（1）解：∵的角平分线和的角平分线交于点D， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由（2）得出， 故答案为：． （3）解：依题意，，， ，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， ； （4）解：依题意，，，， ∴，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， 由（3）可知： ， ， 同理得 ， 以此类推，得， 故答案为：． 例5（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于”及等式的性质分析求解． （1）根据平分线定义得，，再根据三角形的内角和定理即可得证； （2）根据角平分线定义、三角形的内角和定理即可得证； （3）根据角平分线定义、三角形的内角和定理及外角性质即可得证； 【详解】（1）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：． 因为，（三角形的内角和等于180， 所以 （等式性质）． 即：． （2）解：与之间的等量关系是：．理由： 、分别是的两个外角、的平分线， ，， ， ， 而， ， ， ， ， ， 与之间的等量关系是：． 理由：、分别是的一个内角和一个外角的平分线， ， 即： （3）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：，． ，（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ． 又（已知）， （等式性质）． （平角的定义）， ． （三角形的内角和等于， （等式性质）． （等量代换）． ．（等角对等边）． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①，②的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】（1）解：； ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ； （3）解：①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 例2（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    【答案】探究一：（1）122；（2）55；探究二：，证明见解析 【分析】探究一：（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； 探究二：先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：探究一：（1）∵在中，， ∴， ∵，分别是两个内角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：122； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∵，分别是两个外角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：55； 探究二：，证明如下： ∵在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴． 例3（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1−图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； (2)在（1）的条件下，如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (3)如图5，中，的三等分线分别与的角平分线交于点，，若，，则的度数为 ． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识： （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 熟练掌握三角形内角和定理，以及熟悉常考的基本图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 如图2，    ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图3，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； （2）如图4，    ∵，的三等分线交于点， ∴， ∵平分，平分，平分 ∴ ∴ ∴； （3）如图5    ∵，， ∴ ∵的三等分线分别与的平分线交于点，， ∴，， ∴ ∴ ∴． 例4（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． （1）首先根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线的定义，得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义，可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】（1）解： O是与的平分线和的交点， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： O是与外角的平分线和的交点， ， 是的一外角， ， ， 是的一外角， ； （3）解：，理由如下： O是外角与外角的平分线和的交点， ， ， ， ， ． 例5（23-24七年级下·四川乐山·期末）在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 1．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，已知两个内角的角平分线交于点D，两个内角的平分线交于点E，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，解答的关键是对结合图形分析清楚各角之间的关系．由三角形的内角和可求得，再由角平分线的定义可得，，，，从而可求得，，则有，再利用三角形的内角和即可求． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， ，， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，，分别是，的两条角平分线，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得到，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：，， ， ，分别是，的两条角平分线， ，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，得：，则，由和得：，则，化简可得，进一步找出其中规律，即可求出的度数． 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，， ，， ， ，， 得：， ， 由和得：， ， ， 同理， ， … ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义等，找出其中规律是解题的关键． 4．（23-24八年级上·北京大兴·期中）在中，、的角平分线交于点O，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是由平分，平分，利用角平分线的定义，得出，，结合，得出，再利用三角形内角和定理，得出，结合，可求出的取值范围． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（　　）时，． A．45° B．50° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得出，根据平角为可得，从而得出，同理可得，然后根据两直线平行同旁内角互补得出，代入整理得出，最后根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】，分别是的外角，的角平分线 ， ，分别是，的角平分线 ， 同理，由于、分别是、的角平分线 ， 假设，根据两直线平行，同旁内角互补得 即 整理得， 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算、平行线的性质、三角形内角和，根据给出的角平分线得出和的关系是解题的关键． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点为边延长线上一点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，…，与的角平分线交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及规律型：图形的变化类，根据图形的变化，找出是解题的关键．利用三角形的外角性质及角平分线的定义，可求出，同理，可得出，，，，再结合，即可求出的值． 【详解】解：是的外角， ． 平分，平分， ，． 是的外角， ． 同理：，，， ． 又， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）已知中，，与的角平分线与相交于点，则 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题．熟练掌握角平分线定义，三角形内角和性质，是解题的关键．先求出，再根据角平分线得出，，最后根据三角形内角和可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的角平分线与相交于点， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·北京·开学考试）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵和的角平分线相交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点P是的外角和的角平分线的交点，若，则    【答案】/61度 【分析】根据三角形内角和公式可得，再根据角平分线定义可得，再运用三角形内角和定理即可解答； 【详解】， 又， ， ， 又分别是外角和的角平分线， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到三角形的内角和是 这一隐含的条件． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线和高，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． （1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ． 又，， ， 即与的周长差为1； （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ． 12．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 【答案】(1)；；；或 (2) 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出，计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得出，再由三角形内角和定理计算即可得解；分两种情况：当，时，当，时，结合三角形内角和定理，分别计算即可得解； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵和的三等分线相交于点， ∴当，时， ， ∴； 当，时， ， ∴； 故和的三等分线相交于点，则或； （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13．（23-24八年级上·广西崇左·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； （2）解：是中点， ∴， 与的周长差为， 或 或， ， 或． 14．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 【答案】（1）①；②猜想，证明见解析；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义； （1）①根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；②根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （2）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （3）根据已知条件求出的度数，然后由（2）求出的，利用三角形内角和求出，再分2种情况讨论，求出的度数． 【详解】解：（1）①解：分别是和的角平分线，，， ， ， ， 故答案为：； ②猜想，证明如下： ∵， ∴ 分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（1）得， ∴， ； （3）是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， 当， ， ， ； 当， ， 解得：， 综上可知：的度数为或． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图①，的角平分线相交于点．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，过点作直线，分别交和于点和，且平行于，试求的度数（用含的代数式表示）；    (3)将（2）中的直线绕点旋转，分别交线段于点（不与重合），交直线于，请探索并直接写出三者之间的数量关系．    【答案】(1) (2) (3)当N在线段上时，；当N在线段延长线上时，；当N在线段延长线上时， 【分析】此题考查了三角形外角的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，再根据三角形内角和定理即可得到，即可得到答案； （2）由平行线的性质得到，，则，由平行线的性质和三角形内角和定理得到，即可得到答案； （3）分三种情况：当N在线段上时；当N在线段延长线上时；当N在线段延长线上时，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵平分和， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵平分和， ∴， ∴． （3）解：分情况讨论： ①当N在线段上时，如图，    ∵平分和交于点P， ∴， ∴， ∴； ②当N在线段延长线上时，如图，    ∵，，且， ∴ 即； ③当N在线段延长线上时，如图，    ∵，且， ∴． 16．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，， ，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】[问题发现] （1），分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； [问题探究] （2），分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， [问题拓展] （3）①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即，， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为 或 ． 17．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________； ②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①  ② 【分析】本题主要考查几何变换的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质及其运用，学会利用参数解决问题． （1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中, 设 利用（1）中结论,求出即可解决问题． 【详解】（1）结论: 理由： 如图1中，连接并延长到， 因为 所以 ， 即； （2）①如图中, 由（1）知:， 由于 所以 ， 故答案为； ②如图中, 设 ， 由（1）可知:， ， ， ． 18．（23-24七年级下·重庆·期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关． 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … (1)通过以上测量数据，请你写出与的数量关系： ； (2)如图2，的平分线交于点，当时，求的度数； (3)如图3，在中，若与的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并进行证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由表中与的测量数据，找到规律即可得到答案； （2）利用三角形内角和定理得到，再由邻补角定义、角平分线定义得到，最后在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案； （3）根据角平分线定义、三角形外角性质列式化简即可得到答案． 【详解】（1）解： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … 与的数量关系：， 故答案为： （2）解：如图所示： ，， ， 在中，，则， ， 的平分线交于点， ， 在中，； （3）解：， 证明如下： 与的平分线交于点， ，， ，， ． 【点睛】本题考查规律探究，涉及找规律、角平分线定义、三角形内角和定理、邻补角定义、三角形外角性质等知识，熟练掌握角平分线定义、三角形内角和与外角性质，数形结合得到角的关系是解决问题的关键． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1−图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； (2)在（1）的条件下，如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (3)如图5，中，的三等分线分别与的角平分线交于点，，若，，则的度数为 ． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识： （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 熟练掌握三角形内角和定理，以及熟悉常考的基本图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 如图2，    ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图3，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； （2）如图4，    ∵，的三等分线交于点， ∴， ∵平分，平分，平分 ∴ ∴ ∴； （3）如图5    ∵，， ∴ ∵的三等分线分别与的平分线交于点，， ∴，， ∴ ∴ ∴． 20．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在中，，于点D，于点E，、所在直线交于点F． (1)如图，当时，求的度数； (2)若在、这两个角中，有一个角是另一个角的2倍时，求的值； (3)的角平分线与的角平分线交于点G，的度数是否是一个定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，见解析 【分析】（1）根据，得到，结合四边形内角和定理，时，计算的度数即可； （2）根据题意，，分和，计算即可； （3）先证明，，再证明，利用三角形内角和定理计算即可． 本题考查了高的性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， 解得； 当时， ∴， 解得； 综上所述，或． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴， ∴ ． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$