☆问题解决活动 利用相似三角形测高（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“利用相似三角形测高”，通过阳光下的影子、标杆、镜子反射等生活情境导入，以相似三角形判定与性质为支架，衔接基础应用到综合实践的知识脉络。 资料特色在于生活化问题设计与分层训练结合，含《九章算术》古题、实践活动报告及视频解析。通过解决实际测量问题，培养学生数学眼光（抽象能力、几何直观）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识、应用意识），提升问题解决与实践能力。

☆问题解决活动 利用相似三角形测高 01基础达标 知识点一 利用阳光下的影子测量高度 1. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m 2. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（　　） A. 9米 B. 9.6米 C. 10米 D. 10.2米 知识点二 利用标杆求高 3. 如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（　　） A. 9.3m B. 10.5m C. 12.4m D. 14m 4. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为_____米． 知识点三 利用镜子的反射求高 5. 如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（　　） A. 4.5m B. 4.8m C. 5.5m D. 6 m 6. 如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为_____m． 02能力提升 7. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ） A. AB=24m B. MN∥AB C. △CMN∽△CAB D. CM：MA=1：2 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？” 用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为__________步． 9. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 03思维拓展 10. 数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小明所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，完成了如下的测量活动报告： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 利用相似三角形的知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，小明在地面上的点处安装一测角仪，测得，然后沿方向走到点处，在点处安装一测角仪，此时，测得，同时测得，，从房管物业处查询到建筑物，利用激光笔测得点、点和点在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度（精确到）． ☆问题解决活动 利用相似三角形测高 01基础达标 知识点一 利用阳光下的影子测量高度 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 设树高x米，则，即 ∴x=8 故选C． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得，从而求出AE的长，继而求出AB的长. 【详解】解：如图， 过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形， ∴CE=BD=9.6米，BE=CD=2米， 由题意可得：， ∴AE=8(米)， ∴AB=AE+BE=8+2=10(米). 故选:C. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于做辅助线 知识点二 利用标杆求高 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出CD即可． 【详解】解：∵EB∥CD， ∴△ABE∽△ACD， ∴，即， ∴CD=10.5（米）． 故选B． 【点睛】考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【4题答案】 【答案】11.5 【解析】 【分析】根据题意证出△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案． 【详解】由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，∴△DEF∽△DCA，则，即，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），即旗杆的高度为11.5米． 故答案为11.5． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 知识点三 利用镜子的反射求高 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m， ∵△ABC∽△EDC， ∴， 即， 解得：AB＝6， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键． 【6题答案】 【答案】5.1 【解析】 【分析】根据题意得出BE=3m，DE=9m，△CED≅△C’ED，AB∥CD，利用相似三角形的判定和性质得出，由全等三角形的性质得出CD=C’D，代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知：BE=3m，DE=9m，△CED≅△C’ED， ∴CD=C’D， 由题可得AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴ ∴， 即， 解得：CD=5.1m， 故答案为：5.1． 【点睛】本题注意考查的就是三角形相似实际应用的题目，难度在中等．在利用三角形相似，我们一般都是用来测量较高物体或无法直接测量的物体的高度，解决这种题目的时候，我们首先要找到有哪两个三角形相似，然后根据相似三角形的边成比例得出位置物体的高度． 02能力提升 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】∵M、N分别是AC，BC的中点， ∴MN∥AB，MN=AB， ∴AB=2MN=2×12=24m △CMN∽△CAB ∵M是AC的中点 ∴CM=MA ∴CM：MA=1：1 故描述错误的是D选项． 故选D． 视频 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得到∠EDG=90°，从而∠KDC+∠HDA=90°，再由∠C+∠KDC=90°，得到∠C=∠HDA，即有△CKD∽△DHA，由相似三角形的性质得到CK：KD=HD：HA，求解即可得到结论． 【详解】∵DEFG是正方形， ∴∠EDG=90°， ∴∠KDC+∠HDA=90°． ∵∠C+∠KDC=90°， ∴∠C=∠HDA． ∵∠CKD=∠DHA=90°， ∴△CKD∽△DHA， ∴CK：KD=HD：HA， ∴CK：100=100：15， 解得：CK=． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键是证明△CKD∽△DHA． 【9题答案】 【答案】河宽为17米． 【解析】 【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长． 【详解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴， ∴AB＝17， 即河宽为17m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 03思维拓展 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先根据角度关系证明，再利用相似三角形的对应边成比例求出的长度，最后用减去得到的高度． 【详解】解：由题意得： 又 ， 即 解得 答：教学楼顶部宣传牌的高度约为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $