第1章 4 第1课时 正方形的性质-【勤径千里马】2026-2027学年九年级上册数学随堂小练10分钟（北师大版·新教材）

8 随堂小练》0分钟 九年级数学·北师版·上册 (2)由(1)知AB=A0,0A=0C. ∴.AD∥BE且AD=BE,AB=DE. .AB =2 cm,.'.AC =2AB =4 cm. AD=CD,∴.CD∥BE且CD=BE, 在Rt△ABC中，BC=√AC2-AB2=25cm, ∴.四边形BECD是平行四边形 .S矩形BcD=AB·BC=2×25=45(cm2). AB=BC,∴BC=DE, 5.(1)证明：由折叠和矩形的性质可得DE=AD=BC, .四边形BECD是矩形 ∠E=∠C=90°. 3.证明：CE⊥AB,AF⊥CD, 在△EDF和△CBF中， ∴.∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°. ∠DFE=∠BFC, 四边形ABCD是平行四边形， ∠E=∠C, .∴.AB∥CD,∴.∠FAE=∠AFD=90°， DE =BC, .∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°， ..△EDF≌△CBF(AAS) .四边形AECF是矩形. (2)解：在Rt△ABD中， 4c52657号 AD=3,BD=6,∴.∠ABD=30° 8.(1)证明：AE⊥CE于点E,AF⊥CF于点F, 由折叠的性质可得LDBE=∠ABD=30, ∴.∠AEC=∠AFC=90. ·,∠EBC=90°-∠ABD-∠DBE=30°. 又CE,CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD, 6.D7.5cm ∴.∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠DCF 8.证明：(1)AF∥BC,∴.∠AFE=∠DBE. 1 E是AD的中点，.AE=DE. ·LECF=LACE+∠ACF=2(LBCA+LACD) 在△AFE和△DBE中， T∠AFE=∠DBE, =7×180°=90， ∠FEA=∠BED. .四边形AECF为矩形 LAE DE, ∴.△AFE≌△DBE(AAS) (2)解：结论：MN/BC且MN=BC (2)由(1)知△AFE≌△DBE,则AF=DB. 证明：四边形AECF为矩形， D是BC的中点， .对角线相等且互相平分，∴.NE=NC=NA ∴.DB=DC,AF=CD. .∠NEC=∠ACE=∠BCE,.MW∥BC. AF∥BC, 又，AN=CN,.N是AC的中点. ..四边形ADCF是平行四边形 若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1,连 ·∠BAC=90°，D是BC的中点， 接M1N, 0=Dc=分C, 则M1N是△ABC的中位线，M1N∥BC, 而MN∥BC,M1即为点M, ..四边形ADCF是菱形 ∴.MW是△ABC的中位线， 第2课时矩形的判定 [1分钟知识速记] ∴hMN=2BC (1)直角(2)直角(3)相等 4正方形的性质与判定 [9分钟目标检测] 第1课时正方形的性质 1.A [1分钟知识速记] 2.证明：BD平分∠ABC, (1)直角相等(2)垂直平分 .∠ABD=∠CBD. [9分钟目标检测] 在△ABD和△CBD中， 1.A2.D rAB=CB, 3.45°4.2 ∠ABD=∠CBD 5.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，△EBC是等边 BD =BD. 三角形， .△ABD≌△CBD(SAS),..AD=CD ∴.BA=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=9O°， ·四边形ABED是平行四边形， ∠EBC=∠ECB=60°， 8)106Cg 见此图标宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。 8 随堂小练》0分钟 九年级数学·北师版·上册 .LABE=∠DCE=30°. ,∠AB0=∠ECO, 在△ABE和△DCE中， B0=C0, rAB=DC, L∠AOB=∠EOC, ∠ABE=∠DCE, .·.△AOB≌△EOC(ASA). BE CE, (2)解：四边形ABEC是正方形 ∴.△ABE≌△DCE(SAS), 5.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AE DE. .AD∥BC (2)解：∠AED=150° ∠AD0=∠EC0,∠DAO=∠CEO. 6.解：(1)图中所有的全等三角形有△ADC≌△ABC, 0是CD的中点，.OD=0C, △ADE≌△ABE,△DCE≌△BCE. ·.△AOD≌△EOC. (2):四边形ABCD是正方形， (2)解：45° .AD∥BC,DC=CB,∠DCE=∠ECB=45°，且CE 6.C7.C8.D9.D =CE, ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的 ∴.△DCE≌△BCE,∴.∠DEC=∠BEC 正八边形 ,∠DEB=140°， 解：(1)由题意，得△AEL≌△BGF≌△CIH≌△DKJ, 六∠DBC=∠BC=3∠DB=70 且四个三角形均为等腰直角三角形. 设BG=x,则FG=GH=√2x ∠ACB=45°， BC=BG+GH+CH, .∠CBE=180°-∠BEC-∠ACB=65. 2x+2x=a, :AD∥BC,.∠AFE=∠CBE=65. 7.C8.22+2 9.解：在正方形ABCD中， ∠ABC=90°，AB=BC, 正八边形的边长为×1-号=(-1)a ∴.∠ABM+∠CBW=90. (2)如答图①，八边形EFGHIJKL即为所求 AM⊥直线I,CW⊥直线l, (3)如答图②，八边形EFGH皿JKL即为所求. .∠AMB=∠CNB=90°， ∴.∠MAB+∠ABM=90°， .∠MAB=∠CBN, .△AMB≌△BNC, .'.BM=CN=3. 在Rt△AMB中， ∠AMB=90°，AM=1,BM=3, H AB=√AM2+BMP=√2+32=√0. 答图① 答图② 专题小练习（一）特殊平行四边形间的 第2课时正方形的判定 关系的综合应用 [1分钟知识速记] 1.(1)证明：EF是AC的垂直平分线， (1)相等(2)垂直(3)直角(4)相等 ,∴.A0=OC,∠A0E=∠COF=90°. [9分钟目标检测] .四边形ABCD是矩形，.AD∥BC. 1.C ∴.∠EA0=∠FCO. 2.有一组邻边相等的矩形是正方形 在△AE0和△CF0中， 3.①②（或①③） r∠EAO=∠FCO, 4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， A0=C0. ∴AB∥CD,.LAB0=∠EC0. L∠AOE=∠COF :O是BC的中点，.B0=C0 .△AEO≌△CFO(ASA),∴.OE=OF. 在△AOB和△EOC中， 又.OA=OC, )107g 见此图标「子微信扫码轻松做题，稳拿高分。8< 随堂小练0分钟 九年级数学·北师版·上册 4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 批1分钟知识速记 正方形的性质定理： (1)正方形的四个角都是 ,四条边 (2)正方形的对角线相等且互相 0 9分钟目标检测 >目标1掌握正方形的性质 1.若正方形的一条对角线长为1，则这个正方形的边长是 () A号 B.√2 Ci D 2.如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC,BD,CE平分∠ACD交BD于点 E,则DE的长是 A.2-2 B.22-1 D.2√2-2 D E H B 2题图 4题图 3.在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O,根据正方形的性质：对角线相等 且互相垂直平分，得∠BAO= 4.如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别是对角线AC上的两点，AI= AG,J=GH,则图中阴影部分的面积为 5.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形 (1)求证：AE=DE; (2)求∠AED的度数. 5题图 )10g 见此图标[宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。 8< 随堂小练♪0分钟 九年级数学·北师版·上册 6.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB,ED. (1)写出图中所有的全等三角形； (2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°，求∠AFE的度数. 6题图 >目标2能灵活运用正方形的性质 7.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边 作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+ d2+d3的最小值为 () A.2 B.2 C.22 D.4 B 7题图 8题图 8.“方胜纹”是由两个菱形互相压角穿插、相叠而成的纹样，寓意同心同德、同 舟共济.如图，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移得到正方形A'B'C'D', 形成一个“方胜纹”图案，若BB'=AB,B'D=2,则正方形ABCD的边长 为 9.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别是1 和3，求正方形ABCD的边长. B N 9题图 )11g 见此图标[宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。