专题04 三角形中的倒角模型之8字模型、A字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题04 三角形中的倒角模型之8字模型、A字模型与三角板模型 8 字模型由两个对顶三角形构成，核心结论是两组三角形的内角和相等，推得对顶之外两角之和相等，多用于快速倒角。常与角平分线结合，是填空、选择高频模型，解答题需借助三角形内角和定理推导，不可直接套用结论。A 字模型为三角形内截取一条平行于底边的线段，得到小三角形，核心是外角关系，可推导出下方两角之和等于上方外角。常结合平行线、角平分线综合考查，用来转化角度，识别关键是形如字母 A 的三角结构。三角板模型依托两块固定角度直角三角板拼接、旋转、重叠出题，角度固定为 30°、60°、45°、90°。重点考查角度加减，常和旋转、平行线组合。三类模型以角度等量代换为主，题型灵活，需注意图形动态变化，挖掘隐藏等角，避开角度计算陷阱。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板模型 9 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 23 8 字模型、A 字模型并非古代数学家单独命名的定理，底层原理源自欧几里得《几何原本》中的三角形内角和、对顶角与外角定理。近代中学数学教研中，教师从大量几何习题里提炼出这两类基础图形，依据外形命名。8 字模型来自两条线段相交形成的对顶三角形；A 字模型源自共顶角的大小三角形构型，是倒角、相似题型的基础图形。 三角板模型源头可追溯古希腊柏拉图提出的两种基础直角三角形：45° 直角三角形由正方形分割得到，30° 直角三角形由等边三角形对半切割而来。近代将其制成绘图工具，中学考题利用两块三角板拼接、旋转、重叠来出题。 三者底层理论诞生于古希腊，但 “8 字、A 字、三角板模型” 这些名称，是现代初中几何教研总结出来的题型模型，不属于古典几何原有名词。 1）三角形内角和定理：任意三角形内角和180°； 2）三角形外角定理：外角=不相邻两内角和； 3）对顶角相等、邻补角互补； 4）两套标准三角板固定角度：45°、45°、90°；30°、60°、90°； 5）平行线同位角、内错角相等、角平分线定义。 模型1.8字模型 【模型提炼与证明】 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个； ②若，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴； (2)①3；4；②③ 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，又因为和是对顶角，进而得出结论； （2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案； ②根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理得出和，两式相加，最后得出，然后把代入计算即可得到答案； ③根据，得到，，再根据三角形内角和定理得出和，两式分别相减得到和，即可得到答案 【详解】（1）略 （2）解：①以线段为边的“8字型”有：以和共点M组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有3个；    以点为交点的“8字型”有：以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有4个； 故答案为：3；4； ②以点为交点的“8字型”中，有， 以点为交点的“8字型”中，有， ， ∵、分别平分和， ， ， ， ； ③ ，， ，， 以点为交点的“8字型”中，有， 以点为交点的“8字型”中，有， ， ， ； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键． 【典例2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，求的度数． 解法一（“飞镖型”）：（1）如图①，设，与分别交于点，（请将解题过程补充完整）． 解法二（构造“8字型”）：（2）如图②，连接（请将解题过程补充完整）． 【答案】 （1）   过程：，， ． （2）   过程：，， ， ． 【分析】（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和这一定理将转化到一个三角形中即可求解； （2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和这一定理得到，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练利用转化思想是解决本题的关键 【典例3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图所示，，则的度数为______； (3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∵， ∴； (2)； (3)． 【分析】（）根据三角形的内角和即可得到结论； （）由三角形外角性质得，，则，由三角形外角性质得，则，所以，又由三角形外角性质得，则，即可求解； （）根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相加得到，即，然后把，代入计算即可； 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：以为交点“字型”中，有，以为交点“字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 【典例4】（25-26八年级上·广东深圳·期末）【问题呈现】 如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”． （）证明：． 【问题探究】 继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值： （2）表中______，猜想得到与、的数量关系为______； （3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系； （单位：度） （单位：度） （单位：度） 【答案】 （1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （），； （3）证明：∵、分别平分、， ∴， 由（）得，①，②， 由，得：， ∴， 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）根据表格中的数据猜想得，即可求解． （3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得证． 【详解】（）略 （）解：由表格可得， 当时，有， 当时，有， ∴， 解得， 由此猜想， 故答案为：，； （3）略 【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，一元一次方程的应用，探究规律，解题的关键是灵活运用字型求解． 【典例5】（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：． (2)如图2所示，，则的度数为　 　． (3)如图3，若和的平分线和相交于点P，且与，分别相交于点M，N． ①若，，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“， ”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1) 证明：在图1中，有，， ∵， ∴； (2) (3)①； ②，其理由是： ∵，， ∴，， 以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有， ∴， ． ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）利用（1）的结论，结合三角形外角的性质即可求解； （3）①根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相减得到，即，然后把，代入计算即可； ②与①的证明方法一样得到． 【详解】（1） 略 （2）解：如图2所示，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （3）解①以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴； ② 略 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，三角形外角的性质，角平分线的定义．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 模型2.A字模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 【模型运用】 【典例1】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【答案】(1) (2)与不垂直，理由如下： 由（1）知：， 平分， ， ， 与不垂直． (3)当时， 【分析】（1）利用三角形内角和求出的度数，两直线平行，同位角相等,即可求出的度数； （2）判断与是否垂直，看是否为，根据（1）的答案以及角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求的度数； （3）逆向思维，假设，可以用和代替，过程同第二问，代入即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 （3）当时，，理由如下： ∵， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， ． 【典例2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 【典例3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，．求的大小． 【答案】(1)，理由：∵， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例4】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，平分，，，． (1)求证；； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再根据已知条件得出，从而证得结论； （2）利用三角形内角和定理求出的度数，再由求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【典例5】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边上的高，过点作交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据三角形高的性质，三角形内角和定理和直线平行性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 模型3.三角板模型 【模型提炼与证明】 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·辽宁大连·阶段检测）【动手操作】 小明将一副三角板中的两个直角顶点 C按如图1方式叠放在一起，其中 ．三角板固定不动，将三角板绕点 C顺时针旋转． 【发现问题】 小明发现，在旋转三角板的过程中，有些角之间的存在着特殊的数量关系；某两条边在某个瞬间，有特殊的位置关系． 【解决问题】 (1)当三角板旋转至如图2所示的位置时． 求证： 求证： (2)小明将三角板从图1所示的位置开始绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当旋转到延长线上时，小明停止旋转． 如图3．当 时，求t的值； 当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，求t的值． 【答案】(1) 证明：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； (2)①40；②15或45或55 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角形外角的性质： （1）①根据，即可证明；②先得到，再由，即可证明； （2）①由平行线的性质得到，则，据此可得答案；②分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴ 当时，则， ∴， ∴； 当时，延长交于F，则， ∴， ∴； 综上所述，t的值为15或45或55． 【典例2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)；，（答案不唯一）； (2)； (3)①；②10或40． 【分析】（1）由三角板的性质可得出，由三角板的度数求解即可． （2）由图可知，结合已知条件可求出． （3）①设直线与，分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； ②分，，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值． 【详解】（1）解：， 例如：，， 故答案为：；，（答案不唯一） （2）由图可知：， ∴， 由∵， ∴， ∴ （3）①如图，， 设直线与，分别交于P，Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：；    如图，当时， 延长，，分别与交于P，Q， 此时，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：；      综上：所有满足条件的t的值为10或40． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． 【典例3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）在综合实践课上，同学们以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．一副三角板按如图1的方式摆放（顶点C与F重合，边与边叠合，顶点在同一条直线上）．其中，，，． (1)如图2，将三角板绕着点逆时针旋转后，如果直线，那么的值的是 ．与的数量关系是 ． (2)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，与相交于点，DE与AB相交于点N，若． ①求n的值； ②与的数量关系是否保持不变？请说明理由； (3)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，EF与相交于点，与相交于点，若为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】(1)45； (2)①； ②，保持不变，理由如下： ， ，保持不变； (3)或或 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，等腰三角形的性质，垂线性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等角的余角相等等知识，熟练掌握相关性质定理，根据旋转画图分情况求解为解题关键 （1）根据垂直得到，再根据三角板的角度即可求出n的结果，再根据，即可得出结论； （2）①根据等边对等角，结合三角板的度数得到，即可进一步求解； ②利用即可得证； （3）根据等腰三角形的定义，分三种情况时，时，时，利用等腰三角形性质，三角形外角性质等知识分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，与相交于点M， ， ， ， ； 故答案为：45；； （2）① ， ， ， ； ②略 （3）如图，当时， 则， ； 如图，当时， 则 ， ； 当时， 则， ， ， 综上所述，为等腰三角形时n的值为或或． 【典例4】（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图1，已知直线，现有直角三角板（，）和直角三角板（，）点，在直线上，点，在直线上． (1)如图2，平移三角板，若点与点恰好重合，则的度数为______． (2)如图3，绕点旋转三角板，再延长交于，若的平分线交于，的平分线交于，求的度数． (3)如图4，若三角板从图1的位置开始绕点以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板也从图1的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（），请直接写出当旋转到边与边平行时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，旋转的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）连接，由，同旁内角互补得到，，，由此可求，再根据三角形内角和定理，即可求； （2）延长交于点，由平分，平分，得，，利用，同旁内角互补和内错角相等，得到，在四边形中，即可求出的度数． （3）当时，分别讨论当在上方时和当在下方时，根据两种情况画出示意图．当在上方时，延长交于点，过点作交于点，根据题意得，，， 根据平行线的性质列出关于的方程，求出不合题意，舍去；当在下方时，延长交于点，根据题意可知：，，利用平行线的性质和三角形的外角性质，得到，列出关于的方程，求出符合题意． 【详解】（1）解：连接，如图所示， ， ， ， 即， ，， ， 在中， （2）解：延长交于点，如图所示， 平分，平分， ，， ， ，，， ，， ， ， 两式相加得：， ， 在四边形中，． （3）解：当在上方时，，延长交于点，过点作交于点，如图， 根据题意得，，， ，， ，又， ， ， 又， ， ， ， ， ， 解得， ，此时应该在下方，不符合题意，舍去； 当在下方时，延长交于点，如图， 根据题意可知：，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 综上所述：当旋转到边与边平行时． 【典例5】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）在综合与实践课上，某班开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】 （1）如图1，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； 【自主探究】 （2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，求当旋转到时，的值是多少？ 【探究拓展】 （3）现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，直接写出满足条件的值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15或60或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理： （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中三种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）， ． ， ， （2）①如图所示，当在上方时，延长交于， ， ， ， ， ； ②当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，； 综上所述，当旋转到时，的值是40或100； （3）①如图，当时， 设直线与分别交于， 此时， ， ， ， ， ，即，解得：； ②如图，当时，延长，分别与交于， 此时，， ， ， ，即， ， ， 解得：； ③如图所示，当时， 设直线分别交、于、， 此时，， ， ， ，， ， ． 解得． 综上：所有满足条件的的值为15或60或105． 模型常见易错点 1）无法识别隐藏8字、A字（最普遍丢分点） 错误：图形复杂、线段多，找不到模型，反复硬算内角和。 解决方案：只要看到两线相交，立刻锁定8字；只要看到大三角内部凸出尖角，立刻锁定A字。做题先剥离局部模型。 2）8字模型角度等式写反 错误：乱配对角，等式混乱。 解决方案：固定口诀：八字左右平分，同侧两角相加相等，记混立刻用内角和快速推一遍。 3）A字模型和平行模型混淆 错误：无平行条件乱用同位角相等。解决方案：无平行只用外角定理；有平行才用同位角、内错角。 4）三角板旋转角度加减混乱 错误：重叠张开分不清，角度算反。解决方案：重叠取差，张开取和；旋转先画初始位置，再对比偏移量。 5）大题直接写模型结论扣分 解决方案：选填可秒杀；解答题必须简单写内角和+对顶角/外角推导，禁止直接写“由8字模型得”。 解题方法总结 8字模型解题步骤：1）识图：两线段相交，形成对顶三角形，判定8字模型；2）利用内角和+对顶角相等，得两角和相等；3）代入已知角度，列等式求解未知角。 A字模型解题步骤：1）识图：大三角形内部截线形成外凸尖角；2）利用外角定理：外尖角=顶角+两底角；3）代数计算求值。 三角板模型解题步骤：1）标出所有固定特殊角；2）判断静态拼接/重叠/旋转；3）重叠作差、张开作和；相交嵌套8字快速倒角；4）算出最终角度。 统一口诀 相交对顶出八字，两角和等不用试；A字外尖含三角，外角定理是本质；三角板角永不变，重叠加减辨虚实。 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质得，进而根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．（26-27八年级上·北京·开学考试）如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】在和中，使用三角形内角和定理得到，代入数值即可求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理知，在中，， 在中，， ，（对顶角相等） ， ． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 5．（25-26八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)的度数为 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后再利用平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 6．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，将沿着的方向平移至（点，，的对应点分别为，，），连接，． (1)若，，分别求，的度数． (2)若平分，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，之间的距离为，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 理由如下：根据图形平移的特征，得，． ，． 平分， ， ． (3)8 【分析】（1）由平移的性质得出，，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理得出，根据角的和差关系得出，再根据平行线的性质即可求出． （2）由平移的性质得出，，进而可得出，．由角平分线的定义得出，等量代换可得出． （3）由平移的性质得出，．然后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：根据图形平移的特征，得，， ， ． ，， ． ． ， ． ． （2）解：略； （3）解：根据图形平移的特征，得，． ， ． ． ． 7．（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：平分， ， 又， ， ． (2)， 理由：，， ． ． ． 平分，平分， ，． ． ． ． 【分析】（1）根据角平分线以及平行线的判定方法证明即可； （2）先证明，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 8．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，，则__________． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的角和分别转化为和，再结合，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 9．（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：， ， ． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 【答案】 3 2或 【分析】①当时， 分在左侧和在右侧两种情况，分别计算出和的度数，代入计算k值； ②当，分在上方和在下方两种情况，利用平行线的性质求出的度数，即可求出与的度数，代入计算k值． 【详解】解：由题可知． ①当时， 在左侧时，如图所示 ． ． ， ，解得． 在右侧时，如图所示 ， ． ， ，解得． ②当时， 在上方时，如图 ． ，． ， ，解得． 在下方时，如图 ，， ． ， ． ， ． ， ，解得． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 12．（24-25七年级下·全国·单元复习）如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：，，且， ． (2) (3)①3，4，② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据三角形内角和定理证明即可； （2）根据三角形内角和定理进行解答即可； （3）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可； ②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． （3）解：①以线段为边的“8字形”有： ，，，共3个； 以点O为交点的“8字形”有： ，，，，共4个． 故答案为：3；4； ②解：以点为交点的“8字型”中， 有， 以点为交点的“8字型”中， 有， ． 分别平分和， ， ． ， ． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 【答案】(1) (2)①3，4； ②； ③，理由如下： 由（1）可知，， ∵，， ∴，，， ∴， 由（2）②可知，， ∴， ∴ ， ∴． (3)125 【分析】（1）根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）①根据“8字型”的定义即可得； ②根据“8字型”的定义可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得； ③先求出，，，从而可得，再根据计算即可得； （3）根据平行线的性质求出，设，则，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，最后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：①线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 故答案为：3，4； ②以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴； ③ 略 （3）解：，， ，， ， ， ， 设， ， 是的角平分线，是的角平分线， ，， 又， ， ， 故答案为：125． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：. 15．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，三角形以每秒的速度沿方向平移t秒，得到三角形，与相交于点O，连接．则下列结论：①；②；③阴影部分的周长为；④当时，三角形与三角形的面积的差为．其中正确的结论是_________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据平移的性质，即可判断①正确；②根据平行的性质进行求解即可；③根据平移的性质，进行求解即可；④先求出，根据，，即可得出答案． 【详解】解：①∵三角形平移得到三角形， ∴，故①正确； ②过点O作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③根据平移可得：，， ∴阴影部分的周长为： ，故③正确； ④过点A作于点N，如图所示： ∵， ∴， 当时，， ，， ∴， ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①②③④． 16．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解． 【详解】，，射线平分， ， 当，如图所示，， ； 当，如图所示，， ， ； 当，延长交直线于点，如图所示，， ， ； 在中，， 综上所述，的度数为或或． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 【答案】/270度 【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角的性质可求出，，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： 18．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有_______个，以点为交点的“8字型”有________个； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出、、之间的关系（不需要证明）．    【答案】(1) 证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； (2)①3，4②③ 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和，共3个； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和，共4个； 故答案为：3，4； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． 19．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 20．（2026七年级下·上海·专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角． (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）设，，解方程即可得到答案； （2）由“8”字三角形得①， ②， ，得，整理后可得结论； （3）连接，根据，得到 同理得到：，再根据，，，，即可求解； （4）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解． 【详解】（1）解：，分别平分，， ∴， 设，， 则有， ， ． （2）解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点， ∴， ∵，① ∴， ∴， ∴， ∵，② ，得 ， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵，， ∴， 同理得到：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （4）解：直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，，分别平分，， ① 图2中共有____________个“8字形”； ② 若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或其他方法） ③ 猜想图2中与的数量关系，并说明理由．    【答案】 （1）证明：在中，， 在中，， ， （对顶角相等）， ； （2）①6；②； ③ 【分析】（1）根据三角形内角和定理及对顶角即可证明； （2）① 根据“8”字形的特征：有一组对顶角的两个三角形即可得出数量； ② 由“8字形”数量关系可得，从而，又由，分别平分，可得，，最后根据“8字形”数量关系即可求解； ③ 由② 易知，，又由角平分线可得，，从而得证． 【详解】解：（1）略 （2）① 交点是点M，N各有1个， 和，和， 交点O有4个，所以，“8字形”图形共有6个， 和，和，和，和， 所以，“8字形”图形共有6个，    故答案为：6； ② ，， ， ， ，分别是和的平分线， ，， 又， ； ③ ．理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ，， ，分别是和的平分线， ，， ， 整理得，． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，“8”字形模型，角平分线，掌握相关性质定理并加深理解是解决本题的关键． 22．（25-26七年级下·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 【答案】(1) 解：如图1， ，， ． (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键； （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得； （3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2， 和的平分线相交于点， ，， 由（1）可得：，， ， ． （3）由（1）得：， ， ， 设与的交点为点，则， 两式相减可得：， ， ， ， ， 即． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图1摆放时，则______°，______°； (2)现固定三角板的位置不变，将三角板沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为，当与直线首次重合时停止旋转，运动时间为，当线段与三角板的一条边平行时，请直接写出旋转的时间t的值______． 【答案】(1)， (2) (3)或或或． 【分析】（）如图，延长交于点，由平角的定义可得和，根据平行线的性质可，进而根据三内角和可求出； （）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和和平角定义可得，，即得，再根据角平分线的定义及三角形内角和即可求解； （）分、、三种情况，分别画出图形，利用平行线的性质及三角形内角和，三角形外角性质进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为， ∴，， 当时，如图，延长，分别交直线于点， 则， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得 当时，如图，延长交于点，则， 连接交于一点，如图所示， 将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ ∴ 则， 当时，如图，延长分别交于点，设与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴，解得：； 如图，当时，如图，设与交于点，与交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上，当线段与三角板的一条边平行时，旋转的时间t的值为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，角平分线的定义，三角形外角性质，综合性较强，难度较大，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键． 24．（24-25七年级上·四川乐山·期末）将一副三角板如图放置，，， ，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图摆放时，则___________，___________； (2)现固定三角板的位置不变，将三角板沿方向平移至点正好落在上，如图所示，与交于点，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)现固定三角板，将三角板绕点顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，如图所示，当线段与三角板的一条边平行时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（）如图，延长交于点，由平角的定义可得和，根据平行线的性质可，进而根据三内角和可求出； （）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和和平角定义可得，，即得，再根据角平分线的定义及三角形内角和即可求解； （）分、、三种情况，分别画出图形，利用平行线的性质及三角形内角和解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，三角形内角和，角平分线的定义，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：当时，如图，延长，分别交直线于点， 则， 由（）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，延长，分别交直线于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或或 25．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一副三角板中，，，． (1)如图，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小； ②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为______． (2)如图，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，的值为______． 【答案】(1)①； ②，理由如下： 平分， ， ， ， ； ③或 (2)或 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键； （1）①由题意易得，则有，然后问题可求解； ②由题意易得，然后可得，进而问题可求解； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，然后分两种情况进行分类求解即可； （2）由题意可分当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ， ∴， 答：的大小为； ②略 当所在直线与所在直线互相垂直时，分两种情况： Ⅰ、如图，于，交于点， ， ， ； Ⅱ、如图，直线于，交于点， ，． ，， ， ， 故答案为：或； （2）解：边与三角板的一条直角边平行时，分两种情况： 当时，如图，延长交于点，延长交于点， 由题意得：，， 三角形外角定理， ， ∵， ， ∵， ∴， 即， 解得：， 当时，如图， 延长交于点S，延长交于点， 由题意得：，， ， ∵， ， ∵， ， ， 即， 解得：， 故答案为：或． 26．（25-26七年级下·北京·期中）已知两条平行直线，和一副直角三角板． (1)如图1，把三角板角的顶点放在直线上，若，则__________； (2)如图2，把含角的直角三角板的两个锐角顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系__________； (3)在图2的基础上，把含角的三角板的角顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点M，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由； (4)如图4放置三角板，使点F、E分别在直线上，其中，．在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平行线的性质，得，结合，根据平角的定义求解即可； （2）过点F作，利用平行线的判定和性质，角的和差，等量代换解答即可． （3）延长交于点O，设，根据题意，得，，结合，求解即可； （4）设，，可证得，，，代换求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ； （2）解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 因为含角的直角三角板的两个锐角顶点E，G分别放在直线上， ， ． （3）解：，是定值；理由如下： 延长交于点O， ∵， ， ， ， 设， 平分，平分， ，， ， ， ； （4）解：与之间的数量关系为．理由如下： 设，， ，， ． ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故． 27．（25-26七年级下·福建漳州·期中）【问题情境】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含角的直角三角板和含角的直角三角板进行探究，其中，，．    （1）一副直角三角板如图1摆放，若，求的度数． 【操作探究】 如图2，将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． （2）当等于多少度时，？请说明理由； （3）当点D在直线的上方时，当这两块三角板存在一组边互相平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）， （2）度数为或，证明： 如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当的延长线与垂直交于点F时， ∴， ∴， ∴， ∴当为或时，； （3）度数为或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的计算，三角形的内角和等知识点， （1）由，，据此可得出答案； （2）当，得，再根据角的和差即可得解，当的延长线与垂直交于点F时，同理即可得解； （3）依题意有以下五种情况（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，（Ⅲ）当时，（Ⅳ）当时，（Ⅴ）当时，根据每一种情况画出图形，利用平行线的性质可得出的度数． 准确识图，灵活利用平行线的性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）略 （3）∵改变三角尺的位置，且点D在直线的上方， ∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种： （Ⅰ）当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）当时，如图所示： ∴； （Ⅲ）当时，如图所示： ∴， ∴； （Ⅳ）当时，如图5所示： ∴， ∴； （Ⅴ）当时，延长交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；． 综上所述：的度数为或或或或． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形中的倒角模型之8字模型、A字模型与三角板模型 8 字模型由两个对顶三角形构成，核心结论是两组三角形的内角和相等，推得对顶之外两角之和相等，多用于快速倒角。常与角平分线结合，是填空、选择高频模型，解答题需借助三角形内角和定理推导，不可直接套用结论。A 字模型为三角形内截取一条平行于底边的线段，得到小三角形，核心是外角关系，可推导出下方两角之和等于上方外角。常结合平行线、角平分线综合考查，用来转化角度，识别关键是形如字母 A 的三角结构。三角板模型依托两块固定角度直角三角板拼接、旋转、重叠出题，角度固定为 30°、60°、45°、90°。重点考查角度加减，常和旋转、平行线组合。三类模型以角度等量代换为主，题型灵活，需注意图形动态变化，挖掘隐藏等角，避开角度计算陷阱。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板模型 9 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 23 8 字模型、A 字模型并非古代数学家单独命名的定理，底层原理源自欧几里得《几何原本》中的三角形内角和、对顶角与外角定理。近代中学数学教研中，教师从大量几何习题里提炼出这两类基础图形，依据外形命名。8 字模型来自两条线段相交形成的对顶三角形；A 字模型源自共顶角的大小三角形构型，是倒角、相似题型的基础图形。 三角板模型源头可追溯古希腊柏拉图提出的两种基础直角三角形：45° 直角三角形由正方形分割得到，30° 直角三角形由等边三角形对半切割而来。近代将其制成绘图工具，中学考题利用两块三角板拼接、旋转、重叠来出题。 三者底层理论诞生于古希腊，但 “8 字、A 字、三角板模型” 这些名称，是现代初中几何教研总结出来的题型模型，不属于古典几何原有名词。 1）三角形内角和定理：任意三角形内角和180°； 2）三角形外角定理：外角=不相邻两内角和； 3）对顶角相等、邻补角互补； 4）两套标准三角板固定角度：45°、45°、90°；30°、60°、90°； 5）平行线同位角、内错角相等、角平分线定义。 模型1.8字模型 【模型提炼与证明】 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个； ②若，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【典例2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，求的度数． 解法一（“飞镖型”）：（1）如图①，设，与分别交于点，（请将解题过程补充完整）． 解法二（构造“8字型”）：（2）如图②，连接（请将解题过程补充完整）． 【典例3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图所示，，则的度数为______； (3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 【典例4】（25-26八年级上·广东深圳·期末）【问题呈现】 如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”． （）证明：． 【问题探究】 继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值： （2）表中______，猜想得到与、的数量关系为______； （3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系； （单位：度） （单位：度） （单位：度） 【典例5】（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：． (2)如图2所示，，则的度数为　 　． (3)如图3，若和的平分线和相交于点P，且与，分别相交于点M，N． ①若，，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“， ”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 模型2.A字模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 【模型运用】 【典例1】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【典例2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【典例3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，．求的大小． 【典例4】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，平分，，，． (1)求证；； (2)求的度数． 【典例5】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边上的高，过点作交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 模型3.三角板模型 【模型提炼与证明】 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·辽宁大连·阶段检测）【动手操作】 小明将一副三角板中的两个直角顶点 C按如图1方式叠放在一起，其中 ．三角板固定不动，将三角板绕点 C顺时针旋转． 【发现问题】 小明发现，在旋转三角板的过程中，有些角之间的存在着特殊的数量关系；某两条边在某个瞬间，有特殊的位置关系． 【解决问题】 (1)当三角板旋转至如图2所示的位置时． 求证： 求证： (2)小明将三角板从图1所示的位置开始绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当旋转到延长线上时，小明停止旋转． 如图3．当 时，求t的值； 当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，求t的值． 【典例2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 【典例3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）在综合实践课上，同学们以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．一副三角板按如图1的方式摆放（顶点C与F重合，边与边叠合，顶点在同一条直线上）．其中，，，． (1)如图2，将三角板绕着点逆时针旋转后，如果直线，那么的值的是 ．与的数量关系是 ． (2)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，与相交于点，DE与AB相交于点N，若． ①求n的值； ②与的数量关系是否保持不变？请说明理由； (3)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，EF与相交于点，与相交于点，若为等腰三角形时，的值为 ． 【典例4】（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图1，已知直线，现有直角三角板（，）和直角三角板（，）点，在直线上，点，在直线上． (1)如图2，平移三角板，若点与点恰好重合，则的度数为______． (2)如图3，绕点旋转三角板，再延长交于，若的平分线交于，的平分线交于，求的度数． (3)如图4，若三角板从图1的位置开始绕点以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板也从图1的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（），请直接写出当旋转到边与边平行时的值． 【典例5】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）在综合与实践课上，某班开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】 （1）如图1，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； 【自主探究】 （2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，求当旋转到时，的值是多少？ 【探究拓展】 （3）现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，直接写出满足条件的值． 模型常见易错点 1）无法识别隐藏8字、A字（最普遍丢分点） 错误：图形复杂、线段多，找不到模型，反复硬算内角和。 解决方案：只要看到两线相交，立刻锁定8字；只要看到大三角内部凸出尖角，立刻锁定A字。做题先剥离局部模型。 2）8字模型角度等式写反 错误：乱配对角，等式混乱。 解决方案：固定口诀：八字左右平分，同侧两角相加相等，记混立刻用内角和快速推一遍。 3）A字模型和平行模型混淆 错误：无平行条件乱用同位角相等。解决方案：无平行只用外角定理；有平行才用同位角、内错角。 4）三角板旋转角度加减混乱 错误：重叠张开分不清，角度算反。解决方案：重叠取差，张开取和；旋转先画初始位置，再对比偏移量。 5）大题直接写模型结论扣分 解决方案：选填可秒杀；解答题必须简单写内角和+对顶角/外角推导，禁止直接写“由8字模型得”。 解题方法总结 8字模型解题步骤：1）识图：两线段相交，形成对顶三角形，判定8字模型；2）利用内角和+对顶角相等，得两角和相等；3）代入已知角度，列等式求解未知角。 A字模型解题步骤：1）识图：大三角形内部截线形成外凸尖角；2）利用外角定理：外尖角=顶角+两底角；3）代数计算求值。 三角板模型解题步骤：1）标出所有固定特殊角；2）判断静态拼接/重叠/旋转；3）重叠作差、张开作和；相交嵌套8字快速倒角；4）算出最终角度。 统一口诀 相交对顶出八字，两角和等不用试；A字外尖含三角，外角定理是本质；三角板角永不变，重叠加减辨虚实。 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·北京·开学考试）如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图所示，，则的度数为__度． 5．（25-26八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的度数． 6．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，将沿着的方向平移至（点，，的对应点分别为，，），连接，． (1)若，，分别求，的度数． (2)若平分，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，之间的距离为，，求的长． 7．（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 8．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，，则__________． 9．（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 12．（24-25七年级下·全国·单元复习）如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 15．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，三角形以每秒的速度沿方向平移t秒，得到三角形，与相交于点O，连接．则下列结论：①；②；③阴影部分的周长为；④当时，三角形与三角形的面积的差为．其中正确的结论是_________（填序号）． 16．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 18．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有_______个，以点为交点的“8字型”有________个； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出、、之间的关系（不需要证明）．    19．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 20．（2026七年级下·上海·专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角． (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，，分别平分，， ① 图2中共有____________个“8字形”； ② 若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或其他方法） ③ 猜想图2中与的数量关系，并说明理由．    22．（25-26七年级下·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图1摆放时，则______°，______°； (2)现固定三角板的位置不变，将三角板沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为，当与直线首次重合时停止旋转，运动时间为，当线段与三角板的一条边平行时，请直接写出旋转的时间t的值______． 24．（24-25七年级上·四川乐山·期末）将一副三角板如图放置，，， ，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图摆放时，则___________，___________； (2)现固定三角板的位置不变，将三角板沿方向平移至点正好落在上，如图所示，与交于点，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)现固定三角板，将三角板绕点顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，如图所示，当线段与三角板的一条边平行时，请直接写出的度数． 25．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一副三角板中，，，． (1)如图，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小； ②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为______． (2)如图，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，的值为______． 26．（25-26七年级下·北京·期中）已知两条平行直线，和一副直角三角板． (1)如图1，把三角板角的顶点放在直线上，若，则__________； (2)如图2，把含角的直角三角板的两个锐角顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系__________； (3)在图2的基础上，把含角的三角板的角顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点M，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由； (4)如图4放置三角板，使点F、E分别在直线上，其中，．在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．直接写出与之间的数量关系． 27．（25-26七年级下·福建漳州·期中）【问题情境】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含角的直角三角板和含角的直角三角板进行探究，其中，，．    （1）一副直角三角板如图1摆放，若，求的度数． 【操作探究】 如图2，将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． （2）当等于多少度时，？请说明理由； （3）当点D在直线的上方时，当这两块三角板存在一组边互相平行时，请直接写出的度数． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $