专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（2025·浙江绍兴·模拟预测）中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，请说明的度数； (2)如图2（），试说明的数量关系． 例2（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，是边上的高，是的平分线． （1）若，求； （2）若，求边上的高． 例3（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，且，，求的度数． 例4（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 例5（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 模型2.双垂直模型 例1（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在中： （1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； （2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 例2如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 例3（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 例4（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 例5（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，， (1)求的面积 (2)求的长： 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求和的周长的差． 例2（24-25八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 例3（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 例4（24-25八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 例5（24-25七年级下·山东济南·期中）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，高、交于点O，则为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，、分别是的高和角平分线，点是延长线上一点，交于点，交于点，交于点．有如下结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）    A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 8．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知：如图，在中，，、分别是和的高，，则（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，与是的高，则 ． 10．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，给出下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的是 ．（填序号） 11．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，在中，是角平分线，是高，，，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    13．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，是高，、是两内角平分线，它们相交于点O， ，，则与的度数之和为 °．    14．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． (1)若，的面积为20，求的长； (2)若，，求的度数． 15．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，，是的角平分线，若是的高，求的度数． 17．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 18．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，． (1)求的度数； (2)求的度数． 19．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，为边上的高． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 20．（24-25八年级上·山西大同·期中）在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 21．（2025七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 22．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知中，，是边上一点（不与点，点重合）． (1)如图1，若是的高，是的角平分线．求证，； (2)如图2，若，，与的平分线相交于点． ①依题意补全图形； ②试用等式表示与之间的数量关系，并证明． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（2025·浙江绍兴·模拟预测）中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，请说明的度数； (2)如图2（），试说明的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的定义，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题． 例2（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，是边上的高，是的平分线． （1）若，求； （2）若，求边上的高． 【答案】（1）10°；（2）4 【分析】（1）先根据内角和求得，，由是的平分线知，依据可得答案； （2）依据求解可得． 【详解】解：（1），， ，， 是的平分线， ， ； （2）如图，作AB边上的高，垂足为F， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式，解题的关键是掌握三角形高线的定义． 例3（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵是边上的高， ∴． 例4（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （3）解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 例5（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可作答 （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答． （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【详解】（1）（1）解：①∵是高， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是高， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 模型2.双垂直模型 例1（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在中： （1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； （2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 【答案】（1）；（2）画图见解析；；说明见解析；（3）无论是锐角还是钝角，总有 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （3）根据（1）、（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点O． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图所示： ，理由如下： ∵，边上的高，所在直线交于点O， ∴， ∵，， ∴； （3）由（1）（2）可以得到结论：无论是锐角还是钝角，总有． 例2如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，则有，得到，即可解答； （2）先求出，再推导出，可得到 ， ，即可解答． 【详解】（1）解：是的两条高， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， 答：的度数，的度数． 例3（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 例4（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了高线的性质，角平分线的性质以及中线的性质，需熟练掌握三角形的内角和，得到是解决本题的关键． （1）根据，分别是的高由此可得垂直，即可得直角，再根据等量代换求解即可． （2）先由角平分线的性质求出，再根据三角形内角和即可求解． （3）根据中线的性质，由面积的关系可得，再根据面积可得由此可得． 【详解】（1）证明：∵，分别是的高， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，分别是的角平分线， ∴，， ∴ ， ∴ ． （3）证明：∵D是的中点， ∴，， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 例5（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，， (1)求的面积 (2)求的长： 【答案】(1)60 (2)24 【分析】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面积，是解题的关键． （1）利用面积公式进行计算即可； （2）利用面积公式进行求解即可； 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴， 的面积 （2）解：∵的面积，， ∴． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式及等式的性质即可直接得出答案； （2）由是边上的中线可求得的长，然后利用三角形的面积公式即可直接得出答案； （3）直接求解的周长的周长即可得出答案． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即：的长度为； （2）解：为边上的中线， ， ， 的面积是； （3）解：， 的周长的周长 ， 即：和的周长的差是． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形中线的有关计算，与三角形高有关的计算等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 例2（24-25八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 例3（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】习题回顾：证明见解析；变式思考：相等，理由见解析；探究延伸：，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 习题回顾：先证明，，再利用三角形的外角的性质可得：，，从而可得结论； 变式思考： 先证明，，结合， 可得； 探究延伸： 先证明，， 可得， 结合，，，， 可得， 从而可得答案． 【详解】习题回顾：证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； 变式思考：， 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 探究延伸：， 证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 例4（24-25八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2），详见解析 （3）详见解析， 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质证明； （2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答； （3）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义、直角三角形的性质解答即可； 【详解】（1）解：，是高， 是角平分线， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 为的角平分线， 是边上的高， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图： 三点共线，为角平分线， ， ， ， 例5（24-25七年级下·山东济南·期中）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)= 【分析】（1），为边上的高，得 ，，即得； （2）根据， ，平分，可得； （3）根据. . ，，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分， ∴， ∴. ∵， ∴， 即． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案． 【详解】解： 是的中线， ， 的面积等于的面积， 故正确； ，是的高， ∴ ，， 是的角平分线， ∴ ， ， 又 ， ， 故正确；   ， ， ， 故正确； ∵， ， 故错误； 故选：C 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，根据高线的定义得出，，根据角平分线的定义得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高，且，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，高、交于点O，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质． 由垂直的定义可得，在中根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵和为的高， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 故选：D 5．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据较平县的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，由对顶角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键； 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】 ， ， 故选：D 7．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，、分别是的高和角平分线，点是延长线上一点，交于点，交于点，交于点．有如下结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）    A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据三角形内角和和角平分线的性质，三角形外角的性质逐项推理证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴；①正确；    ∵，AE平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，则，②不正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，④正确； 综上：正确的有①③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和及三角形外角的性质，解题关键是熟练运用三角形内角和外角的性质推理证明． 8．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知：如图，在中，，、分别是和的高，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，根据，得到，再通过计算出，即可求出. 【详解】解：∵、分别是和的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识. 9．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，与是的高，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查三角形的面积，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，给出下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】根据三角形的高、角平分线、中线的性质进行逐项分析即可． 【详解】解：因为是的高， 所以，故①是正确的； 因为是的中线， 所以，故②是正确的； 所以，故③是错误的； 因为，且， 故， 因为，且题干条件未提及， 所以与不一定相等，故④是错误的； 因为是的角平分线， 所以， 在，，则， 所以， 故⑤是正确的， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线、中线的性质，涉及三角形的内角和，难度适中． 11．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，在中，是角平分线，是高，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据计算即可得解． 【详解】在中，∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 13．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，是高，、是两内角平分线，它们相交于点O， ，，则与的度数之和为 °．    【答案】125 【分析】先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，求出；再根据角平分线定义可求、，可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，求出，即可求得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 又∵是高， ∴， ∴， ∵、是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：125． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出、，再运用三角形外角性质求出． 14．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． (1)若，的面积为20，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的中线和高、角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形相关线段的性质是解题的关键． （1）根据三角形的面积求出，再根据三角形中线得到的长； （2）求出，由和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为20， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上的中点， ∴． （2）∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用三角形的等面积法即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 又，，， ， 解得：， 则的长为； （2）解：的边上的中线是，，， ， ， 则的面积为． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，，是的角平分线，若是的高，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，垂直的定义等知识，属于基础题；由三角形内角和可求得，由角平分线定义求得；再由垂直定义及三角形内角和得，由两角差即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， ． 18．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的高与角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互补可得，根据计算即可； （2）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出的度数，然后根据三角形内角和可得结果． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，为边上的高． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 【答案】(1) (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义． （1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数； （2）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得到结论； （3）猜想，重复（1）（2）的过程找出和的度数，二者做差即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， ； 又是的平分线， ； （2）解：是边上的高， ， 在中，，， ， 由（1）知，， ，即； （3）解：，理由如下： 且是的平分线， ， ， ． 20．（24-25八年级上·山西大同·期中）在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是． （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，进而得出，由此即可解决问题； （2）过A作于G，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论，即可得到结论． 【详解】（1）解：是的角平分线， ， 是边 上的高， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过A作于G， ， ， ， 由（1）得， ． 21．（2025七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 22．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知中，，是边上一点（不与点，点重合）． (1)如图1，若是的高，是的角平分线．求证，； (2)如图2，若，，与的平分线相交于点． ①依题意补全图形； ②试用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)①图见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出，根据角的和差关系得出，问题即可得解；   （2）①根据题意画出图形即可；   ②设，，分别求出、、的度数，然后根据三角形内角和定理分别求出、的度数，问题即可得解． 【详解】（1）证明：是的高， ． ． ， ． ． 是的角平分线， ． 是的外角， ． ， （2）解：①补图如图示 ②答：． 证明：设，． 平分， ． ， ． ． ． 平分， ． 在中， ． 在中， ． ． ． 即． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $