专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2025–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）在中，，求解，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （3）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （4）证明，可得； （5）延长，交于点，由（4）可得：，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （6）求解，，可得，由（2）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）猜想：，理由如下： 在中，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （3）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （4），理由如下： ∵与分别是的两个外角， ∴， ∴； （5）延长，交于点， ∵，， 由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （6）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（2）得：． （2025·江苏徐州·模拟预测）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角的角平分线交于点，试探索之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交点中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 例2（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 例3（24-25七年级下·四川内江·期中）如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．    【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，图形类规律探究，根据飞镖模型的结论结合角平分线的定义，推导出相应的规律，即可． 【详解】解：由题意，得：； ， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：，， ， ∴； 故答案为：． 例4（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 【答案】(1)见详解 (2)50 (3)230° 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，新定义的运用，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答． （2）把代入，进行计算即可作答． （3）连接，结合图1的结论，列式计算，整理式子，即可作答． 【详解】（1）解：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴把代入， 得 解得； （3）解：连接，如图所示： 由方法一，在四边形中，得； 在四边形中，得； ∵ ∴ 即． 例5（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 【答案】(1) (2)① ②③ 【分析】（1）连接并延长到点G，利用三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）①根据题意，得，结合前面的结论，得根据，计算即可． ②根据题意，平分平分，得 根据前面的结论，得，，结合，求的度数即可． ③连接，两次运用结论，再求和计算即可． 本题考查了三角形外角性质，直角三角形的性质，角的平分线，熟练掌握外角性质，灵活运用基本结论是解题的关键． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为： ．理由如下： 连接并延长到点G， 根据题意，得， ∵， ∴． （2）解：①根据题意，得，结合前面的结论，得， ∵， ∴， 故答案为：． ②解：根据题意，平分平分， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ③连接， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵ ∴． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，，，          ，． （2），，．故答案为：． （3），，，；答案：； （4），，， ，， ．故答案为：． （5）如图，连接，，， ， ，， ．故答案为：． （6）如图，过点作，则， 由（1）知，，， ，，，， 、分别是和，， ，．故答案为：． （7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线， ，， ，， ，即． 例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)，见解析 【详解】（1）连接，∴， ∵是的外角，∴，∵是的外角，∴， ∴，即， ∵，，∴； （2）∵，，∴， ∵，∴，即， （3）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，即 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知三角形纸片中，，，点点分别在边，边上，将沿翻折，使点落在外的点处．若，则 【答案】/116度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，则由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质求出的度数，则可求出的度数． 【详解】解；∵，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 例2（24-25七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是”等知识点是解决本题的关键先由平行线的性质得到与的关系，再由折叠得到与、与的关系，最后利用三角形的内角和走理求出． 【详解】解∶ ， ． 沿翻折得到， ，． ， ． ， ． ， ． ． 故答案为：． 例3（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．由折叠的性质可得，由可得，由三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 故答案为：． 例4（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质． （1）利用平行线的性质求得，再利用折叠的性质求解即可； （2）利用折叠的性质结合三角形内角和定理求得，推出，据此求解即可； （3）分点在内部和点在外部时，两种情况讨论，利用三角形的外角性质结合折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：若与点C重合，如图， ，， ∴， ∴； （3）解：或．理由如下， 连接， 当点在内部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 当点在外部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 综上，或． 例5（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得，结合题意即可求解； （2）根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即， 又∵， 故，解得：． （2）∵，， 则， ∴， 根据折叠可得：，， ∴． ， ∴， ①当时，即，解得：， ②当时，即，解得，， ∵， ∴不合题意，故舍去， ③当，即，解得，， ∵， ∴不合题意舍去． 综上所述，， 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】 解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出和的倍数关系是解决问题的关键． 先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处， ，，， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 即， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．根据平角及折叠可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠可知， ， ， ， 故答案为：65． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了三角形的外角知识，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键； 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴，， ∴ ， ∴这个零件符合规定，是合格的． 故答案为：合格． 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、的角平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的一个外角的性质等知识点，正确作出辅助线得到三者之间的关系式是解题的关键． 如图：延长交于E，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，然后代入数据计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于E， ∵、的角平分线交于点， ∴， 由三角形的内角和定理得，①， 在中，， 在中，， ∴②， 由得，， ∴． 故答案为． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，的两个外角的平分线相交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能求出的度数是解此题的关键．根据三角形外角性质和三角形内角和定理求出，根据角平分线性质求出，最后根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图，，，，， ， 和的外角平分线相交于点， ，， ， ． 故答案为： ． 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，延长交于点，再根据三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ，， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，点是两外角，的角平分线交点． (1)若，则 ， ． (2)若，则 ， ． (3)若，则 ， ． (4)猜得：与之间的数量关系是： ．（不需要证明） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的相关计算； （1）根据三角形内角和得到，从而得到，再根据角平分线得到，最后结合三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形内角和得到，从而得到，再根据角平分线得到，最后结合三角形内角和定理即可得到答案； （3）根据三角形内角和得到，从而得到，再根据角平分线得到，最后结合三角形内角和定理即可得到答案； （4）根据三角形内角和得到，从而得到，再根据角平分线得到，最后结合三角形内角和定理即可得到答案； 【详解】（1）解：， ， ， ， 、分别平分和， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， 、分别平分和， ，， ， ， 故答案为：，； （3）解：， ， ， ， 、分别平分和， ，， ， ， 故答案为：，； （4）解：，理由如下： ，， ， 、分别平分和， ，， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，、、分别为三边上的点，． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，直接写出图中两对相等的角________（已知相等的角除外） (3)如图3，延长到，作和的平分线交于，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形外角和定理，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握定理是解决本题的关键 （1）由可得，又由，且可得进而证明垂直关系； （2）根据，再根据三角形的外角和定理即可找到两对相等的角； （3）先设设，，即可表示与，进而可得两角关系，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，且， ∴， 即， 即； （2）解：∵，且， 又∵，， ∴， 由（1）可得， ∵，， ∴； 故答案为：；； （3）解：设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·山西临汾·期末）在中，已知． (1)如图1，的平分线相交于点D． ①当时， 度； ②时， 度； ③猜测与的数量关系，并加以证明． (2)如图2，若的平分线与和相邻外角的角平分线交于点F，求的度数（用含的代数式表示）． (3)在（2）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到的角平分线与的角平分线交于点M（如图3），用含的代数式表示的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)；40；，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键． （1）①由三角形内角和定理、角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求；②求出，即可得到答案；③由三角形内角和定理和角平分线，采用①的推导方法即可求解； （2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解； （3）由折叠的对称性得，结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）①∵的平分线相交于点D． ∴，， ∴ 故答案为： ②∵ ∴ ∵的平分线相交于点D． ∴，， ∴ ∴ 故答案为：40 ③ 证明：∵，， ∴ ． （2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE ∴，， ∴＝ 即． （3）由轴对称性质知： ， 由（1）③可得， ∴． 12．（24-25八年级上·湖北黄石·开学考试）已知，平分． (1)如图1，平分，若，直接写出_______度； (2)如图2，，若，求． 【答案】(1)55 (2) 【分析】（1）延长交于点Q，则可得到，则，连接并延长到点R，则可得，，可得到和的关系，从而求解； （2）作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：如图1，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 连接并延长到点R，则可得：，， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：55； （2）解：如图，作于，作于， 则， 设，则，， 平分， ， 设，则， ， ，， ， ，， ，， 又， ， 解得， 则． 【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 13．（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图1，若与相交于点G，，请写出、所满足的等量关系式； (2)如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，根据四边形内角和得到，再结合邻补角，得到，由角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）延长交于点，由（1）可知，，从而得出，再由三角形外角的性质，得到，则，从而推出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接， 在四边形中，，， ， ，， ， ， 、分别平分四边形的外角和， ，， ， ，， ， ， ， ， （2）解：如图2，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了邻补角，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，平行线的判定等知识，用整体代换的思想是解本题的关键． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析； （3），见解析． 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2）之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 15．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，因为，即可求解；     ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又 ∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 又 ∵， ． ②由（1）可得，， ， 又 ∵平分平分， ， ． 16．（24-25七年级下·甘肃金昌·期末）如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键． 本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 18．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）杨老师在数学课上告诉同学们，过某一个点作辅助线，构造平行线，就可以利用平行线的性质求角度．请根据杨老师提示的方法，解决下列问题： 【探究感知】（1）如图1，．，则的度数为________； 【类比应用】（2）如图2，．求的度数？ 【拓展延伸】（3）如图3，．与的平分线相交于点F，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求解即可； （2）过点C作直线，根据平行线的性质，得到，再判定，得到，即可求出的度数； （3）过点F作，根据角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质，得到，最后利用，即可求出的度数． 【详解】解：（1）过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： （2）过点C作直线， ， ， ， ， ； （3）过点F作， ， ， ． 19．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 20．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． （1）首先根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线的定义，得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义，可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 平分，平分， ， 由三角形外角性质可知：， ， 是的一个外角， ； （3）解：，理由如下： 平分，平分， ， ， 由三角形内角和可知：， ． 21．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，，点在边上，将沿翻折得到，交直线于点． (1)如图1，当点在边上时， ①若，，，直接写出与的周长的和； ②若，试说明：； (2)如图2，若，将绕点逆时针旋转角度，记旋转中的为，在旋转过程中，直线分别与直线，直线相交于点，，是否存在这样的点，，使得?若存在，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①12；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①根据折叠的性质解答即可； ②由折叠的性质，得，．设，求出，，由可得结论； （2）分点在边上和点在边的延长线上两种情况，结合折叠的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：①由折叠得，， ∵，，， ∴与的周长和 ． ②由折叠的性质，得，． 设， ， ． ， ． ． ， ． ． （2）解：分两种情况讨论： （i）当点在边上时，如图1， ， ． 由折叠的性质，得， 由旋转的性质，得． ， ． 是的外角， ， ． ， ． （ii）当点在边的延长线上时，如图2， 同理，可求得， 综上所述，存在这样的点，，使得， 的度数为或． 22．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：，， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得（不存在）； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或． 23．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）阅读与思考 有趣的翻折 在学习了三角形内角和后，李老师给大家出了一道有趣的翻折的题目． 如图1，将中的向内部折叠落在处，若，，求的度数．    下面是琳琳同学的解答过程： ，， ，． 由折叠得， 任务： (1)请仔细阅读上面的部分解答过程，并将剩下的解答过程补充完整． (2)如图2，将中的向外部折叠落在处，若，，求的度数．    【答案】(1)见解析 (2)25° 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角．掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）根据折叠的性质，三角形的外角的性质，以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ，． 由折叠得，， ∴； （2）如图：    ∵， ， ∵， ∵折叠， ∴， ∵，即：， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证： (2)若，（） ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②存在这样的的值，使得中有两个角相等，且或30 【分析】（1）根据平行线和翻折的性质，推出，进而推出，即，即可得证； （2）①根据三角形的内角和定理，求出的度数，翻折得到，进而求出的度数，根据三角形外角的性质，求出的度数，再根据翻折即可得出结果；②分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）， ． 翻折， ， ， ， 即 （2）①，， ， ，， ． ， ， 由翻折可知，； ②，则， 当时，，解得，， 当，，解得，， 当时，，解得，，， 不合题意，舍去， 综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，且或30． 【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质，三角形的内角和定理，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)54 (3)；理由见解析 【分析】（1）连接，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出、，即可得出，根据，，，即可得出答案； （2）根据翻折得出，，根据三角形内角和得出，在根据，列出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出，，根据，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E， 则、， ∴，即， ∵，，， ∴， 故答案为：20； （2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：；理由如下： 如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2025–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． （2025·江苏徐州·模拟预测）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角的角平分线交于点，试探索之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交点中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 例2（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 例3（24-25七年级下·四川内江·期中）如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．    例4（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 例5（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知三角形纸片中，，，点点分别在边，边上，将沿翻折，使点落在外的点处．若，则 例2（24-25七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 例3（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ． 例4（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 例5（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 1．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 解：平分，平分， 2．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    4．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、的角平分线交于点，若，，则的度数为 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，的两个外角的平分线相交于点，则 ． 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知，，，求的度数． 8．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，点是两外角，的角平分线交点． (1)若，则 ， ． (2)若，则 ， ． (3)若，则 ， ． (4)猜得：与之间的数量关系是： ．（不需要证明） 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，、、分别为三边上的点，． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，直接写出图中两对相等的角________（已知相等的角除外） (3)如图3，延长到，作和的平分线交于，若，求的度数． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 11．（24-25七年级下·山西临汾·期末）在中，已知． (1)如图1，的平分线相交于点D． ①当时， 度； ②时， 度； ③猜测与的数量关系，并加以证明． (2)如图2，若的平分线与和相邻外角的角平分线交于点F，求的度数（用含的代数式表示）． (3)在（2）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到的角平分线与的角平分线交于点M（如图3），用含的代数式表示的度数（直接写出结果）． 12．（24-25八年级上·湖北黄石·开学考试）已知，平分． (1)如图1，平分，若，直接写出_______度； (2)如图2，，若，求． 13．（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图1，若与相交于点G，，请写出、所满足的等量关系式； (2)如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 15．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 16．（24-25七年级下·甘肃金昌·期末）如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 18．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）杨老师在数学课上告诉同学们，过某一个点作辅助线，构造平行线，就可以利用平行线的性质求角度．请根据杨老师提示的方法，解决下列问题： 【探究感知】（1）如图1，．，则的度数为________； 【类比应用】（2）如图2，．求的度数？ 【拓展延伸】（3）如图3，．与的平分线相交于点F，求的度数． 19．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 20．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？ 21．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，，点在边上，将沿翻折得到，交直线于点． (1)如图1，当点在边上时， ①若，，，直接写出与的周长的和； ②若，试说明：； (2)如图2，若，将绕点逆时针旋转角度，记旋转中的为，在旋转过程中，直线分别与直线，直线相交于点，，是否存在这样的点，，使得?若存在，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 22．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，求的度数． 23．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）阅读与思考 有趣的翻折 在学习了三角形内角和后，李老师给大家出了一道有趣的翻折的题目． 如图1，将中的向内部折叠落在处，若，，求的度数．    下面是琳琳同学的解答过程： ，， ，． 由折叠得， 任务： (1)请仔细阅读上面的部分解答过程，并将剩下的解答过程补充完整． (2)如图2，将中的向外部折叠落在处，若，，求的度数．    24．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证： (2)若，（） ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $