1.4 正方形的性质与判定 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，分层设计基础巩固、能力提升、综合探究三阶练习，覆盖从概念理解到动态综合应用的知识路径，适配新授课课前预习需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质与判定基础概念|单选题1-5题对比正方形与矩形性质，强化概念辨析| |中档|性质应用与简单推理|填空题11-14题结合折叠、动点问题，提升空间观念| |拔高|综合探究与动态问题|解答题19-20题融入旋转、弦图背景，发展创新意识|

1.4 正方形的性质与判定 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 2．如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 4．如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 6．如图，要使平行四边形是正方形，需增加条件．在条件①，②，③，④中选取两个作为条件，不正确的是(　　) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 7．如图，已知，，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 8．下列命题中的假命题是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形． B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． D．对角线相等的四边形是矩形． 9．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，，、相交于点，关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加，则四边形为菱形； 乙：若添加，则四边形为矩形； 丙：若添加，则四边形为正方形． 他们说法正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都正确 二、填空题 11．如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 12．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是________． 13．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 14．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 15．如图，在正方形中，点在上，点在上，且，交于点，交于点，则线段、、之间的数量关系为___________． 三、解答题 16．如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．      (1)在图中，在上找一点F，使； (2)在图中，在上找一点G，使． 17．如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片,求图中空白部分的面积. 18．已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 19．如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将沿着BQ所在直线翻折得到，延长QE交BA的延长线于点M． (1)探求AP与BQ的数量关系； (2)若，，求QM的长． 20．综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A B B D D C B 1．【答案】D 【知识点】正方形性质理解、矩形性质理解 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意； B、正方形和矩形的四个角都是直角，所以对角都相等，故本选项不符合题意； C、正方形和矩形的对边都平行且相等，故本选项不符合题意； D、正方形对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项符合题意； 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查正方形的性质、角平分线定义和三角形外角的性质等，根据正方形性质得，根据角平分线定义求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点． 首先解直角三角形求出，然后根据正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 证明和全等得，对于选项、C、，无法证明即可，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，故选项A成立，符合题意； 无法证明、、， 故选：A 5．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 6．【答案】B 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是菱形， 当②时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意； B、四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是菱形， 当③时，菱形不一定是正方形，故此选项错误，符合题意； C、四边形是平行四边形， 当③时，平行四边形是菱形， 当②时，四边形是正方形，故此选项正确，不符合题意； D、当④时，平行四边形是矩形， 当③时，得出四边形是正方形，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了基本作图，矩形和正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键． 首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】根据题意得，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形 A．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意； B．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意； C．添加， ∵ ∴ ∴ ∴，故可证明矩形是正方形，不符合题意； D．添加，不能证明矩形是正方形，符合题意； 故选：D． 8．【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、判断命题真假 【分析】利用平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理，难度中等． 【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项原说法是假命题，符合题意； 故选：D． 9．【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用、根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵ ∴， 同理剩余的三个黑色直角三角形与与之对应的白色直角三角形全等， ∴图中四个黑色直角三角以及四个白色直角三角形彼此全等， ∴， ， ， ，解得， 正方形的面积． 10．【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】由题意可得垂直平分，则，若添加，则，证明得出，从而可得，即可判断甲说法正确；添加，无法证明四边形为矩形，即可判断乙说法错误；当添加时，，从而可得，当添加时，四边形为菱形，再结合，即可判断丙说法正确． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴垂直平分， ∴， 若添加，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故甲说法正确； 添加，无法证明四边形为矩形，故乙说法错误； 当添加时，， ∴， 当添加时，四边形为菱形； ∵， ∴四边形为正方形，故丙说法正确； 综上所述，说法正确的有甲丙． 11．【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 12．【答案】正方形 【知识点】证明四边形是正方形、中点四边形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 15．【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】把逆时针旋转得，连接，根据正方形的性质及旋转的性质得出，，，，，进而得出，利用可证明，得出，利用勾股定理即可得出． 【详解】解：如图，把逆时针旋转得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵把逆时针旋转得， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 16．【答案】(1) 如图1，即为所求    (2) 如图2，即为所求．      【知识点】正方形性质理解、无刻度直尺作图 【分析】（1）连接即可完成作图； （2）连接即可完成作图． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查几何作图，考查了正方形的对称性．掌握正方形的性质是关键． 17．【答案】-12+8cm2) 【知识点】求一个数的算术平方根、多项式乘多项式与图形面积、二次根式的应用、根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质求面积 【分析】根据正方形的面积可求出其边长，再求出长方形的边长与面积，用长方形的面积减去两个正方形面积即可. 【详解】解:∵两张正方形纸片的面积分别为16 cm2和12 cm2, ∴它们的边长分别为=4 cm,=2 cm, ∴AB=4 cm,BC=(2+4)cm, ∴空白部分的面积=(2+4)×4-12-16=8+16-12-16=(-12+8)cm2. 【点睛】此题主要考查二次根式的应用. 18．【答案】(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 19．【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）只需要证出，即可解题． （2）过点Q作于点H，易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1运用勾股定理可以求得AP，又因为DC//AB，可得，由折叠知识得，所以，可得MQ=MB．通过设定未知数，在中我们通过勾股定理就可以解决问题． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC， ∴， ∵BQ⊥AP ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）过点Q作于H，如图 ∵四边形ABCD是正方形， ∴QH=BC=AB=3， ∵BP=2PC， ∴BP=2，PC=1， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC//AB ∴， 由折叠知识得， ∴， ∴MQ=MB， 设QM=x，则有MB=x，MH=x-2， 在中， 根据勾股定理可得， 解得x=， ∴QM的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠之后完全相同，包括边的长度还有角的度数完全相等，再设未知数，然后运用勾股定理建立方程，这是求线段长度最常用的方法． 20．【答案】(1)， (2)解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． (3) 【知识点】二次根式的乘法、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． （2）解：略． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $