湖南衡阳市衡阳县第一中学2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

高二数学入学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。时量120分钟。满分150分。 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.已知集合M={xx-1<0},N={xx2=1},则MUN= A.{-1} B.{-1,1} C.(-o∞，1] D.(0,1] 2 2.已知复数x=1千则x-1- A.1 B.√2 C.2 D.√5 3“>3”是“二子1的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4(★)如图，在平行四边形ABCD中，0是对角线AC,BD的交点，AE=AD, FC=AC,若=xAD+yA店，则x十y= A号 B C.2 D.1 5.(★)随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2026年2月到 该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自 助游的比例，如图.则下列说法错误的是 自助游比率/% 青年人 30 老年人 20% 中年人 35% 0老年人中年人青年人年龄段 A.若调查的游客中青年人有225人，则一共调查了500人 B.估计2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 C.用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12人，则中年人有21人 D.估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5% 6.已知函数f(x)满足f(x)=f(4-x),若Vx1,x2∈[2，十o∞)，(x1-x2)[f(x1)一f(x2)]>0,则关 于m的不等式f(m2+3)<f(m十5)的解集为 A.(-2,1) B.(-o∞，-2)U(1,+∞) C.(-1,2) D.(-∞，-1)U(2,+∞) 7.如图，两个正四棱锥组成的八面体EABCDF所有顶点都在同一个球面上，正方形ABCD边长为 4,AF=2AE,则从点A出发沿着该八面体表面到点C的最短路程为 A.85 5 C n 8.如图，△ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若FD 4A下，则下列结论错误的是 A.sin∠CAF=5sin∠ACF BA-厘咙 C.AD-AB+SAC D.AD与Ci夹角的正切值为5y3 7 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a>0,b>0,a十b=6,则下列不等式恒成立的是 A.a2+b≤18 B.log3a+log3b>≥2 C.(Wa+√6)2≤12 Dg+8>≥2 10.随着“湘超联赛”爆火，湖南足球旅游旺季全面来临.暑假期间，甲、乙两名同学独立地从长沙、株 洲、永州、常德四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地.设事件A:“甲选择长 沙”，事件B:“乙选择长沙或永州”，事件C:“两人选择的城市相同”，事件D:“至少有一人选择长 沙”，则 A.事件A与事件C相互独立 B.事件B与事件C相互独立 C.事件A与事件D相互独立 D.事件B与事件D相互独立 11.如图，正方体ABCD-A1BCD1的棱长为1，线段BD上有两个动点 E,R,且EF-号，则下列说法错误的是 A.AC⊥平面BEF B.E到平面ABF的距离为定值 C.AE与平面BEF夹角的最大值是买 D二面角E-AB-F正切值的取值范围是[西写] 选择题答题卡 题号 9 3 5 6 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(12,一5)，则 sin(x+a)+sin(-a) cos(>+a) 13.(★)在直三棱柱ABC-A1B1C中，四边形AA1CC是边长为4的正方形，且AB=3,BC-=5,M 是AA1的中点，则三棱锥A1-MBC的体积为 14.已知函数f)-2千，若不等式fs代na)+F(coax))≤号在区间(6x,9r上恒成立，则实数a 的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分13分) 某校测绘社团测量湘江对岸一栋地标建筑AB的高度时，由于建筑底部B 无法直接到达，测量小组岸边选取了两个观测点C,D进行测量.首先在点 C处测得A的仰角为45°，然后沿河岸步行400米到达点D处，在点D处 测得A的仰角为30°.已知∠BCD=120°，且观测点与B都在同一水平 面内. (1)求∠BDC的大小： (2)求AB的高度； (3)若从观测点C向后（沿BC的延长线）退至点E,要使在E处测得A的仰角为15°，求后退距 离.（结果保留根号） 16.(本题满分15分) 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的 4颍率组距 无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任0.040 务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频 率分布直方图（分组区间为(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]） 0.010 已知样本中评分在(70,80]内的快递车比评分在(60,70]内的快递车 多40辆. 060708090100评分分 (1)求a,b的值： (2)现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B 等车，估计A等车的分数线； (3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层 抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不 超过90分的概率. 17.(本题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，O是AC与BD的交点，∠BCD=120°，AB= 2,PO⊥平面ABCD,PO=3,M是棱PD上的一点. (1)当M为PD中点时， (1)证明：MO∥平面ABP; (i)求三棱锥M-ABC的体积. (2)若二面角C-AM-D为直二面角，求DM的长. 18.(★)（本题满分17分）》 已知函数f)=2 ci血(+青）一2w5osx+. (1)求函数f(x)图象的对称中心与对称轴； (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间； (3)将函数f(x)的图象向左平移需个单位长度后，所得图象对应的函数为h(x.若关于x的方 程2[h(x)]+mh(x)十1=0在区间[0，乏]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围。 19.(本题满分17分) 反函数是指一对图象关于直线y=x对称的函数，如函数f(x)=e与函数g(x)=lnx,判定反 函数的条件是对定义域内任意的x都有f(g(x)=g(f(x)=x.现定义“半反函数”：若函数 f(x)与函数g(x)满足对定义域内任意的x都有f(g(x)=x成立，则称函数g(x)为函数f(x) 的“半反函数”；如f(x)=x与g(x)=√元，满足Vx∈[0，十o∞)，f(g(x)=x,故函数g(x)=√E 为函数fx)=x的“半反函数”已知fx)=x十2+1，g(x)=,1 2x (1)判断下列命题是否为真命题，并说明理由： ①函数g(x)为函数f(x)的半反函数”； ②函数f(x)为函数g(x)的“半反函数” (2)判断f(x)=x十√2+I在R上的单调性，并用定义法证明。 (3)已知F(x)=f(x)-√3-F存在两个零点x1,x2(x1<x2),G(x)=g(x)-√3-x存在两个 零点3，x4(x<),请比较二与一的大小关系. x十x4 x1十x2高二数学入学参考答案 一、二、选择题 题号12 3 4 5 6 8 9 10 11 答案CABD B CA D CD AB BCD 1.C【解析】由题意M=(-∞，1)，N={-1,1},则MUN=(-o∞，1]. 2.A1 2(1-i) 【解析】=1+(1+)(1-)2 5=21。iD=1-i,x-1=1(1-i)-1=|-i=1. 3B【解析]号子-1024>0>-4>0>4 x>3羚x>4(如x=3.5),故充分性不成立； x>4→x>3,故必要性成立. 三“公3”是“要子1”的必要不充分条件 4.D【解析】在平行四边形ABCD中，AC∩BD=O, AE-2AD,FC-AC, 剥A应-号A亦，A京-星AC-是(A+AD, 萨=A-A亦-是(A店+AD)-号A市=是A+A市=xA币+yA店， 解得x=子y=是，所以x十y=1 5.B【解析】设2026年2月到该地旅游的游客总人数为a. 由题意，老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a,0.35a,0.45a, 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a,0.0875a,0.135a. 对于A,0.45a=225,解得a=500,即一共调查的游客人数是500人，故A正确； 对于B,因为2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为0.04a十0.0875a十0.135a=0.2625a,青年 人的人数为0.135a,所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故B错误； 对于C设中年人应精取x人，依题意得品5，解得x=21,即中年人应抽取21人，故C正确； 对于D,估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%，故D正确. 6.C【解析】由f(x)=f(4一x)知f(x)的图象关于直线x=2对称； 由条件知f(x)在[2，十∞)上单调递增，在（一∞，2]上单调递减. m2十3≥3>2，始终在递增区间，故分两类： 当m+5≥2（即m≥-3）： f(m2+3)<f(m+5)→m2+3<m+5→m2-m-2<0→-1<m<2. 结合m≥-3，得-1<m<2; 当m+5<2(即m<-3): 利用对称性f(m十5)=f(4-(m十5)=f(-m-1),其中-m-1>2. f(m2+3)<f(-m-1)→m2+3<-m-1-→m2+m+4<0. △=1-16=-15<0，无解. 综上，解集为(-1,2). 7.A【解析】由对称性可知八面体外接球直径为EF,则AE⊥AF, 设EF与平面ADCD文于点0，则A0-号AB=2, 又EFLA0,所以an∠EA0=an∠EFA=司，B0-=合A0-E, 高二数学参考答案(26秋L)-1 可得AE=√AO+OE区=√I0,由正四棱锥的性质得BE=√/I0, 在等腰△ABE中，底边AB上的高为√10-22=√6， 所以An-2X品×票-29能地上的商为AEnA8-4压 5 点A出发沿着该八面体表面到点C的最短路程为2X4压_-8⑤ 5 5 8,D【解折于A.由条件程GF-AD=5A,根据正茶定现有品器-器-5，A区确： 对于B,不妨设DE=4,则AD=5,BD=1,又∠ADB=120°， 由余弦定理得AB=√AD十BD一2AD·BDcos,∠ADB=√3I,B正确； 对于C,根据对称性，有F范=4F心，BD=B配， 所以AD=A+BD=Ai+(A位-AB)=A+(A+F它) =号A+房i+元（心号Aò）=A+号A+号A心， 化简得A-A+A心，C正确； 对于D,不封设AB=AC-1,则A·A心-合故动：=()+（债）}'+2×××号-。 A市.C-(Ai+AC)·(店-AC)9,所以osò.C》= AD.C第-2 AD1ICB|√3I ama市.C--3,D袋说， 2 9.CD【解析】对于A,a2+b=a+b》,a-b》≥a士b)=18,错误； 2 2 对于B,loga+log6-l0gab长2og(空）-2，错误； 对于C,(Wa+√b)2=a十b+2√ab≤6+6=12，正确； 对于D,3+3=3(a+b3×6 a'b ab 产a+6=2,正确 2 10.AB【解析】样本空间包含（长沙，长沙）、（长沙，株洲）、（长沙，永州）、（长沙，常德）、（株洲，长沙）、（株洲，株 洲)、（株洲，永州）、（株洲，常德）、（永州，长沙）、（永州，株洲）、（永州，永州）、（永州，常德）、（常德，长沙）、（常 德，株洲)、（常德，永州）、（常德，常德）共16种情况； 其中事件A包含4种，事件B包含8种，事件C包含4种，事件D包含7种； P(A)P(BP(C)P(D)- 事件AC包含1种情况，故P(AC)=P(A)P(C),A与C相互独立，A正确， 事件BC包含2种情况，故P(BCO=日=P(B)P(C,B与C相互独立，B正确； 事件AD包含4种情况，故P(AD)=≠P(A)P(D),A与D不独立，C错误； 事件BD包含5种情元，故P(BD)=≠P(B)P(D,B与D不独立，D错误. 11.BCD【解析】对于A,由正方体性质得AC⊥BD且BB1⊥平面ABCD,则AC⊥BB, 又BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BBDD,即AC⊥平面BEF,A正确； 对于B,由A到平面BEF的距离与△BEF的面积都为定值，故三棱锥A-BEF的体积为定值，又△ABF的 面积随，点F的运动改变，故E到平面ABF的距离会改变，B错误； 对于C,A到平西BEF的距禹为受-号.AE的最小值为√1十-， 高二数学参考答案(26秋L)一2 故AE与平面BEF夫角0的正孩值如长号÷9-誓<n圣，C锋送： 对于D,记点E,F在平面AADD上的射影分别为M,N,则MN=, 由AB⊥平面AA1DD,可得二面角E-AB-F的平面角为∠MAN, 设a∠AAN=AN=x∈[0，号]，则a∠AAM=AM=x+: 故tan∠MAN= 22叶x+2在[0，]上单调道减， 1 +z(x+号) 所以二面角E-AB-F正切值的取值范周是[号，]，D错误。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.吕【解析】由题意得P到坐标原点的距离为2+5=13， 故m。=一是osa一号m0=是 原或=如41-。11号号 -sin a 13.4【解析】，在直三棱柱ABC-A1B1C中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5, ∴.A1C1⊥AA1,AC+AB2=BC, ∴.A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1,.A1C⊥平面A1MB, M是AA1的中点， ÷S4m=2S4,B=2×(侵X3X4)=3, .三棱锥A1-MBC1的体积： Vag=VgA地=号XS地×A,G=号X3X4=4 1{-U[-病】【解桥1授g=)-号-器， 则yxER,都有g(一)=《一名）=2》=一g),故g()为奇函数， 2(2-x+1)2(2+1) 又N>0.>0器+器-器0， _2(22-29) 中器<费<0，所以号·会号·1斤≤号·中 g(x)在区间[0，十∞)上单调递减，故奇函数g(x)在R上单调递减. 不等式F(aina)+f((cs)≤号-nar+oga兰印sinax))+coa)≤0， 2 2 由奇函数的性质得g(sin ax)≤g(-cos ax),即sin ax≥-cos ax, 化简得sin(az十平)≥0在区间(5元，9m)上恒成立， [9ma+≥2k, ≥路品 当a<0时，az+∈(9a+牙，5ma+至)， ∈Z,得 5a+≤(2k+1)x, 2k+3 a≤5十20' 当=0时解得一品≤a<0,当=-1时，解得a=一子，当≤-2，kCZ时，无解 当a=0时，sm(ar）-号≥0恒成立； ma+7≥2kx, k=0, 当a>0时，az+∈(5ma+至，9a+F),由 k∈Z,解得 9a+≤(2k+1Dx 0a< 高二数学参考答案(26秋L)一3 综上所述的取值范图是{U[六] 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)设AB高度为h米， 则C=A-A米，BD=A tam30=3h米， …2分 BD 库△BCD中，由正弦定理得sin/BDC sin/BCD,即 h √3h sin∠BDC sin120, …4分 故sin∠BDC=in)20=2,又∠BDC<6o°，所以∠BDC=30°. ，…5分 (2)由(1)得∠CBD=180°-120°-30°=30°，…6分 在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC十BD-2BC·BDcos30°，…8分 即160000=h2+3h2-3h2,解得h=400;(或由∠CBD=∠BDC,知BC=CD=400米，所以h=BC= 400米.) 即AB的高度为400米. 9分 (3)由(2)得AC=√2h=400√2米，… 10分 在△ACE中，由E被定理得n%CamC无E: 12分 又∠AEC-15°，∠CAE=30,代入上式解得CE=400y2sin30° sin 15 -80,Ecas15r-80E停×号+号x）-(40+40,3)米 …13分 16.【解析】(1)由直方图的数据得10(a十b十0.04十0.01)=1→a十b=0.05①，…2分 由评分在(70,80]的快递车比(60,70]内的多40辆，得 200X10Xb-200X10Xa=40,解得b-a=0.02②，…3分 联立①②，解得a=0.015,b=0.035.…4分 (2)达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数.从低分段累计频率： 0.50<0.70,0.50+0.40=0.90>0.70, 第70百分位数落在(80,90]区间，… 6分 设分数线为x,则0.50十780义0.40=0.70，… …8分 解得x=85,估计A等车的分数线为85分.…9分 (3)分层抽样：评分超过80分的车辆=(80,90]组80辆+(90,100]组20辆=100辆. 接比例抽取56：(80,90]组：0×5=4辆，(90,10]组：0 组.20X5=1辆，，10分 编号：将(80,90]组4辆车记为A1,A2,A3,A4;(90,100]组1辆车记为B1. 列举所有等可能基本事件(5选2，无序)： 用列表法穷举： A A B A A2 A3 A 共10种等可能基本事件，…12分 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自(80,90]组，不含B): (A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,A4),(A3,A4)共6种，…14分 两车详分均不超过90分的概率，P-昌-昌 …15分 高二数学参考答案(26秋L)一4 17.【解析】(1)(1)因为底面ABCD为菱形，O是AC与BD的交点，所以O为BD中，点， 又M为PD中点，所以MO是△BDP中位线，所以MO∥BP,…2分 又BP在平面ABP内，MO不在平面ABP内，所以MO∥平面ABP.…4分 (i)由ABCD为菱形，∠BCD=120°，AB=2, 得S%80三7XAB2Xsin609=3,…6分 又M为PD中点，故三校维M-ABC的高h-9-多，7分 三棱候M-ABC的体积V-}×SXA= …9分 (2)在平面ACM内作CN⊥AM于N,则CN⊥平面ADM,所以CN⊥DM,…10分 因为底面ABCD为菱形，PO⊥平面ABCD,所以CO⊥BD,CO⊥PO, 又BD与PO交于点O,所以COL平面PBD,所以COLDM,…12分 由对称性知△ACM为等腰三角形，∠CAM必定为锐角， 故AC与CN交于点C,故DM⊥平面ACM,所以DM⊥MO,…13分 又OD=CDsin60°=√5，PO=3,所以∠ODP=60°， DM=ODeos∠ODP=3Xcos60°=Y5 2… …15分 1&【獬折f）-2omsx·(日nr+停osz-25os2x+号 -sin xcoscosIsin 2 2 sin 2x-13 cos2x=sin(2x-5）, …2分 令2z一晋-k十登k∈Z,解得x-合十品x,k∈乙， 所以对称轴为直线1一号红十高6CZ 1 …3分 令2x一吾=k,A∈Z,解得x=司x十日，k∈Z, 所以对称中心为（经+晋0），∈乙 4分 (2)由(1)得fx)=sin(2z-5）, 令-+2km≤2x-号≤+2πk∈ZD, 得臣十kx≤≤登+mk∈Z, ……7分 又因为x∈[0，π]， 所以f)的单调运增区间为[0，登][费x], 9分 (3)将fz)的图象向左平移晋个单位长度后，得h(z)=sin2x, 又因为x∈[0，受]，则2x[0,], 令t=h(x),则t∈[0,1]， 依题意得22十mt什1=0在t仁[0,1)上仅有一个实根.…12分 令H(t)=2t十mt+1,因为H(0)=1>0, △=m2-8=0, 则需H(1)=2+m+1<0或 0<-<1, …15分 解得m<-3或m=-2√2. …17分 19.【解析】(1)①为假命题，理由如下：… …1分 判断g(x)是否为f(x)的“半反函数”， 即验证对g(x)定义域内任意x,是否有f(g(x)=x 高二数学参考答案(26秋L)一5 g()=1的定义城为xx≠0， 2x 》是+1是2+ 2分 分类讨论：当>0时，=x:f(g(》=1+贮+1_2x 2x =x 2x2x 当x<0时，x=-x:f(g)》=21+1=。-1-2+1=二2=-1 2x -2x 2x 2x 2x 故g(x)不是f(x)的“半反函数”.…3分 ②为真命题，理由如下：… …4分 即验证对f(x)定义域内任意x,是否有g(f(x))=x. f(x)=x十√x2+I的定义域为R, 8》-z中+年]+1-(v-]=x 函数f(x)为函数g(x)的“半反函数”.…5分 (2)f(x)在R上单调递增，…6分 证明：H1<x2,f(1)-f(x2)=(x1-x2)+(√x+I-√/+I). 分子有理化有：V+1-√+1=-（i+1)-(+1) x好-x吃 =（1一22)(x十x） √x+1+Wx吃+1√x+1+√x+1Wx+I+√x+1 f)-f)=(a-)1+/房+i+币J' x1十x2 8分 因为W√x十1>-x1,√十1>-x2, 所以十会清行 >0，又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0, 故f(x)在R上单调递增. 10分 (3)F(-√3)=2-V3>0,F(0)=1-√3<0，F(w3)=2+√3>0， 由零，点存在定理知x1<0<x2, 又G(）)-专一江-3一7在(0)上单调造增，故西函至多只有-个正数。…11分 记h(x)=√3-x2,则f(x1)=h(x1)>0,f(x2)=h(x2)>0,…12分 当x∈(0，W3)时，h(h(x)=√3-(3-x)=x,故h(h(x2)=x2=g(f(x2)=g(h(x2),即G(h(x2)=0, 故h(x2)为G(x)的一个正零点，即x4=f(x2)=h(x2),所以x吃十x号=3；…14分 当x∈(-√5,0)时，h(-h(x)=√3-(3-x)=-x,故h(-h(x1)=-x1, 又g-》=g-f》=-〉-2zy=-(g-2)】=-g》=- 2 则G(-h(x1)=0, 所以一h(x1)为G(x)的一个负零点，即x3=一h(x1),x好十x号=3；…16分 故x好十x=x吃十x,即x1一x2=x一x3, 化简得二2=4二. x3+x4C1+x2 17分 高二数学参考答案(26秋L)一6