专题03 不等式性质的应用及基本不等式求最值（专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式性质应用与基本不等式求最值，以题型为载体系统提炼作差作商、拼凑法等9类方法，构建“性质基础-技巧应用-综合拔高”的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质的应用|3题型14题|作差法与作商法比较大小、不等式性质判断命题真假、求代数式范围|从比较大小到范围求解，层层递进夯实性质应用| |基本不等式求最值|6题型28题|直接法、拼凑法、常数“1”妙用、二次（一次）商式、消元法、恒（能）成立问题|从基础技巧到综合应用，逐步提升最值求解能力|

专题03 不等式性质的应用及基本不等式求最值 常考题型·精准突破 考点一 不等式性质的应用 题型1 利用作差法与作商法比较大小 题型2 利用不等式性质判断命题的真假 题型3 利用不等式性质求代数式的范围， 考点二 基本不等式求最值 题型4 直接法求最值。 题型5 拼凑法求最值（常考） 题型6 常数“1”的妙用（重） 题型7 二次（一次）的商式求最值 题型8 消元法求最值， 题型9 基本不等式与恒（能）成立问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 不等式性质的应用 ◆题型1 利用作差法与作商法比较大小 1．甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 2．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 3．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 4．已知，试比较的大小. ◆题型2 利用不等式性质判断命题的真假 5．若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 7．若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） ◆题型3 利用不等式性质求代数式的范围， 10．如果，则的取值范围是___________ 11．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知，设，则的取值范围为___________.（用集合的描述法形式表示） 13．实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 14．已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 考点二 基本不等式求最值 ◆题型4 直接法求最值。 15．已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 16．已知，则的最大值是______. 17．函数的最小值为______． 18．已知，则的最大值为______. 19．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 ◆题型5 拼凑法求最值 20．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 21．当时，的最小值为_______ 22．若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 23．已知，，则的最小值为__________. 24．已知，则的最小值为__________，此时__________. ◆题型6 二次（一次）的商式求最值 25．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 26．函数的最小值为_________． 27．已知，且，则最大值为______． 28．函数的最小值为_______________ ◆题型7 常数“1”的妙用 29．已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 30．已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 31．已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 32．已知正实数满足，则的最小值为__________． 33．设为正数，且，则的最小值为___________ ◆题型8 消元法求最值， 34．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 35．已知，，且，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 36．已知正实数满足，则的最小值为__________. 37．已知正实数，满足，则的最大值为________． ◆题型9 基本不等式与恒（能）成立问题 38．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 39．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________. 40．设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 41．已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 42．已知：，且，求使恒成立的参数的范围． 综合攻坚·知能拔高 1．已知，则的最大值为___________． 2．已知实数满足，则的最小值为______． 3．已知，且，则的最小值为______. 4．已知，则的取值范围是________. 5．若，且，则的最小值为_____. 6．已知均为正数，，则的最小值为_______ 7．若，且，则的最小值为___________，此时___________. 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式性质的应用及基本不等式求最值 常考题型·精准突破 考点一 不等式性质的应用 ◆题型1 利用作差法与作商法比较大小 1．【答案】A 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 2．【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 3．【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 4．【答案】 【详解】因为， 所以. ◆题型2 利用不等式性质判断命题的真假 5．【答案】D 【详解】因为，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确； 对于选项D：可得，故D错误. 6．【答案】D 【详解】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 7．【答案】A 【详解】验证充分性： 已知，根据不等式的基本性质， 对，两边同乘正数，得，即； 对，两边同乘正数，得，即. 综上可得，故充分性成立. 验证必要性：举反例：取，，此时，，，满足，但，不满足，故必要性不成立. 因此“”是“的”充分不必要条件. 8．【答案】C 【详解】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 9．【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1），分母正负无法确定，故错误； （2）若，故错误； （3）若，故错误. ◆题型3 利用不等式性质求代数式的范围， 10．【答案】 【详解】由可得，， 又， 所以， 故答案为： 11．【答案】A 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 12．【答案】 【详解】设， 则 则，解得， 因为， 所以， 故，即， 故答案为：. 13．【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 14．【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 考点二 基本不等式求最值 ◆题型4 直接法求最值。 15．【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 16．【答案】 【详解】由于，则， 故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为， 故答案为： 17．【答案】9 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值为． 18．【答案】 【详解】， 当且仅当时，等号成立． 即的最大值为， 故答案为： 19．【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． ◆题型5 拼凑法求最值 20．【答案】B 【详解】因为，所以， 则， 当时，等号成立， 故函数的最小值为5. 21．【答案】 【详解】当时，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为. 故答案为：. 22．【答案】B 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以若，则的最小值为. 故选：B 23．【答案】1 【详解】因为，所以，， 取等条件为. 故答案为：1 24．【答案】 6 3 【详解】. 因为，所以， 故，当且仅当即时，两个不等式等号同时成立， 所以所求最小值为6，此时. 故答案为：. ◆题型6 二次（一次）的商式求最值 25．【答案】A 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 26．【答案】 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 27．【答案】 【详解】解：由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 28．【答案】8 【解析】由条件可得，根据基本不等式可求得最小值. 【详解】函数， 因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立. 故答案为：8. 【点睛】本题考查基本不等式的应用之求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. ◆题型7 常数“1”的妙用 29．【答案】B 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 30．【答案】C 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 31．【答案】 【详解】由题意得 ，当且仅当时成立. 32．【答案】/ 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 33．【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. ◆题型8 消元法求最值， 34．【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 35．【答案】C 【详解】∵，∴， ∴. ∵，∴， ∴时取最大值，最大值为， 故选：C. 36．【答案】/ 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 37．【答案】 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： ◆题型9 基本不等式与恒（能）成立问题 38．【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 39．【答案】 【详解】因为 ， 当且仅当，即当且仅当时，等号成立， 所以， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 40．【答案】 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故答案为： 41．【答案】3 【详解】令，因为，所以， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当，即时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故的最大值为3. 故答案为：3 42．【答案】 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，且时成立，即，时，等号成立． 则的最小值为，故要使恒成立，只需即可． 即a的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】/ 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 2．【答案】 【详解】由，可得， 令，，则． 联立可得，，， 则， 当且仅当，即，或，时，即，或，时取等号． 故答案为：． 3．【答案】/ 【详解】，则有，， 可得 令，解得，所以，即， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 4．【答案】 【详解】， 即， 解得， 又， 即， 解得或. 综上，得或， 即0或. 故答案为：. 5．【答案】 【详解】由得， 令，则且，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为:． 6．【答案】 【详解】由均为正数，，得，且， 令，则，，， 代入， 得 ， 记，则，且. 表达式化为， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号. 此时，解得，故，，满足条件. 故答案为： 7．【答案】 【详解】， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 所以， 当且仅当时，第二个等号成立， 所以的最小值为，此时. 故答案为：；. 8．【答案】D 【详解】由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 因为时，恒成立，所以恒成立， 则当时，恒成立；当时，恒成立. 故有时，，则， 所以，当且仅当，即时取等号. 故选：D. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式性质的应用及基本不等式求最值 常考题型·精准突破 考点一 不等式性质的应用 题型1 利用作差法与作商法比较大小 题型2 利用不等式性质判断命题的真假 题型3 利用不等式性质求代数式的范围， 考点二 基本不等式求最值 题型4 直接法求最值。 题型5 拼凑法求最值（常考） 题型6 常数“1”的妙用（重） 题型7 二次（一次）的商式求最值 题型8 消元法求最值， 题型9 基本不等式与恒（能）成立问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 不等式性质的应用 ◆题型1 利用作差法与作商法比较大小 1．甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 2．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 3．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 4．已知，试比较的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以. ◆题型2 利用不等式性质判断命题的真假 5．若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确； 对于选项D：可得，故D错误. 6．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 7．若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】验证充分性： 已知，根据不等式的基本性质， 对，两边同乘正数，得，即； 对，两边同乘正数，得，即. 综上可得，故充分性成立. 验证必要性：举反例：取，，此时，，，满足，但，不满足，故必要性不成立. 因此“”是“的”充分不必要条件. 8．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 9．若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1），分母正负无法确定，故错误； （2）若，故错误； （3）若，故错误. ◆题型3 利用不等式性质求代数式的范围， 10．如果，则的取值范围是___________ 【答案】 【详解】由可得，， 又， 所以， 故答案为： 11．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 12．已知，设，则的取值范围为___________.（用集合的描述法形式表示） 【答案】 【详解】设， 则 则，解得， 因为， 所以， 故，即， 故答案为：. 13．实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 14．已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 考点二 基本不等式求最值 ◆题型4 直接法求最值。 15．已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 16．已知，则的最大值是______. 【答案】 【详解】由于，则， 故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为， 故答案为： 17．函数的最小值为______． 【答案】9 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值为． 18．已知，则的最大值为______. 【答案】 【详解】， 当且仅当时，等号成立． 即的最大值为， 故答案为： 19．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． ◆题型5 拼凑法求最值 20．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， 当时，等号成立， 故函数的最小值为5. 21．当时，的最小值为_______ 【答案】 【详解】当时，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为. 故答案为：. 22．若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以若，则的最小值为. 故选：B 23．已知，，则的最小值为__________. 【答案】1 【详解】因为，所以，， 取等条件为. 故答案为：1 24．已知，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 6 3 【详解】. 因为，所以， 故，当且仅当即时，两个不等式等号同时成立， 所以所求最小值为6，此时. 故答案为：. ◆题型6 二次（一次）的商式求最值 25．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 26．函数的最小值为_________． 【答案】 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 27．已知，且，则最大值为______． 【答案】 【详解】解：由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 28．函数的最小值为_______________ 【答案】8 【解析】由条件可得，根据基本不等式可求得最小值. 【详解】函数， 因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立. 故答案为：8. 【点睛】本题考查基本不等式的应用之求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. ◆题型7 常数“1”的妙用 29．已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 30．已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 31．已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】由题意得 ，当且仅当时成立. 32．已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 33．设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. ◆题型8 消元法求最值， 34．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 35．已知，，且，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴， ∴. ∵，∴， ∴时取最大值，最大值为， 故选：C. 36．已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 37．已知正实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： ◆题型9 基本不等式与恒（能）成立问题 38．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 39．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为 ， 当且仅当，即当且仅当时，等号成立， 所以， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 40．设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 【答案】 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故答案为： 41．已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 【答案】3 【详解】令，因为，所以， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当，即时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故的最大值为3. 故答案为：3 42．已知：，且，求使恒成立的参数的范围． 【答案】 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，且时成立，即，时，等号成立． 则的最小值为，故要使恒成立，只需即可． 即a的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 1．已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 2．已知实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【详解】由，可得， 令，，则． 联立可得，，， 则， 当且仅当，即，或，时，即，或，时取等号． 故答案为：． 3．已知，且，则的最小值为______. 【答案】/ 【详解】，则有，， 可得 令，解得，所以，即， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 4．已知，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】， 即， 解得， 又， 即， 解得或. 综上，得或， 即0或. 故答案为：. 5．若，且，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】由得， 令，则且，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为:． 6．已知均为正数，，则的最小值为_______ 【答案】 【详解】由均为正数，，得，且， 令，则，，， 代入， 得 ， 记，则，且. 表达式化为， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号. 此时，解得，故，，满足条件. 故答案为： 7．若，且，则的最小值为___________，此时___________. 【答案】 【详解】， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 所以， 当且仅当时，第二个等号成立， 所以的最小值为，此时. 故答案为：；. 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 因为时，恒成立，所以恒成立， 则当时，恒成立；当时，恒成立. 故有时，，则， 所以，当且仅当，即时取等号. 故选：D. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $