专题02 线段计算的常用思想方法8类热考题型 （压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以四大数学思想（方程、整体、分类讨论、数形结合）为核心，构建线段计算方法体系，通过8类热考题型实现从基础到压轴的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心总结|设元列方程、分类防遗漏两原则|从思想本质到解题底线，构建思维框架| |题型精讲|8类题型（每类1典例+3变式）|方程思想（关键线段/比例份数）、整体思想（线段组打包）、分类讨论（位置差异）、数形结合（数轴应用）|从单一思想到综合应用，覆盖线段计算全场景| |压轴挑战|15道综合题|多结论验证、动态问题分析|结合抽象能力与推理意识，突破思维上限|

专题02 线段计算的常用思想方法8类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、方程思想之设关键线段 1 类型二、方程思想之设比例份数 2 类型三、整体思想 9 类型四、分类讨论思想之分点位置的差异 13 类型五、分类讨论思想之点在直线上和线段上的差异 17 类型六、数形结合思想 21 类型七、线段的和差计算与多结论问题 28 类型八、线段的和差计算求线段比值 33 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 线段计算的常用思想方法是初中几何计算的核心方法专题，所有题型均围绕方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是 "设元列方程"—— 涉及未知线段或比例关系时，优先设关键线段（或按比例设份数）为未知数，用 "整体 = 部分之和" 及中点、等分点关系列方程求解；二是 "分类防遗漏"—— 题目未明确分点位置、未说明点在直线上还是线段上时，必须先分类讨论各种位置情形再求解，防止漏解。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、方程思想之设关键线段 典例精讲1（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，点B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，根据线段的和差关系分别表示出、、，进而求解． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：线段关系较复杂，直接推算困难，需设未知线段列方程求解。 2.方法：找出起关键作用的线段设为 x→用含 x 的式子表示其它线段→由 "整体 = 部分之和" 或已知等量关系列方程→解方程求各线段长。 3.易错提醒：设元要选 "牵一发而动全身" 的关键线段；方程中等量关系须来源于图形本身，勿凭空构造。 变式训练1（25-26七年级上·重庆巴南·期末）如图，直线上有A，B，C，D四点，点是线段上一点，且．若，点是线段的中点，则线段的长度为_______；若是线段上一点，且，则的值为________． 【答案】 16 【分析】本题考查线段和差运算、整式加减的应用．第一空，根据中点的意义求得，，据此计算即可求解；第二空，设，，利用，求得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16；． 变式训练2（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与，重合），使得且，则的值为___________．    【答案】2 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用． 设，则，，根据线段中点的定义得到，则，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：∵ ∴ 设，则， ∴ ∴点为线段的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：2． 变式训练3（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 类型二、方程思想之设比例份数 典例精讲2（25-26七年级上·河北保定·期末）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为、，如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意得，设，则，然后通过重叠后的总长度为，得出一元一次方程，最后解方程即可． 【详解】解：∵甲纸条的与乙纸条的叠合在一起， ∴， 设，则， ∴重叠后的总长度为：， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知线段（或线段比）成比例，求各线段长度。 2.方法：按比例设份数（如 AB:BC=2:3，设 AB=2x，BC=3x）→用份数表示相关线段→由已知总长或关系列方程求 x→回代求各线段。 3.易错提醒：比例对应关系须与题意一致，勿颠倒；求出 x 后须回代检验各段是否为正且符合图形位置。 变式训练1（25-26七年级上·安徽淮北·期末）如图，已知线段上有C，D两点，且，E，F分别为，的中点． （1）若，则______； （2）若，则______． 【答案】 12 3.6 【分析】此题主要考查线段的中点的特征和应用、线段的和与差． （1）根据所给线段比例得到，，再根据线段中点的定义得到，，进而可求解； （2）设，则线段，，然后根据E、F分别是线段、的中点，分别用x表示出、，根据，求出x的值，即可求出线段的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 故答案为：12； （2）设，则线段，， ∵E、F分别是线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练2（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，点是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点是线段的中点，求出，根据点是线段的中点，求出，根据，即可； （2）根据题意，设，则，推出，根据，解出未知数，求出，则，即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：由于，设，则， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， ∴， ∴． 变式训练3（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，点为线段上一点，在线段上，，点为的中点，设． (1)若． ①请直接用的式子表示长为 （注意化简）； ②若时，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①；②的值为 (2)的值为1 【分析】本题考查线段的和与差，线段中点的有关计算； （1）①根据，由点为的中点，得出，即可求解； ②根据，建立方程，解方程，即可求解； （2）根据得出，则，进而根据点为的中点，得出，即可得出的值． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ 故答案为：． ②∵， ∴， ∴，    ∵， ∴，     ∵， ∴， 解得，　 故的值为 （2）， ， ， 点为的中点， ， ， ， ． 故的值为１ 类型三、整体思想 典例精讲3（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． 根据，M为线段的中点，找准线段之间的数量关系，化简即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：2． 题型归纳 1.特征：不求每个中间量，而是把若干线段 "打包" 成整体，由整体关系直接求目标线段。 2.方法：识别可作为整体的线段组（如 "两中点间的距离" 与 "两端点间距离"）→建立整体间的关系式（如 AD=2MN−BC）→代入已知整体值直接求解。 3.易错提醒：整体关系的推导要正确（如两中点连线段 = 对应端点距离的一半）；勿在整体问题中强行拆开求每一段，增加计算错误。 变式训练1（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为___________ 【答案】/ 【分析】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差运算是解决问题的关键； 设，根据线段中点的定义得，求得的长度，再根据，然后根据即可得出的值； 【详解】解：设，， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ， 整理得：， ， ， 解得：； 故答案为： 变式训练2（25-26七年级上·四川广安·期末）已知题目：“如图，线段上依次有M，C，D，N四点，其中M是线段的中点，N是线段的中点，，，求的长．”嘉淇说：“题目缺少条件，若给出，就能求出的长．”老师说：“题目不缺少条件，可以把看作一个整体解题．” (1)按照嘉淇的思路，求的长； (2)按照老师的思路，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段的和差关系和线段中点的相关计算，弄清线段之间的关系是解题的关键． （1）根据中点定义和线段之间的和差关系得到，利用即可得到答案； （2）根据题意得到，点是线段的中点，点是线段的中点，则，，即可得到，利用即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， ∴． 变式训练3（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）如图，A，B，C，D是直线上的四个点，M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，请直接写出的长（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． （）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型四、分类讨论思想之分点位置的差异 典例精讲4（25-26七年级上·全国·单元复习）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为______； (2)若点是线段的中点，则的长为______； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为_____． 【答案】(1)7 (2)4.5 (3)3或6 【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据线段的和差计算即可； （2）根据线段中点的特点计算即可； （3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：点是线段的中点， ； 故答案为：4.5． （3）解：点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为3或6． 故答案为：3或6． 题型归纳 1.特征：分点（中点、等分点）位置未唯一确定（可能在线段内不同位置），求线段长需分类。 2.方法：画出所有可能的位置情形（分点在左、在右等）→每种情形分别用线段关系列式求解→逐一检验结果的合理性。 3.易错提醒：分点位置不同会导致和差关系不同，须逐类讨论；求出结果后要检验是否满足该情形下的位置条件。 变式训练1（25-26七年级上·河南安阳·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N可抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差以及线段中点的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据线段中点的性质求出线段的长度，然后分两种情况进行讨论，利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴， 根据题意得，分两种情况进行讨论： ①如图所示，当A，C或B，D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 此时，； ②如图所示，当B，C或A，D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 此时，； 故选：D． 变式训练2（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算以及线段中点的意义，理解题意，分类讨论，作出相应图形是解题关键． 根据题意，分两种情况讨论：当A，或B，重合，且剩余两端点在重合点同侧时；当B，或A，重合，且剩余两端点在重合点两侧时；作出相应图形，结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当A，或B，重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； 当B，或A，重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； 两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 变式训练3（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】本题主要考查了线段的中点、三等分点的定义及线段的和差计算，熟练掌握线段的延长线分类讨论，结合线段间的数量关系分析计算是解题的关键． （1）先根据中点和三等分点的定义，分别求出、的长度，再用减去得到的长． （2）先根据判断在延长线上，分在左侧、在右侧两种情况，结合的长度，利用线段和差计算的长． 【详解】（1）解：∵是的中点，， ∴． ∵是的三等分点且在左侧， ∴． ∴． （2）解：∵，若在上，则，而， ∴在线段的延长线上或在线段的延长线上． 情况：在的右侧时， ∵是的三等分点， ∴． 设，则， ∴， 解得，即． ∴． ∴． 情况：在的左侧 设，则， ∴， 解得，即． ∴． 综上，或． 类型五、分类讨论思想之点在直线上和线段上的差异 典例精讲5（25-26七年级上·四川巴中·期末）两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为________． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，线段中点的定义． 设，，点是的中点，点是的中点，根据线段中点的定义分情况作答即可． 【详解】解：设，，点是的中点，点是的中点， ①如图1， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴； ②如图2， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴； 综上所述，两根木条的中点之间的距离为或． 故答案为：1或7． 题型归纳 1.特征：题目只说点在 "直线上"，未说明在线段上还是延长线上，需分类讨论。 2.方法：分 "点在线段上"" 点在延长线上 " 两类→分别画出图形并列出线段关系→各类分别求解。 3.易错提醒："在直线上" 包含线段上和延长线两种情形，不可默认在线段上；延长线上的结果须为正且符合位置。 变式训练1（25-26七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在C，D上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况：及，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 变式训练2（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．则的长为_______（用含a的式子表示）；若P为直线上一点，且，则的值为______________ 【答案】 或 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段中点的有关计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 根据点C为线段的中点，D为线段上一点，且，得到，，即可求出的长；分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：∵点C为线段的中点，D为线段上一点，且， ∴，， ∴， ∵， ∴点P在线段的延长线上或点P在线段的延长线上， 如图：当点P在线段的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图：当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：，或． 变式训练3（24-25六年级下·山东威海·期末）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为________． 【答案】6或4 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是数形结合，分两种情况：及，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：6或4． 类型六、数形结合思想 典例精讲6（23-24七年级上·湖南娄底·期末）某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，比较线段的长短，整式的运算，正确求出停靠点分别在A、B、C各点和A区、B区之间时，在B区、C区之间时，员工步行的路程和是解题的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用． 【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 因为，即在A区时，路程之和最小，为4500米， 设在A区、B区之间时，设距离A区x米， 则所有员工步行路程之和 ， ∴当时，即在A区时，路程之和最小，为4500米， 设在B区、C区之间时，设距离B区x米， 则所有员工步行路程之和， ， ∴当时，即在B区时，路程之和最小，为5000米， 综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小， 所以停靠点的位置应在A区． 故选：A． 题型归纳 1.特征：线段计算与数轴（点的坐标、距离）结合，或借助图形直观分析数量关系。 2.方法：在数轴上标出各点位置→用坐标差表示线段长度→结合中点、等分关系列式→求解并注意坐标的符号。 3.易错提醒：数轴上距离 = 坐标差（取绝对值）；动点在数轴上运动时注意方向与位置变化。 变式训练1（22-23七年级下·重庆九龙坡·开学考试）数轴是中学数学教材中数形结合的第一个实例，它使点与实数之间建立起一一对应的关系，揭示了“数”和“形”之间的内在联系．小华在一张长方形纸条上画了一条数轴，进行如下操作：如图①，在数轴上剪下12个单位长度（从到9）后得到的一条线段，过线段上某点将纸条向左折叠；如图②，然后在重叠部分的某处剪一刀，展开后得到三条线段，发现有折痕的线段长度为6，另外两条没有折痕的线段长度之比为，则折痕处对应的点表示的数为______． 【答案】或2/2或4 【分析】先求出另外两条线段的长度分别为：，，然后分两种情况求出折痕处对应的点表示的数即可． 【详解】解：∵展开后得到三条线段，发现有折痕的线段长度为6，另外两条没有折痕的线段长度之比为， ∴另外两条线段的长度分别为： ，， 当较长的一段含有的数有，较短的一段含有的数有9时， 则有折痕的一段中最小的数为：，最大的数为， ∴此时折痕处对应的点表示的数为； 当较长的一段含有的数有9，较短的一段含有的数有时， 则有折痕的一段中最小的数为：，最大的数为：， ∴此时折痕处对应的点表示的数为； 综上分析可知，折痕处对应的点表示的数为或2． 故答案为：或2． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上的中点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点，注意分类讨论． 变式训练2（23-24七年级上·湖北荆州·期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。” (1)【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价．聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．由此可以得到有________种不同的票价． (2)【迁移应用】六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出五支队已经分别比赛了场球，则队比赛了________场． (3)【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求两市相距多少千米？ 【答案】(1)6 (2)3 (3)，两市相距600千米． 【分析】本题考查了线段及一元一次方程的应用，运用数学知识解决生活中的问题． （1）解题的关键是需要掌握正确数线段的方法．先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数； （2）由已知，通过五支队已经分别比赛了场球，进行推理可得答案． （3）可以设，两市相距千米，根据题目的叙述用表示出的长，即可求得． 【详解】（1）解：如图： 从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有种不同的票价，需准备种车票． 故答案为：6； （2）比了5场， 所以与比过， 比了4场， 所以与比过， 比了3场， 所以与比过， 比了3场， 所以与比过， 只比了1场， 所以与比过， 所以与比过． 所以队比赛了3场． 故答案为：3； （3）如图： 设，两市相距千米， ，， ，， 列以下方程：， 解得． 答：，两市相距600千米． 变式训练3（21-22七年级上·浙江温州·期末）小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【答案】(1)总长的长度为 (2)缩进部分的长为，的长为 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）分别求出，的长，根据即可解答； （2）先求出的长，再根据线段中点的定义求出，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴， 答：无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 答：缩进部分的长为，的长为． 变式训练4（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，一根竹竿插入一水池底部的淤泥中，竹竿的入泥部分的长度占全长的，露出水面的部分的长度为． (1)若淤泥以上的入水部分的长度比入泥部分的长度短，求竹竿的长． (2)若将此竹竿向上拔高，则淤泥以上的入水部分的长度比入泥部分的长度长，求竹竿的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用． （1）由题意可得：，，，再利用线段的和差建立方程求解即可． （2）由题意可得：，，，再利用线段的和差建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵淤泥以上的入水部分的长度比入泥部分的长度短， ∴， ∴， 解得：． （2）解：由题意可得：，，， ∴， ∴， 解得：． 变式训练5（25-26七年级上·河北衡水·期末）综合与实践 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段、线段和线段），长分别为，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题探究：如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，． （1）自拍杆延伸至最长状态时，__________．（填“”“”或“”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（的长）． 问题拓展： （3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55，此时点恰好为中点，求的长． 【答案】（1）；（2）66；（3）5 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 对于（1），根据，可得，即可得出答案； 对于（2），先求出，同理可得，然后根据得出答案； 对于（3），先根据中点的定义得，再求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：（1）． 因为， 所以， 即． 故答案为：； （2）因为， 所以， 同理可得， 所以． （3）因为为中点， 所以， 所以， 所以， 所以． 类型七、线段的和差计算与多结论问题 典例精讲7（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，是的中点，是的中点，是的中点，则下列等式中：①；②；③；④，正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，线段中点的计算，熟练掌握线段间的数量关系，是解题的关键．根据线段中点定义得出，，，根据线段间的数量关系，即可判断①②；设，则，，求出，然后再判断③④即可． 【详解】解：∵是的中点，是的中点，是的中点， ∴，，， 根据图形可知：，故①错误； ∵， ∴，故②正确； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的有②④． 故选：C． 题型归纳 1.特征：图形较复杂，同时含多个线段关系，判断多个结论的正误或求相关量。 2.方法：逐一用字母表示关键线段→依次验证每个结论（用代数式代入化简判断）→确定正确结论并求解。 3.易错提醒：多结论题须逐个独立判断，勿受其它结论干扰；判断结论正误时用一般性推导，不能只代特殊值。 变式训练1（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 变式训练2（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查线段的和差倍分关系，线段中点的性质，解题的关键是熟知中点的性质． 首先求出，，然后由中点性质得到，然后根据线段的和差分两情况讨论求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵M为线段的中点 ∴ ∴，故②正确； ∵点P在线段上，且到M点的距离为 ∴如图所示，当点P在点M右边时， ∴ ∴ ∴，故④错误； ∴P为线段中点； ∴ ∴，即P为线段的四等分点； 如图所示，当点P在点M左边时， ∴ ∴，故③正确； ∴P为线段中点，故①正确； ∴，即P为线段的四等分点，故⑤正确． 综上所述，正确判断的个数是4． 故选：B． 变式训练3（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 类型八、线段的和差计算求线段比值 典例精讲8（25-26七年级上·重庆·期末）如图，点为线段的中点，点D，E分别为线段上的两点，且，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差． 根据线段中点的定义得到，根据得到，根据得到，，即，，即可求出的值． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：求两条线段的比值，或由比值关系求线段长度。 2.方法：设公共份数表示各线段→化简得所求比值；或由已知比值设份数→结合其它条件列方程求长度。 3.易错提醒：求比值时两线段单位须一致；比值结果要化为最简比，注意分子分母对应关系。 变式训练1（25-26七年级上·重庆·期中）如图，直线l上有A、B两点，点O是线段上的一点，．若，则_____________；Q为线段上一点，且满足，则的值是_____________． 【答案】 【分析】本题考查线段和差运算、一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据题意可知，，求出、的长度，设，点在上，、，根据列出方程，求出的长度，据此计算求解即可． 【详解】解：由、得， ； 设，， 当点在上时，、 则， 即 解得； 则，， 故答案为：，． 变式训练2（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知线段，点为的中点，点在线段上（与端点，不重合），且． （1）用含的代数式表示为___________； （2）若点在线段上，且，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差，找准线段之间的和差关系是解题的关键： （1）根据线段的中点的定义，得到，根据线段的数量关系与和差关系，得到即可； （2）先判断出点在点的右侧，根据线段的数量关系与和差关系，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵线段，点为的中点， ∴， ∵点在线段上（与端点，不重合），且， ∴； 故答案为：； （2）∵点在线段上，且，， ∴点在点的右侧， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式训练3（24-25七年级上·重庆·期末）已知线段，延长至点，使得，点是线段上一点，且，则的值为______． 【答案】6或2 【分析】本题考查线段的和差关系；根据延长至，使，求出与的关系，再根据点在或上，分别求出与的关系，再求两线段的比． 【详解】解：线段，延长至，使， ， 是线段上一点，且， 当点在上，， ∴， 当点在上， ， ． 故答案为：6或2． 变式训练4（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点相关计算； （1）设，，由线段的和差得，，即可求解； （2）分类讨论：当在线段的延长线上时，由线段和差得，可得 ，即可求解；当在线段上时，同理可求； （3）分类讨论：当、在在左侧时，由线段中点的定义得，，由线段的和差得，求出，，即可求解； 当、在在两侧时，同理可求；当、在在右侧时，同理可求； 能熟练利用线段的和差表示出所求线段，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，A，B，C，D四点在一直线上，，，，F为线段上的动点，点F到A，B，C，D距离的和的最小值为m，最大值为n，则的值为（   ） A．14 B．20 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段的和与差求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：由题意，， 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为，此时点F到A，B，C，D距离的和最小，故最小值； 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为 故当点F在点A处时，点F到A，B，C，D距离的和最大，最大值为15； 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为 故当点F在点D处时，点F到A，B，C，D距离的和最大，最大值为13； ∵， ∴点F到A，B，C，D距离的和最大值, ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、、在同一射线上，，线段(点在点的左边)长度为5，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（   ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，为定值 A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】对于①，需分点在线段上和延长线上两种情况，用线段和差表示并列方程，根据解的个数判断正误；对于②，先根据、均在线段上确定的取值范围，再用表示和的长度，结合比例关系列方程求解并验证解是否符合范围；对于③，利用线段中点的性质分别表示出和的长度，由得到绝对值方程，求解方程即可得到的值；对于④，先根据点在延长线上确定的取值范围，再依次利用中点性质表示出、、、的长度，最后通过线段和差计算的长度，判断其是否为定值． 【详解】解：对于①，分两种情况： 当点在线段上时，，解得； 当点在延长线上时，，解得； 故①中有两个解，①错误； 对于②，点、均在线段上， ，即，解得， 此时，， 由得， 解得，符合，故②正确； 对于③，，是中点， ， ，， ， 是中点， ∴， ， 由得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 故或，③正确； 对于④，点在延长线上， ，即， ∵是中点， ， ∵，， ∴． ∵是中点， ， ∴， ，是定值，故④正确； 综上，②③④正确，故选：D． 4．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若，则这条绳子的原长为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，分当的倍最长时，即以对折点为，当的倍最长时，即以对折点为，两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当的倍最长时，即以对折点为，得， ∴， ∴， ∴， ∴这条绳子的原长为； 如图，当的倍最长时，即以对折点为，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这条绳子的原长为， 综上，这条绳子的原长为或， 故选：． 5．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键，中点得到，进而得到，根据，得到，推出，进而得到，得到即可． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段的中点性质．根据已知得出，，结合图形得出，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 7．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，点在线段上，图中共有3条线段，分别为和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点为线段的“二倍点”．若线段，点是线段的“二倍点”，则线段的长为（   ） A．4或6 B．4或8 C．6或8 D．4或6或8 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算及新定义“二倍点”的应用，关键是根据“二倍点”的定义分三种情况讨论：①；②；③，分别计算的长度． 【详解】解：已知，点是线段的“二倍点”，分三种情况分析： 当时， ， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ，此时，满足，符合“二倍点”的定义； 综上，线段的长为4或6或8， 故选：D． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段上，点是线段的中点，点是线段的中点，的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差，关键是线段之间的等量关系；设，利用列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即：， 故选：B ． 9．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 【答案】/ 【分析】设厘米，得到厘米，厘米，厘米，，进而推导出（厘米），，得到，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设厘米，则厘米，厘米， ∴厘米，， ∵点M为的中点，厘米， ∴（厘米），， ∴， 解得， ∴厘米． 10．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点为线段上一点，，点为线段的中点．若点为直线上一点，且，则的长为___________． 【答案】或 【分析】首先计算，再根据点为线段的中点，得，分点M在上和其延长线上，两种情况求解即可． 【详解】解：点为线段上一点，， ， ， 由点为线段的中点， ， 当点M在上时，如图， ， ； 当点M在的延长线上时，如图， ， ； 11．（25-26七年级上·山东德州·期末）点C在线段上，若三条线段，，中，有其中1条线段是另外1条线段的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若，点C是线段的巧点，则的长是________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键；根据“巧点”的定义，点C在线段上，三条线段，，中有一条是另一条的2倍，分类讨论三种情况：、、（或），分别计算的长． 【详解】解：当点C是线段“巧点”时，可能有、、（或）三种情况： ①时，； ②时，； ③（或）时，； 综上分析可知：的长是4或6或8； 故答案为：4或6或8． 12．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴上点，表示的数分别为和16，线段在数轴上的，两点之间运动．点是的中点，当线段的端点与点重合时，端点在数轴上对应的数是2，若，则点在数轴上对应的数是_____． 【答案】8或4 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．先求出线段的长，再根据点E在点C左边和右边的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵点A表示的数为，当线段的端点C与点A重合时，端点D在数轴上对应的数是2， ∴， 又∵， ∴分以下两种情况讨论： 当点E在点C左侧时，如图所示， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点A表示的数为， 则， ∴点D在数轴上对应的数为8； 当点E在点C右侧时，如图所示， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点A表示的数为， 则， ∴点D在数轴上对应的数为4， 综上所述，点D在数轴上对应的数为8或4． 故答案为：8或4． 13．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知线段长度为12，线段长度为4，线段在线段上自由运动（点与点不重合，与点不重合），若点为的中点．则的值为___________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段中点的性质． 取线段的中点，根据线段中点的性质得出线段之间的数量关系，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，取线段的中点， 则， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵线段长度为12，线段长度为4， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为16， 故答案为：16． 14．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 【答案】(1)，； (2)存在，； (3)或 【分析】（1）利用路程速度时间，求出，，即可得解； （2）设运动时间为，则，，进而表示出，，列方程求解即可； （3）设运动时间为，则，，结合，求出，，再判断出点在点的右侧，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在的延长线上时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，， ，， ， ； （2）解：存在， 设运动时间为，则，， ，， ，， ， ， 解得：， 即点C、D运动时存在，运动时间为； （3）解：设运动时间为，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， 点在点的右侧， 分两种情况讨论： ①当点在上时，，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ； 综上可知，或． 15．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 线段计算的常用思想方法8类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、方程思想之设关键线段 1 类型二、方程思想之设比例份数 2 类型三、整体思想 3 类型四、分类讨论思想之分点位置的差异 4 类型五、分类讨论思想之点在直线上和线段上的差异 5 类型六、数形结合思想 6 类型七、线段的和差计算与多结论问题 8 类型八、线段的和差计算求线段比值 9 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 线段计算的常用思想方法是初中几何计算的核心方法专题，所有题型均围绕方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是 "设元列方程"—— 涉及未知线段或比例关系时，优先设关键线段（或按比例设份数）为未知数，用 "整体 = 部分之和" 及中点、等分点关系列方程求解；二是 "分类防遗漏"—— 题目未明确分点位置、未说明点在直线上还是线段上时，必须先分类讨论各种位置情形再求解，防止漏解。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、方程思想之设关键线段 典例精讲1（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，点B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，，则________． 题型归纳 1.特征：线段关系较复杂，直接推算困难，需设未知线段列方程求解。 2.方法：找出起关键作用的线段设为 x→用含 x 的式子表示其它线段→由 "整体 = 部分之和" 或已知等量关系列方程→解方程求各线段长。 3.易错提醒：设元要选 "牵一发而动全身" 的关键线段；方程中等量关系须来源于图形本身，勿凭空构造。 变式训练1（25-26七年级上·重庆巴南·期末）如图，直线上有A，B，C，D四点，点是线段上一点，且．若，点是线段的中点，则线段的长度为_______；若是线段上一点，且，则的值为________． 变式训练2（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与，重合），使得且，则的值为___________．    变式训练3（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 类型二、方程思想之设比例份数 典例精讲2（25-26七年级上·河北保定·期末）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为、，如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则______． 题型归纳 1.特征：已知线段（或线段比）成比例，求各线段长度。 2.方法：按比例设份数（如 AB:BC=2:3，设 AB=2x，BC=3x）→用份数表示相关线段→由已知总长或关系列方程求 x→回代求各线段。 3.易错提醒：比例对应关系须与题意一致，勿颠倒；求出 x 后须回代检验各段是否为正且符合图形位置。 变式训练1（25-26七年级上·安徽淮北·期末）如图，已知线段上有C，D两点，且，E，F分别为，的中点． （1）若，则______； （2）若，则______． 变式训练2（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，点是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 变式训练3（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，点为线段上一点，在线段上，，点为的中点，设． (1)若． ①请直接用的式子表示长为 （注意化简）； ②若时，求的值． (2)若，求的值． 类型三、整体思想 典例精讲3（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为___． 题型归纳 1.特征：不求每个中间量，而是把若干线段 "打包" 成整体，由整体关系直接求目标线段。 2.方法：识别可作为整体的线段组（如 "两中点间的距离" 与 "两端点间距离"）→建立整体间的关系式（如 AD=2MN−BC）→代入已知整体值直接求解。 3.易错提醒：整体关系的推导要正确（如两中点连线段 = 对应端点距离的一半）；勿在整体问题中强行拆开求每一段，增加计算错误。 变式训练1（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为___________ 变式训练2（25-26七年级上·四川广安·期末）已知题目：“如图，线段上依次有M，C，D，N四点，其中M是线段的中点，N是线段的中点，，，求的长．”嘉淇说：“题目缺少条件，若给出，就能求出的长．”老师说：“题目不缺少条件，可以把看作一个整体解题．” (1)按照嘉淇的思路，求的长； (2)按照老师的思路，求 的长． 变式训练3（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）如图，A，B，C，D是直线上的四个点，M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，请直接写出的长（用含a，b的式子表示）． 类型四、分类讨论思想之分点位置的差异 典例精讲4（25-26七年级上·全国·单元复习）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为______； (2)若点是线段的中点，则的长为______； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为_____． 题型归纳 1.特征：分点（中点、等分点）位置未唯一确定（可能在线段内不同位置），求线段长需分类。 2.方法：画出所有可能的位置情形（分点在左、在右等）→每种情形分别用线段关系列式求解→逐一检验结果的合理性。 3.易错提醒：分点位置不同会导致和差关系不同，须逐类讨论；求出结果后要检验是否满足该情形下的位置条件。 变式训练1（25-26七年级上·河南安阳·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N可抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 变式训练2（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 变式训练3（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 类型五、分类讨论思想之点在直线上和线段上的差异 典例精讲5（25-26七年级上·四川巴中·期末）两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为________． 题型归纳 1.特征：题目只说点在 "直线上"，未说明在线段上还是延长线上，需分类讨论。 2.方法：分 "点在线段上"" 点在延长线上 " 两类→分别画出图形并列出线段关系→各类分别求解。 3.易错提醒："在直线上" 包含线段上和延长线两种情形，不可默认在线段上；延长线上的结果须为正且符合位置。 变式训练1（25-26七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在C，D上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为_______． 变式训练2（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．则的长为_______（用含a的式子表示）；若P为直线上一点，且，则的值为______________ 变式训练3（24-25六年级下·山东威海·期末）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为________． 类型六、数形结合思想 典例精讲6（23-24七年级上·湖南娄底·期末）某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．不确定 题型归纳 1.特征：线段计算与数轴（点的坐标、距离）结合，或借助图形直观分析数量关系。 2.方法：在数轴上标出各点位置→用坐标差表示线段长度→结合中点、等分关系列式→求解并注意坐标的符号。 3.易错提醒：数轴上距离 = 坐标差（取绝对值）；动点在数轴上运动时注意方向与位置变化。 变式训练1（22-23七年级下·重庆九龙坡·开学考试）数轴是中学数学教材中数形结合的第一个实例，它使点与实数之间建立起一一对应的关系，揭示了“数”和“形”之间的内在联系．小华在一张长方形纸条上画了一条数轴，进行如下操作：如图①，在数轴上剪下12个单位长度（从到9）后得到的一条线段，过线段上某点将纸条向左折叠；如图②，然后在重叠部分的某处剪一刀，展开后得到三条线段，发现有折痕的线段长度为6，另外两条没有折痕的线段长度之比为，则折痕处对应的点表示的数为______． 变式训练2（23-24七年级上·湖北荆州·期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。” (1)【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价．聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．由此可以得到有________种不同的票价． (2)【迁移应用】六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出五支队已经分别比赛了场球，则队比赛了________场． (3)【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求两市相距多少千米？ 变式训练3（21-22七年级上·浙江温州·期末）小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 变式训练4（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，一根竹竿插入一水池底部的淤泥中，竹竿的入泥部分的长度占全长的，露出水面的部分的长度为． (1)若淤泥以上的入水部分的长度比入泥部分的长度短，求竹竿的长． (2)若将此竹竿向上拔高，则淤泥以上的入水部分的长度比入泥部分的长度长，求竹竿的长． 变式训练5（25-26七年级上·河北衡水·期末）综合与实践 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段、线段和线段），长分别为，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题探究：如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，． （1）自拍杆延伸至最长状态时，__________．（填“”“”或“”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（的长）． 问题拓展： （3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55，此时点恰好为中点，求的长． 类型七、线段的和差计算与多结论问题 典例精讲7（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，是的中点，是的中点，是的中点，则下列等式中：①；②；③；④，正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型归纳 1.特征：图形较复杂，同时含多个线段关系，判断多个结论的正误或求相关量。 2.方法：逐一用字母表示关键线段→依次验证每个结论（用代数式代入化简判断）→确定正确结论并求解。 3.易错提醒：多结论题须逐个独立判断，勿受其它结论干扰；判断结论正误时用一般性推导，不能只代特殊值。 变式训练1（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 变式训练2（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式训练3（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 类型八、线段的和差计算求线段比值 典例精讲8（25-26七年级上·重庆·期末）如图，点为线段的中点，点D，E分别为线段上的两点，且，若，则的值为__________． 题型归纳 1.特征：求两条线段的比值，或由比值关系求线段长度。 2.方法：设公共份数表示各线段→化简得所求比值；或由已知比值设份数→结合其它条件列方程求长度。 3.易错提醒：求比值时两线段单位须一致；比值结果要化为最简比，注意分子分母对应关系。 变式训练1（25-26七年级上·重庆·期中）如图，直线l上有A、B两点，点O是线段上的一点，．若，则_____________；Q为线段上一点，且满足，则的值是_____________． 变式训练2（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知线段，点为的中点，点在线段上（与端点，不重合），且． （1）用含的代数式表示为___________； （2）若点在线段上，且，，则的值为___________． 变式训练3（24-25七年级上·重庆·期末）已知线段，延长至点，使得，点是线段上一点，且，则的值为______． 变式训练4（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，A，B，C，D四点在一直线上，，，，F为线段上的动点，点F到A，B，C，D距离的和的最小值为m，最大值为n，则的值为（   ） A．14 B．20 C．26 D．28 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、、在同一射线上，，线段(点在点的左边)长度为5，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（   ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，为定值 A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 4．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若，则这条绳子的原长为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 5．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，点在线段上，图中共有3条线段，分别为和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点为线段的“二倍点”．若线段，点是线段的“二倍点”，则线段的长为（   ） A．4或6 B．4或8 C．6或8 D．4或6或8 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段上，点是线段的中点，点是线段的中点，的长是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 10．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点为线段上一点，，点为线段的中点．若点为直线上一点，且，则的长为___________． 11．（25-26七年级上·山东德州·期末）点C在线段上，若三条线段，，中，有其中1条线段是另外1条线段的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若，点C是线段的巧点，则的长是________． 12．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴上点，表示的数分别为和16，线段在数轴上的，两点之间运动．点是的中点，当线段的端点与点重合时，端点在数轴上对应的数是2，若，则点在数轴上对应的数是_____． 13．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知线段长度为12，线段长度为4，线段在线段上自由运动（点与点不重合，与点不重合），若点为的中点．则的值为___________． 14．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 15．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $