专题15函数的认识4大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建函数专项训练体系，聚焦变量关系、图象应用、描点作图及动点问题，通过分层典例培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|明确变量关系，关注关键点（起点/交点/拐点），分段分析动点位置|从函数概念（变量对应）到图象表征，构建“概念-图象-应用”逻辑链| |题型归纳|4类/31题|变量关系：识别变量+建立关系式；图象信息：横纵轴含义+斜率分析；描点法：取值范围+关键点连线；动点问题：分段几何关系+分类讨论|题型从基础表征（表格/解析式/图象）到综合应用（几何动点），难度递进| |压轴挑战|1|高难问题思维突破|整合函数与几何知识，提升推理能力与创新意识|

专题15 函数的相关知识 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 变量间关系的表示 题型2 由函数图象获取信息 题型3 描点法画出函数图象 题型4 动点问题的函数图象 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型。解决函数问题，首先要明确自变量与因变量，弄清函数图象上点的横、纵坐标的实际意义；由图象获取信息时，要关注关键点（起点、终点、交点、转折点）的坐标以及线段的斜率（变化快慢）。用描点法画图时，先确定自变量取值范围，选取有代表性的点（尤其是端点、拐点），再连线。对于动点问题的函数图象，要分段分析动点位置，用几何关系表示线段长或面积，进而写出函数关系式；注意分类讨论和自变量取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 ◆题型1 变量间关系的表示 题型模版 1.特征：通过表格、解析式或图象表示两个变量之间的关系，并据此解决实际问题。 2.方法：识别自变量与因变量；根据题意建立关系式或读取表格数据；结合实际意义确定自变量取值范围。 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）小明从超市A出发，沿笔直道路以60米/分的速度匀速步行回家，妈妈同时骑自行车从家出发，沿相同路线匀速去超市A购物，购物结束后按原路原速返回家中，小明比妈妈到家早5分钟．在此过程中，设妈妈从家出发开始所用时间为（分钟），下图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的关系的图象．请根据以上所给信息解答下列问题： (1)求妈妈购物花了多少时间？ (2)求小明到家时，与妈妈的距离是多少米？ (3)求为何值时，妈妈和小明相距360米． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 4．（25-26七年级下·广东清远·期末）为确保首届“某市环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，比赛分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始小时后发车，并以固定速度行驶，在比赛结束时行驶个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ； （2）某选手速度保持为时，收容车在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和） （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为多少时，选手刚好能和小时分的赛会纪录持平． ◆题型2 由函数图象获取信息 题型模版 1.特征：给定实际问题或几何背景的函数图象，要求读取关键信息并回答。 2.方法：明确横、纵轴含义；抓住起点、终点、交点、转折点；利用斜率判断速度、效率等变化快慢；分段列式求解。 5．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 6．如图，函数（为常数，自变量取全体实数）的图像交轴于点，交轴正半轴于点，且点在的左侧，以下结论正确的是（     ） A．点的坐标为 B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评．一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶．两船之间的距离与时间的关系部分图象如图所示，当时，电动艇到达白泽台码头． (1)求电动艇的速度； (2)若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象； (3)若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶．在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少? 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． ◆题型3 描点法画出函数图象 题型模版 1.特征：根据函数关系式或实验数据，用描点法画出函数图象。 2.方法：确定自变量取值范围；选取若干自变量的值计算对应函数值；列表、描点、连线；注意关键点（顶点、与坐标轴交点）的准确性。 9．（24-25八年级上·浙江·期末）今年国庆假期，小胡和小周去旅行，小胡骑自行车，小周开汽车，两人从甲地出发到乙地，如图表示两人离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系．小胡出发2小时后途经一集镇停下休息，然后以原速的前行后突然自行车发生故障，小胡立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇．小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等．到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车．之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟．    (1)小胡到集镇前的速度是_________；小胡休息了________小时；小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是_________，这段时间是_________小时． (2)小周开车的速度是多少？小胡比小周早出发多少小时？ (3)请你在图中画出修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象．（提醒：所画的图象中关键点的坐标必须标出） 10．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 甲的溶解度 (1)根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线； (2)当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________（精确到个位）乙从水中析出； (3)当温度为时，小云将甲加入到装有水的号杯中，将乙加入到装有水的号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向号杯中再加入水，向号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，的最小值为________（精确到个位）． 11．（25-26八年级下·北京平谷·期末）如图1，是外部的一定点，是线段上一动点，连接．    小明根据学习函数的经验，对线段，的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点D在上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 在，的长度这两个量中，确定________的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数； (2)在平面直角坐标系中，画出所确定的函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题：连接，当为等腰三角形时，的长度约为________．(精确到) 12．某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 (1)在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A．    B． C．    D． (3)①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． ◆题型4 动点问题的函数图象 题型模版 1.特征：动点在图形上运动，给出路程、线段长或面积等随时间变化的函数图象，要求判断图形或求参数。 2.方法：分段分析动点所在边或位置；用几何关系把目标量表示为自变量的函数；结合图象关键点（起点、拐点、最低点）建立方程；注意分类讨论。 13．一个寻宝游戏通道如图所示，通道在同一平面内由组成，定位仪器放置在的中点M处，设寻宝者行进时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，寻宝者匀速前进，y与x的函数关系图象如图所示，则寻宝者的行进路线可能是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为．图2是点运动时，关于的函数图象，当点从点移动到点时，的最小值为（     ）    A． B． C． D． 15．如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．的最大值为4 D．当时， 16．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图1，长方形中，，动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度．设运动时间为秒，的面积为，与的关系图象如图2所示． (1)_____，_____； (2)当时，求的值； (3)如图3，连接，当点在线段的垂直平分线上时，求的值． 17．（25-26七年级下·山东济南·期末）一游泳池长为90米，甲、乙二人分别在游泳池相对两边，同时朝另一边游泳，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒，图中的实线和虚线分别为甲、乙与游泳池一边距离随时间的变化而变化的图象，若不计转向时间，则从开始起到3分钟止，他们相遇的次数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（25-26八年级上·广东深圳·期中）周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从处骑行至处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发分钟．小李骑行分钟后，小张以原速的继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达地，小李一直保持原速前往地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程（单位：米）与小李骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为米/分钟；②小张出发分钟追上小李；③两地相距米；④小李比小张晚分钟到达地．其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 19．（25-26八年级下·福建福州·期末）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（  ） 现有以下个结论： 快递车到达乙地时两车相距； 甲、乙两地之间的距离为； 快递车从甲地到乙地的速度为； 图中点的坐标为． A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图1，点是线段上的定点，点，是线段上的动点．已知点，同时分别从点，出发相向匀速运动，当点到达点后，继续保持原速向点运动．而点到达点后立即掉头，并保持原速也向点运动，经过一段时间后，，两点同时到达点．设，两点的运动时间为，两点之间的距离为，与之间的关系如图2所示，有如下结论：①线段的长度为；②点的速度为．③运动时间时，，两点同时到达点；④在运动过程中，，两点相距时，运动时间为或或，以上结论正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 22．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，动点从点出发向点运动，连接，设，，如图2是关于的函数图象，点是函数图象上的最低点，观察图象，对于以下结论：①，；②；③当是直角三角形时，的值为7；④当时，是钝角三角形，其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 24．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）某周末，兄妹两人在图书馆买完书沿同一条路回家，哥哥慢跑回去，妹妹骑自行车带书，已知图书馆离家里的距离为．图中，分别表示兄妹两人离开图书馆的路程与时间的函数关系，根据图象得出的下列信息，其中错误的是（   ） A．妹妹的速度是哥哥的速度的倍 B．哥哥出发被妹妹追上 C．当为时，兄妹两人相距 D．哥哥到家时妹妹距图书馆 25．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图1，动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．15 B．16 C． D． 26．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，等边三角形的边长为，与交于点，，设为，为，则与的关系式为________________． 27．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）如图1，在矩形中，为对角线，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作，垂足为．设点的运动路程为，的值为，随变化的函数图象如图2所示，（1）的长为_________；（2）图2中点的坐标为，则的值为_________． 28．（25-26八年级下·江苏南京·期末）平均速度是指物体通过的路程与通过这段路程所用时间之比．配速是指运动时间与运动路程的比值，是长跑、骑行等耐力运动中常用的物理量，其单位通常为“”． (1)小亮用时跑完，则这次跑步的配速为 ． (2)小红在一次跑步中，前的配速为，后的配速为，则这次跑步的平均速度为 （用含的代数式表示）． (3)小华开展了两次跑步训练．每次训练中，设第时的配速为，与的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．比较这两次训练的平均速度，的大小，并说明理由． 29．综合应用 (1)近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． ①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ ②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． (2)现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． ①A、B两地之间的路程为 ； ②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ； ③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距． 30．（25-26九年级下·全国·开学考试）某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期日（可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第日每分钟正确默写的数字量为．根据测试经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23 时的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39 时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线．当时，曲线如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过20； (2)写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第______日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行______日的强化训练． 31．（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践：探秘万花筒 【实验原理】万花筒中有两面镜子与，形成固定夹角的镜子门．物体放置在镜子门中，在镜子的多重反射下形成丰富多彩的图案．如图1，把物体看成一个点，当，点在的角平分线上时，点在镜子与中形成像、．像经镜面继续反射形成像，同理，像经镜面继续反射形成像．由于像、像位于镜面与的背面，无法再通过反射形成新的像，所以点共有4个像． 【特例探究】数学实验小组发现：当可被整除，点在的角平分线上时，像的个数与之间存在关系． (1)如图2，若干条虚线交于点，相邻虚线的夹角是，镜子门与其中两条虚线重合．请你补充完成以下探究过程． ①当，请在图2中画出点的所有像并完善表格； 20 30 60 72 90 120 像的个数 17 11 5 4 3 ____ ②观察上述实验结果得出猜想：当可被整除时，角平分线上的点的像的个数与之间的关系式为______． 【拓展延伸】当不可被整除，点在的角平分线上时，像的个数与之间有何关联？小组展开了新的实验． (2)如图3，若干条虚线交于点，相邻虚线的夹角是，镜子门与其中两条虚线重合． ①当，请在图3中画出点的所有像； ②根据上述实验结果完善表格，当点在的角平分线上时，猜想与之间的关系，并用自己的语言进行描述． 13 25 50 70 80 100 110 130 （结果保留1位小数） 27．7 14．4 7．2 5．1 4．5 3．6 3．3 2．8 与相邻的整数 27，28 14，15 7，8 5，6 4，5 3，4 3，4 2，3 像的个数 28 14 8 6 ____ 4 4 2 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 函数的相关知识 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 变量间关系的表示 题型2 由函数图象获取信息 题型3 描点法画出函数图象 题型4 动点问题的函数图象 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型。解决函数问题，首先要明确自变量与因变量，弄清函数图象上点的横、纵坐标的实际意义；由图象获取信息时，要关注关键点（起点、终点、交点、转折点）的坐标以及线段的斜率（变化快慢）。用描点法画图时，先确定自变量取值范围，选取有代表性的点（尤其是端点、拐点），再连线。对于动点问题的函数图象，要分段分析动点位置，用几何关系表示线段长或面积，进而写出函数关系式；注意分类讨论和自变量取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 ◆题型1 变量间关系的表示 题型模版 1.特征：通过表格、解析式或图象表示两个变量之间的关系，并据此解决实际问题。 2.方法：识别自变量与因变量；根据题意建立关系式或读取表格数据；结合实际意义确定自变量取值范围。 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）小明从超市A出发，沿笔直道路以60米/分的速度匀速步行回家，妈妈同时骑自行车从家出发，沿相同路线匀速去超市A购物，购物结束后按原路原速返回家中，小明比妈妈到家早5分钟．在此过程中，设妈妈从家出发开始所用时间为（分钟），下图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的关系的图象．请根据以上所给信息解答下列问题： (1)求妈妈购物花了多少时间？ (2)求小明到家时，与妈妈的距离是多少米？ (3)求为何值时，妈妈和小明相距360米． 【答案】(1)分钟 (2)600米 (3)，，分钟 【分析】（1）由图象求出两人速度和为米/分，妈妈速度120米/分．再求出妈妈总用时和路上的时间，进而求出购物时间； （2）小明30分钟到家，妈妈15分钟到超市，购物5分钟，第20分钟开始返回．到第30分钟时，妈妈已返回10分钟，返回路程米，离家距离米，故两人相距600米． （3）分五个时间段讨论：①相遇前相向而行，距离得；②相遇后背向而行，距离得；③妈妈在超市购物，小明离开超市，不符合题意；④妈妈返回同向追及，距离得，超出范围；⑤小明已到家，妈妈继续返回，距离得． 【详解】（1）解：由图象可知，家与超市A的距离为1800米． 两人10分钟相遇， 速度和为：米/分， 小明速度为60米/分， 妈妈的速度为米/分， 妈妈从家到超市的单程时间分钟， 小明走完全程回家的总时间分钟， 小明比妈妈早到家5分钟， 妈妈全程总用时分钟， 妈妈购物时间为分钟． （2）解：由（1）得小明30分钟到家， 妈妈15分钟到达超市，购物5分钟，第20分钟开始返回； 到第30分钟时，妈妈已返回分钟， 返回的路程为米， 妈妈距离家的距离为米， 此时小明已到家，两人相距600米． （3）解：分阶段讨论： ①：两人相向而行，未相遇， 由题意得，，解得， ②：两人相遇后背向而行， 由题意得，，解得， ③：妈妈在超市购物， 两人距离为小明离开超市的距离，此时距离大于，不符合题意， ④：妈妈返回，同向追及小明， 当时，两人相距米， 由题意得，，解得，不符合题意． ⑤：小明已到家，妈妈继续返回， 此时，两人距离等于妈妈离家的距离， ，解得， 综上，当，，分钟时，妈妈和小明相距360米． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 【答案】5.2 【分析】根据“每分钟水位上升的高度相同”这一条件，判断出记录错误的数据，然后根据规律求出分钟时对应的水位即可． 【详解】解：当到时，水位上升高度为， 当到时，水位上升高度为， 当到时，水位上升高度为， ∵每分钟水位上升的高度相同，为， ∴时出现错误，应为， ∴时，可得， 答：时对应的水位为． 3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 【答案】(1)， (2)父亲能在第一次到达400米终点前追上儿子，理由如下： 因为父亲与儿子的速度之比为 所以父亲的速度为，则儿子的速度为， 设经过分钟后，父亲追上儿子， 由题意可得：， 解得， 因为父亲第一次到达终点的时间是，． 所以能在第一次到达400米终点前追上儿子． 【分析】（1）设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，根据题意得到，，然后根据“儿子跑5步的时间父亲能跑6步”列式求解即可； （2）首先得到父亲的速度为，则儿子的速度为，设经过分钟后，父亲追上儿子，根据题意列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米， 因为儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等． 所以， 所以． 因为儿子跑5步的时间父亲能跑6步， 所以， 所以父亲与儿子的速度之比为； （2）略 4．（25-26七年级下·广东清远·期末）为确保首届“某市环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，比赛分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始小时后发车，并以固定速度行驶，在比赛结束时行驶个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ； （2）某选手速度保持为时，收容车在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和） （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为多少时，选手刚好能和小时分的赛会纪录持平． 【答案】收容车调度模型：（1），；（2）； 精英组冲奖分析：（1）；（2）． 【分析】收容车调度模型： （1）由题中条件，结合路程、速度和时间关系列式计算，并确定关系式即可； （2）由追及问题中追上时两者所行路程相等列方程求解出时间，从而得到答案； 精英组冲奖分析： （1）分段计算时间后求和即可； （2）先求出最后所用时间，再由速度与路程和时间的关系计算即可． 【详解】解：收容车调度模型： （1）收容车以固定速度行驶，在比赛结束时行驶个小时，恰好抵达终点（赛程共）， 收容车行驶速度为； 则收容车行驶时间与行驶距离的关系式为； （2）设收容车行驶追上该选手， 则，解得， 收容车行驶的路程为， 即收容车在距起点处接走他； 精英组冲奖分析： （1）由图可知，骑行所需时间，分三段计算时间求和为：； （2）由图可知，前三个阶段用时为， 则由题目要求，用时与小时分的赛会纪录持平时，最后所用时间为， 最后保持匀速冲刺的速度为． ◆题型2 由函数图象获取信息 题型模版 1.特征：给定实际问题或几何背景的函数图象，要求读取关键信息并回答。 2.方法：明确横、纵轴含义；抓住起点、终点、交点、转折点；利用斜率判断速度、效率等变化快慢；分段列式求解。 5．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标； （3）分甲和乙相遇前两人相距和当甲和乙相遇后两人相距两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间， 则， ∵甲的速度小于乙的速度， ∴甲用了3小时走完了的全程， ∴， ∴； （2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是， ∴C点坐标是； （3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则， 解得； 当甲和乙相遇后两人相距时，则， 解得， 综上，甲乙两人相距时，的值为或． 6．如图，函数（为常数，自变量取全体实数）的图像交轴于点，交轴正半轴于点，且点在的左侧，以下结论正确的是（     ） A．点的坐标为 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点的坐标为可判断A选项；根据图像列不等式组可得或，然后利用点在的左侧得到，进而完成解答． 【详解】解：∵令，可得，即点的坐标为，故A选项错误； ∵交轴正半轴于点，且点在的左侧， ∴当时，，即， ∴或， ∴或， 当时，即，恒成立， ∴，解得：， ∴， ∵点B在的左侧， ∴，即． 综上，a的取值范围为． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评．一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶．两船之间的距离与时间的关系部分图象如图所示，当时，电动艇到达白泽台码头． (1)求电动艇的速度； (2)若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象； (3)若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶．在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少? 【答案】(1)电动艇的速度为 (2) 皮划艇在整个过程中共用了，补全图形如下： (3)或 【分析】（1）由图可知，至段，两船之间的距离增长较快，结合题意可知，这个时段为皮划艇休整的10分钟，根据速度、时间、路程之间关系即可求解； （2）由图可知，30分钟时电动艇到达码头，皮划艇行驶了20分钟，结合（1）中结论可得皮划艇的速度，进而即可求解； （3）先根据两船速度求出、和汇合时的时间，再分段讨论，根据两船行驶路程的倍数关系列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 即电动艇的速度为； （2）解：皮划艇的速度为：， ， 即皮划艇在整个过程中共用了， 补全图形略； （3）解：由题意知， ， 两船汇合时所用时间为：， 设时间为时，电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍， 分情况讨论： 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 综上可得，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间为或． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． ◆题型3 描点法画出函数图象 题型模版 1.特征：根据函数关系式或实验数据，用描点法画出函数图象。 2.方法：确定自变量取值范围；选取若干自变量的值计算对应函数值；列表、描点、连线；注意关键点（顶点、与坐标轴交点）的准确性。 9．（24-25八年级上·浙江·期末）今年国庆假期，小胡和小周去旅行，小胡骑自行车，小周开汽车，两人从甲地出发到乙地，如图表示两人离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系．小胡出发2小时后途经一集镇停下休息，然后以原速的前行后突然自行车发生故障，小胡立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇．小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等．到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车．之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟．    (1)小胡到集镇前的速度是_________；小胡休息了________小时；小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是_________，这段时间是_________小时． (2)小周开车的速度是多少？小胡比小周早出发多少小时？ (3)请你在图中画出修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象．（提醒：所画的图象中关键点的坐标必须标出） 【答案】(1)，，， (2)小周开车的速度是；小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 (3)如图所示，    【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用； （1）根据函数图象可得，小胡离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系是折线，进而根据函数图象分析即可求解； （2）先得出达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车即函数图象段，所用时间为小时，而，则，进而根据函数图象的段表示，小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等，得出所用时间，进而根据路程除以时间求得速度，再求得小周出发时的的值，即可求解； （3）根据题意设继续前行千米后到达乙地，列出一元一次方程，得出，进而求得各自所用时间，再补充函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得，小胡离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系是折线， 小胡到集镇前的速度是（线段段）， 小胡休息了小时（线段）； 然后以原速的前行后突然自行车发生故障（点）， 小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是，这段时间是小时（段） 故答案为：，，，． （2）解：小胡自行车发生故障，立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇， 从函数图象可得此时小胡离开甲地的时间为小时，即的横坐标为 到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车即函数图象段，，而，则 ∵小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等． ∴，即小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间都是 ∴小周开车的速度是 ∴小周从甲地出发到集镇用时为小时， 则小胡出发时， ∴小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 答：小周开车的速度是；小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 （3）解：∵修好自行车之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟， 设继续前行千米后到达乙地，则 解得：， 小胡则骑自行车需要的时间为小时，小周开车需要的时间为小时， 修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象，其中， 10．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 甲的溶解度 (1)根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线； (2)当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________（精确到个位）乙从水中析出； (3)当温度为时，小云将甲加入到装有水的号杯中，将乙加入到装有水的号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向号杯中再加入水，向号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，的最小值为________（精确到个位）． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)（答案不唯一）；（答案不唯一） (3)①（答案不唯一）；②（答案不唯一） 【分析】（1）根据表格信息描点连线即可； （2）根据（1）中函数图象判断即可； （3）①根据（1）中函数图象判断甲、乙溶解度达到的温度，取较大值即可； ②根据（1）中函数图象得到时甲、乙溶解度，进而求出溶解甲、乙需要的水的总质量，求出、的值，计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：由函数图象可知，当温度约为（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同； 此时溶解度， 降温到，乙溶解度约为， 因此析出乙的质量为； （3）①解：要让溶质完全溶解在水中，溶解度需要至少达到． 由图可知，对甲来说，溶解度达到的温度约为，对乙来说，溶解度达到的温度约为， 因此的最小值为； ②解：时甲溶解度约为，设溶解甲需要的水的总质量为， 由 解得：， 因此需要加水， 即； 时乙溶解度约为，同理得溶解乙需要的水的总质量为， 因此需要加水， 即； 最终． 11．（25-26八年级下·北京平谷·期末）如图1，是外部的一定点，是线段上一动点，连接．    小明根据学习函数的经验，对线段，的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点D在上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 在，的长度这两个量中，确定________的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数； (2)在平面直角坐标系中，画出所确定的函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题：连接，当为等腰三角形时，的长度约为________．(精确到) 【答案】(1)； (2) (3)，或 【分析】（1）根据函数的定义，确定自变量，函数即可． （2）利用描点法画出函数图象即可． （3）分三种情形：当时，见图中点，此时．当时，见图中点，此时．当时，． 【详解】（1）解：确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数； （2）略 （3）解：如图， 当时，见图中点，此时． 当时，见图中点，． 当时，见图中点，此时． 12．某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 (1)在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A．    B． C．    D． (3)①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 【答案】(1)作图见解析 (2)D (3)①Ｂ② 【分析】（1）根据题干中的数据，描点作图即可； （2）先根据数据求出相同温度的伸展长度差，再结合图象分析即可； （3）①在以上环境中，由，函数图象的变化趋势即可判断； ②在的温度区间，先求出不同温度的，再根据每内的变化始终不超过1.0微米，列不等式求解即可． 【详解】（1） 图象如下： （2）由题意，温度为（单位：）两种材料的伸展长度差为， 由表格中的数据， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 根据数据和图象可得，当时，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米． （3）①由函数图象可得，在以上环境中，材料的伸展长度随着温度升高的增加量比材料大，即材料的伸展性随着温度升高提升得更快， 所以应选择材料制作此精密部件． ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米， 从到， 即，解得， 从到，， 解得， 从到，， 即，解得， 从到， 即，解得， 综上，当最小为时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． ◆题型4 动点问题的函数图象 题型模版 1.特征：动点在图形上运动，给出路程、线段长或面积等随时间变化的函数图象，要求判断图形或求参数。 2.方法：分段分析动点所在边或位置；用几何关系把目标量表示为自变量的函数；结合图象关键点（起点、拐点、最低点）建立方程；注意分类讨论。 13．一个寻宝游戏通道如图所示，通道在同一平面内由组成，定位仪器放置在的中点M处，设寻宝者行进时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，寻宝者匀速前进，y与x的函数关系图象如图所示，则寻宝者的行进路线可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项中的运动顺序代入分析，即可得出寻宝者随时间的增长与定位仪器点M之间的距离变化规律，此题得解． 【详解】解：A、从A点到B点，y随x的增大而减小，从B点到O点，y随x的增大先减小后增大，故本选项不合题意； B、从A点到D点，y随x的增大先减小后增大，从D点到O点，y随x的增大而减小，故本选项不合题意； C、从A点到O点，y随x的增大而减小，从O点到D点，y随x的增大而增大，故本选项不合题意； D、从B点到O点，y随x的增大先减小后增大，从O点到C点，y随x的增大先减小后增大，故本选项符合题意. 14．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为．图2是点运动时，关于的函数图象，当点从点移动到点时，的最小值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图像与函数图像解题即可． 【详解】解：∵点沿方向从点移动到点， ∴点在上运动对应的值为， ， 当点从点移动到点时，值先减小，后增大， 在时取得最小值， 此时，且， ∴在中，， ∴当点从点移动到点时，的最小值为． 15．如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．的最大值为4 D．当时， 【答案】B 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 16．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图1，长方形中，，动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度．设运动时间为秒，的面积为，与的关系图象如图2所示． (1)_____，_____； (2)当时，求的值； (3)如图3，连接，当点在线段的垂直平分线上时，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，根据三角形的面积公式列方程求解即可； （3）连接，，利用垂直平分线的性质、勾股定理列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点在边上运动时， 面积为， 解得， 点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度． ； （2）当时，有两种情况： 当点在边上时，， 解得， 当点在边上时，， 解得， 综上可知，的值为或； （3）如图，连接，， 点在线段的垂直平分线上， ， 设，则， ， ， ， 解得， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 17．（25-26七年级下·山东济南·期末）一游泳池长为90米，甲、乙二人分别在游泳池相对两边，同时朝另一边游泳，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒，图中的实线和虚线分别为甲、乙与游泳池一边距离随时间的变化而变化的图象，若不计转向时间，则从开始起到3分钟止，他们相遇的次数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据图像分析得出甲、乙两人相遇即甲、乙图像有交点进而得出答案． 【详解】解：甲、乙两人相遇即甲、乙图像有交点，由图像可知， 前3分钟共有5个交点，即相遇5次． ∴从开始起到3分钟止，他们相遇的次数为5次． 18．（25-26八年级上·广东深圳·期中）周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从处骑行至处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发分钟．小李骑行分钟后，小张以原速的继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达地，小李一直保持原速前往地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程（单位：米）与小李骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为米/分钟；②小张出发分钟追上小李；③两地相距米；④小李比小张晚分钟到达地．其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的应用，一元一次方程的应用，根据函数图象可知小李分钟骑行了米，即可判断①；设小张一开始的速度为米/分钟，根据题意列出方程求出的值，进而可得提速后小张的速度，即可求出小张提速后追上小李的时间，得到小张出发追上小李的时间，即可判断②；根据函数图象求出小张从地到地共骑行的时间，可求出两地的距离，即可判断③；求出小张到达地时，小李距离的路程，即可判断④，综上即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：①由函数图象可知，小李分钟骑行了米， ∴小李的速度为米/分钟，故①正确； ②设小张一开始的速度为米/分钟， 则， 解得， 提速后小张的速度为米/分钟， 则小张提速后追上小李的时间为分钟， ∴小张出发分钟追上小李，故②错误； ③由函数图象可知，小张从地到地共骑行了分钟， ∴两地的距离为：米，故③错误； ④当小张到达地时，小李距离的路程为：， ∴小李比小张晚分钟到达地，故④正确； 综上，正确的结论为①④， 故选：． 19．（25-26八年级下·福建福州·期末）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（  ） 现有以下个结论： 快递车到达乙地时两车相距； 甲、乙两地之间的距离为； 快递车从甲地到乙地的速度为； 图中点的坐标为． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可得快递车到达乙地时两车相距，即可判断；根据甲、乙两地之间的距离为，即可判断；设快递车从甲地到乙地的速度为，则，求出，即可判断；由于快递车到达乙地后卸完物品后再另装货物用了分钟，即可判断． 【详解】解：根据图象可得快递车到达乙地时两车相距，故正确； 甲、乙两地之间的距离为，故正确； 设快递车从甲地到乙地的速度为， 则， 解得，故错误； 因为快递车到达乙地后卸完物品再另装货物用了， 所以图中点的横坐标为，纵坐标为，故正确， 综上可得：正确的结论为． 20．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图1，点是线段上的定点，点，是线段上的动点．已知点，同时分别从点，出发相向匀速运动，当点到达点后，继续保持原速向点运动．而点到达点后立即掉头，并保持原速也向点运动，经过一段时间后，，两点同时到达点．设，两点的运动时间为，两点之间的距离为，与之间的关系如图2所示，有如下结论：①线段的长度为；②点的速度为．③运动时间时，，两点同时到达点；④在运动过程中，，两点相距时，运动时间为或或，以上结论正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据当时，，可判断①正确；根据点5min到达地，可判断②正确；根据两点3min相遇，求出的速度为，根据，两点同时到达点得，求出，进而可判断③正确；分三种情况求解可判断④正确． 【详解】解：由图可知：当时，， ，故①正确； 点5min到达地， 的速度为，故②正确； ∵当时，， 两点3min相遇， ， 的速度为， 两点同时到达点， ，即， ， ∴总时间为，故③正确； 当相遇前，，解得； 当相遇后未到地，相距15cm时， 依题意得：，解得； 当到达地掉头后，相距15cm时， 依题意得：，解得． 综上所述，则出发2.5min或3.5min或12.5min后相距15cm，故④正确． 综上可知，结论正确的有①②③④，共4个． 21．已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象与坐标轴的交点位置，分别令和，结合图象特征判断和的符号，进而得出结论． 【详解】解：令，则， 图象与轴的交点在轴上方， ， 解得， 令，得， 解得， 图象与轴交点在轴左侧， ， 解得， ，， ，且无法确定的符号． 22．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 23．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，动点从点出发向点运动，连接，设，，如图2是关于的函数图象，点是函数图象上的最低点，观察图象，对于以下结论：①，；②；③当是直角三角形时，的值为7；④当时，是钝角三角形，其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】过点作于点，由垂线段最短可得，当点运动到点处时，最短，由图象可得，当点运动到点处时，此时，即，当点运动到点处时，此时，，即，，即可判断①正确；求出，取的中点，连接，则，证明为等边三角形，得出，即可判断故②错误；当是直角三角形时，且，此时点与点重合，即，，此时，当是直角三角形时，且，此时，求出，即，即可判断③错误；当时，点在上运动（不含点、），结合，即可判断④正确；从而即可得出结果． 【详解】解：如图：过点作于点， ， ∵动点从点开始出发向点运动， ∴由垂线段最短可得，当点运动到点处时，最短， 由图象可得，当点运动到点处时，此时，即，当点运动到点处时，此时，，即，，故①正确； ∴， 取的中点，连接，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②错误； 当是直角三角形时，且，此时点与点重合，即，，此时， 当是直角三角形时，且， ∵， ∴， ∴，即； 综上所述，当是直角三角形时，的值为7或，故③错误； 当时，点在上运动（不含点、）， ∵， ∴是钝角三角形，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故选：C． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）某周末，兄妹两人在图书馆买完书沿同一条路回家，哥哥慢跑回去，妹妹骑自行车带书，已知图书馆离家里的距离为．图中，分别表示兄妹两人离开图书馆的路程与时间的函数关系，根据图象得出的下列信息，其中错误的是（   ） A．妹妹的速度是哥哥的速度的倍 B．哥哥出发被妹妹追上 C．当为时，兄妹两人相距 D．哥哥到家时妹妹距图书馆 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据函数图象获取信息． 由点B的横坐标可得出妹妹比哥哥迟出发5分钟；根据速度路程时间，可求出哥哥慢跑的速度和妹妹骑车的速度，进而判断出各个选项． 【详解】解：妹妹比哥哥迟出发5分钟， 哥哥慢跑的速度为（）； 妹妹的速度为：（）； ， 即妹妹的速度是哥哥的速度的倍，故选项A说法正确； 设t分钟后哥哥被妹妹追上，根据题意得，解得， 即哥哥出发被妹妹追上，故选项B说法正确； （米）， 即当t为时，兄妹两人相距，故选项C说法正确； 图书馆离家3000米，所以哥哥到家时妹妹距图书馆不可能超过3000米，故选项D说法错误． 故选：D． 25．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图1，动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．15 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形三线合一，勾股定理． 作交于D，作交于E，根据函数图象得到，，，，，，根据等腰三角形三线合一得到，求出，即，根据求出，即，，进而得到，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，由函数图象可知动点匀速运动到达B， ∴，，， ∴， 如图，作交于D，作交于E， 由垂线段最短结合函数图象可知，当P到达D点时，对应， 即，， ∴，， 由函数图象可知，当时，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴的面积． 故选：C． 26．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，等边三角形的边长为，与交于点，，设为，为，则与的关系式为________________． 【答案】 【分析】通过证明，得到，从而得到． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即与的关系为． 27．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）如图1，在矩形中，为对角线，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作，垂足为．设点的运动路程为，的值为，随变化的函数图象如图2所示，（1）的长为_________；（2）图2中点的坐标为，则的值为_________． 【答案】 6 12 【分析】（1）根据函数图象和点的运动轨迹可知，当点与点重合时，可得出的长； （2）设当点运动到时，，此时，根据勾股定理求出，即可得到，的值，代入求解即可； 【详解】（1）由图象可知，当点与点重合时，，， ， ， ； （2）设当点运动到时，，此时， 根据函数图象可知，当运动到时，， ， 由（1）可知：， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， 由图可知，点对应点运动到点的位置， ， 当点与点重合，，此时点与点重合， ，， ， ． 28．（25-26八年级下·江苏南京·期末）平均速度是指物体通过的路程与通过这段路程所用时间之比．配速是指运动时间与运动路程的比值，是长跑、骑行等耐力运动中常用的物理量，其单位通常为“”． (1)小亮用时跑完，则这次跑步的配速为 ． (2)小红在一次跑步中，前的配速为，后的配速为，则这次跑步的平均速度为 （用含的代数式表示）． (3)小华开展了两次跑步训练．每次训练中，设第时的配速为，与的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．比较这两次训练的平均速度，的大小，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)．理由： 两次跑步总路程均为， 第一次总时间：， 第二次总时间：． ∴， 由图可知， ∴，即． ∵平均速度，总路程相同时，总时间越小，平均速度越大， ∴． 【分析】（1）根据配速的定义，配速为运动时间与运动路程的比值，所以直接用总时间除以总路程即可求解． （2）先根据配速的定义，分别计算前5km和后5km的运动时间，求和得到总时间，再根据平均速度的定义，用总路程除以总时间得到平均速度的表达式． （3）首先根据图象中配速p和路程s的分段关系，分别计算两次训练的总时间，再结合总路程相同，利用平均速度公式得到和的表达式，通过作差或作商的方法比较二者大小． 【详解】（1）解：根据题意，小亮的配速为：． （2）解：∵前的配速为， ∴时间为， ∵后的配速为， ∴时间为， ∴总时间 ． ∵ 总路程为， ∴平均速度为： ． （3）略． 29．综合应用 (1)近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． ①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ ②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． (2)现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． ①A、B两地之间的路程为 ； ②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ； ③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距． 【答案】(1)①一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； ②共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 (2)①240；②160；③或 【分析】（1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，由题意列出关于的一元一次不等式组并求解，结合，为整数即可确定建造方案，并分别计算各建造方案所需费用，比较即可获得答案； （3）①根据图象即可解答； ②根据“速度路程时间”，即可计算甲车和乙车的速度，结合相遇时两人路程和为列方程求解即可； ③设甲出发后甲、乙两人相距，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：①设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； ②设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 根据题意列一元一次不等式组得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为18，19，20， ∴共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 （2）解：①根据图象可知，甲从A到B总距离为， 因此A、B两地之间的路程为； ②甲速度：，乙速度：， 设t小时相遇，两人路程和为总路程：， 解得：， 相遇时甲走了，距B地距离为， 故经2小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为； ③设甲出发后甲、乙两人相距． 分三种情况： 相遇前，， 解得：； 相遇后且乙到达终点前，， 解得：，，不合题意，舍去； 乙到达终点后，， 解得：； 综上可知，甲出发或后甲、乙两人相距． 30．（25-26九年级下·全国·开学考试）某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期日（可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第日每分钟正确默写的数字量为．根据测试经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23 时的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39 时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线．当时，曲线如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过20； (2)写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第______日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行______日的强化训练． 【答案】(1)3 (2)；见解析 (3)①6；②1 【分析】（1）找图象上y的值首次超过20时的x值； （2）根据时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量逐渐减少或保持不变，列出不等式组，解不等式组即可；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日每分钟至少记忆30个数字的只有与，再分别求出和时，单日每分钟至少记忆30个数字需要的天数，然后比较即得小明最早在完成理论学习后的第6日可获得“记忆达人”证书； ②分强化训练日，日，日，求出对应的3日内的记忆数字总数，比较即得小雯应进行强化训练的天数． 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为3时，y的值首次超过20； （2）解：∵时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量逐渐减少或保持不变， ∴， 解得：； 画出时的曲线： （3）解：①单日每分钟至少记忆30个数字的只有与， ：日的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试，达30个数字， ∴； ：日的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试，达30个数字， ∴； ∵， ∴小明最早在完成理论学习后的第6日可获得“记忆达人”证书； ②当记忆强化训练日时， 3日内的测试时间日， 3日内记忆数字个数分别是6，7，9， ∴记忆数字共有； 当记忆强化训练日时， 3日内的测试时间日， 根据函数图象可得，2日内记忆数字个数分别约是，18， ∴记忆数字共有； 当记忆强化训练日时， 3日内的测试时间日， 1日内记忆数字个数是20， ∴记忆数字共有20； ∵， ∴先进行1日记忆强化训练，在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多， ∴根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行1日的强化训练． 31．（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践：探秘万花筒 【实验原理】万花筒中有两面镜子与，形成固定夹角的镜子门．物体放置在镜子门中，在镜子的多重反射下形成丰富多彩的图案．如图1，把物体看成一个点，当，点在的角平分线上时，点在镜子与中形成像、．像经镜面继续反射形成像，同理，像经镜面继续反射形成像．由于像、像位于镜面与的背面，无法再通过反射形成新的像，所以点共有4个像． 【特例探究】数学实验小组发现：当可被整除，点在的角平分线上时，像的个数与之间存在关系． (1)如图2，若干条虚线交于点，相邻虚线的夹角是，镜子门与其中两条虚线重合．请你补充完成以下探究过程． ①当，请在图2中画出点的所有像并完善表格； 20 30 60 72 90 120 像的个数 17 11 5 4 3 ____ ②观察上述实验结果得出猜想：当可被整除时，角平分线上的点的像的个数与之间的关系式为______． 【拓展延伸】当不可被整除，点在的角平分线上时，像的个数与之间有何关联？小组展开了新的实验． (2)如图3，若干条虚线交于点，相邻虚线的夹角是，镜子门与其中两条虚线重合． ①当，请在图3中画出点的所有像； ②根据上述实验结果完善表格，当点在的角平分线上时，猜想与之间的关系，并用自己的语言进行描述． 13 25 50 70 80 100 110 130 （结果保留1位小数） 27．7 14．4 7．2 5．1 4．5 3．6 3．3 2．8 与相邻的整数 27，28 14，15 7，8 5，6 4，5 3，4 3，4 2，3 像的个数 28 14 8 6 ____ 4 4 2 【答案】(1)解：①如图所示，像、即为所求， ； 2 ② (2)解：①如图所示，像、，，即为所求 ； ②4 当（其中k为正整数）时，n的值为k或，且要保证n为偶数． 【分析】（1）①仿照例题作图，并填写表格即可；②根据表格中的数据可得，据此可得答案； （2）①仿照例题作图即可；②观察可知，当（其中k为正整数）时，n的值为k或，且要保证n为偶数． 【详解】（1）①略； 解：②，，，……， 以此类推，可知， ∴； （2）①略 ②解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，当（其中k为正整数）时，n的值为k或，且要保证n为偶数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $