专题04 二次不等式和基本不等式的恒能成立问题（七大压轴题专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以“参变分离、函数最值、判别式分析”为核心，构建二次与基本不等式恒能成立问题的方法体系，通过7类题型的“特征-方法”模版实现知识逻辑的递进式迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3大核心|参变分离、函数最值、判别式分析|从概念本质到方法应用的逻辑链条| |题型归纳|7题型（每题型1例+3变式）|恒成立/能成立、R上/区间上分类解法|从一元二次到基本不等式的知识拓展| |压轴挑战|13道综合题|多方法融合与参数范围动态分析|从基础应用到复杂情境的思维提升|

专题04 二次不等式和基本不等式的恒能成立问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式在R上的恒成立问题 题型二、一元二次不等式在R上的能成立问题 题型三、一元二次不等式在区间上的恒成立问题 题型四、一元二次不等式在区间上的能成立问题 题型五、给定参数的一元二次不等式恒成立问题 题型六、基本不等式中的恒成立问题 题型七、基本不等式中的能成立问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式与基本不等式恒、能成立问题是高一数学核心重难点，所有题型均围绕参变分离、函数最值、判别式分析三大核心展开，解题贯穿：一是；二是。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式在R上的恒成立问题 题型模版 1.特征：不等式对全体实数都成立，式子为，含有参数。 2.方法：先讨论二次项系数退化为一次不等式；时结合开口方向与判别式列不等式组求解。 例1．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 变式1-2．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 变式1-3．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二、一元二次不等式在R上的能成立问题 题型模版 1.特征：不等式在全体实数范围内存在至少一个使式子成立，形式，含参数。 2.方法：按一次不等式分析；结合抛物线开口，保证函数存在满足条件的函数值，利用判别式判断。 例2．若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式2-3．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____. 题型三、一元二次不等式在区间上的恒成立问题 题型模版 1.特征：给定有限区间，对区间内全部，二次不等式恒成立，含有待求参数。 2.方法：可参变分离转化为最值问题；或者分析二次函数在区间上图像，求区间上的最大、最小值建立不等式。 例3．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．任意都是不等式的解，求实数的取值范围__________. 变式3-3．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 题型四、一元二次不等式在区间上的能成立问题 题型模版 1.特征：给定区间，区间内至少存在一个使二次不等式成立，题干带有参数。 2.方法：参变分离求最值，或者研究二次函数在该区间的函数值域；恒成立求的是全部满足，能成立只需局部满足。 例4．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 变式4-2．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 题型五、给定参数的一元二次不等式恒成立问题 题型模版 1.特征：参数范围已知固定，自变量变化，不等式对自变量恒成立，不需要求参数范围。 2.方法：代入参数得到确定二次函数，分析开口、对称轴、区间端点，求出函数最值，验证不等式是否始终成立。 例5．对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 变式5-1．已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 变式5-2．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 变式5-3．已知，. (1)若关于x的不等式的解集为，求a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数x的取值范围； (3)解关于x的不等式：. 题型六、基本不等式中的恒成立问题 题型模版 1.特征：变量满足正数条件，对规定范围内所有变量，含参不等式恒成立，常见形式如参数恒成立。 2.方法：转化为参数大于等于的最大值（或小于等于最小值）；用基本不等式求函数最值，核验一正二定三相等。 例6．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式6-1．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 变式6-2．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______． 变式6-3．若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 题型七、基本不等式中的能成立问题 题型模版 1.特征：变量满足正数条件，规定范围内至少存在一组变量，使得含参不等式可以成立。 2.方法：转化为参数大于等于的最小值（或小于等于最大值）；利用基本不等式求最值，必须检验等号能否取到。 例7．当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 变式7-1．设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式7-2．存在正数，使得不等式成立，则的最大值是______. 变式7-3．正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 3．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 5．若存在，，则实数的最大值为___________． 6．若对任意实数，总存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________ 7．设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 8．设，若恒成立，则的最大值为______________. 9．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________. 10．已知为正实数，且满足，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是___． 11．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 12．已知，，满足，存在实数，使得恒成立，则的最小值为________. 13．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次不等式和基本不等式的恒能成立问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式在R上的恒成立问题 题型二、一元二次不等式在R上的能成立问题 题型三、一元二次不等式在区间上的恒成立问题 题型四、一元二次不等式在区间上的能成立问题 题型五、给定参数的一元二次不等式恒成立问题 题型六、基本不等式中的恒成立问题 题型七、基本不等式中的能成立问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式与基本不等式恒、能成立问题是高一数学核心重难点，所有题型均围绕参变分离、函数最值、判别式分析三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是二次不等式要分类讨论二次项系数，结合判别式、区间端点分析；二是基本不等式必须遵守一正二定三相等，验证等号是否可取。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式在R上的恒成立问题 题型模版 1.特征：不等式对全体实数都成立，式子为，含有参数。 2.方法：先讨论二次项系数退化为一次不等式；时结合开口方向与判别式列不等式组求解。 例1．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 变式1-1．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 变式1-2．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 变式1-3．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 题型二、一元二次不等式在R上的能成立问题 题型模版 1.特征：不等式在全体实数范围内存在至少一个使式子成立，形式，含参数。 2.方法：按一次不等式分析；结合抛物线开口，保证函数存在满足条件的函数值，利用判别式判断。 例2．若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 若要使不等式有实数解； 则需要满足即可， 又， 则； 则，解得或； 故选：A． 变式2-1．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 变式2-2．存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】BD 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值4， 故选：D． 变式2-3．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为， 所以等价于，整理得. 若“存在，使得不等式成立”可转化为. 因为，当时取等号. 所以，即. 故答案为：. 题型三、一元二次不等式在区间上的恒成立问题 题型模版 1.特征：给定有限区间，对区间内全部，二次不等式恒成立，含有待求参数。 2.方法：可参变分离转化为最值问题；或者分析二次函数在区间上图像，求区间上的最大、最小值建立不等式。 例3．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 变式3-1．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 变式3-2．任意都是不等式的解，求实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】由题知，即不等式在上恒成立， 则，又，所以令， 即，所以， 又，当，即时取等号， 所以在上单调递减， 所以. 故答案为：. 变式3-3．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 题型四、一元二次不等式在区间上的能成立问题 题型模版 1.特征：给定区间，区间内至少存在一个使二次不等式成立，题干带有参数。 2.方法：参变分离求最值，或者研究二次函数在该区间的函数值域；恒成立求的是全部满足，能成立只需局部满足。 例4．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 变式4-1．若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 变式4-2．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 变式4-3．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 题型五、给定参数的一元二次不等式恒成立问题 题型模版 1.特征：参数范围已知固定，自变量变化，不等式对自变量恒成立，不需要求参数范围。 2.方法：代入参数得到确定二次函数，分析开口、对称轴、区间端点，求出函数最值，验证不等式是否始终成立。 例5．对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】 【详解】当时，不等式为恒成立； 当时，结合二次函数的性质可得，解得； 的取值范围是. 设， 因为，所以一次函数为递增函数， 则当时，， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 变式5-1．已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 变式5-2．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 变式5-3．已知，. (1)若关于x的不等式的解集为，求a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数x的取值范围； (3)解关于x的不等式：. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题可知，的两根为和， 所以，解得. （2），即，即对任意的恒成立， 所以 解得 所以的取值范围为. （3）不等式为，. ①若，则，解得. ②若，则，解得或. ③若，因为， 1°  若，即时，解得. 2°  若，即时，不等式无解. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 题型六、基本不等式中的恒成立问题 题型模版 1.特征：变量满足正数条件，对规定范围内所有变量，含参不等式恒成立，常见形式如参数恒成立。 2.方法：转化为参数大于等于的最大值（或小于等于最小值）；用基本不等式求函数最值，核验一正二定三相等。 例6．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 变式6-1．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 变式6-2．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】当时，， 由题意知，对任意，， 即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 即实数的取值范围为． 故答案为：． 变式6-3．若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时，取得最大值. 因为恒成立，所以，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案是：. 题型七、基本不等式中的能成立问题 题型模版 1.特征：变量满足正数条件，规定范围内至少存在一组变量，使得含参不等式可以成立。 2.方法：转化为参数大于等于的最小值（或小于等于最大值）；利用基本不等式求最值，必须检验等号能否取到。 例7．当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，关于x的不等式有解， 即在上有解.令，， 所以，则， 代入得， 当且仅当时取等号，此时，的最小值为6. 故当时，关于x的不等式有解的充要条件是， 所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有C符合 故选：C 变式7-1．设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 变式7-2．存在正数，使得不等式成立，则的最大值是______. 【答案】 【详解】， 则， 当且仅当，即时等号成立. 的最大值为. 故答案为：. 变式7-3．正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为正实数，满足，则， 所以， 当且仅当时取等号， 存在这样的，使不等式有解，则， 则，所以实数的取值范围是 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 2．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 3．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 4．设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 故选：D. 5．若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 6．若对任意实数，总存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【详解】由得, 因为对任意实数，不等式成立，所以， 即,即存在，成立， 因为在上单调递增， 所以，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 7．设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 【答案】27 【详解】，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 8．设，若恒成立，则的最大值为______________. 【答案】 【详解】，， （当且仅当，即时取等号）， ，即的最大值为. 故答案为：. 9．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题， 注意到，整理得， 原题意等价于“任意，使得”是真命题， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 10．已知为正实数，且满足，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是___． 【答案】或 【详解】为正实数，且满足， 则， （当且仅当时等号成立）， 则由存在使不等式成立， 可得，解之得或 故答案为：或 11．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 12．已知，，满足，存在实数，使得恒成立，则的最小值为________. 【答案】4 【详解】因为，，所以，即， 得，所以，当且仅当时等号成立， 由得， 整理得， 即， 所以， 又因为存在实数，使得恒成立， 所以， 故答案为： 13．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $