第1章 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形&易错疑难集训一-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 [答案P8] ①孝泉古镇是川西平原的一颗明珠，具有丰富的2用同样图案的正方形地砖（图①），可以铺成如 孝文化内涵和历史底蕴，孝泉古名阳泉县，仁寿 图②的正方形和正八边形镶嵌效果的地面图案 二年(602)废县，唐置姜诗镇，北宋真宗咸平年 (地砖与地砖拼接线忽略不计).已知正方形地 间因遭姜诗名讳，本其事迹，更名为孝泉镇.古 砖的边长为a,效果图中的正八边形的边长为 镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性.如 20cm. 图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复 合而成，求45 的值 边长为a的正方形 2题图① 2题图② 2题图③ (1)求a的值； (2)我们还可以在正方形地砖上画出与图①不 1题图 同的图案，使它能拼出符合条件的图②镶嵌 效果图，请你按这个要求，在图③中画出2 种与图①不同的地砖图案，并且所画的图形 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 18 第一章特殊平行四边形 易错疑难集训一 [答案P8] 圆错疑难点①对中点四边形和特殊平行四边形 圆错凝避点③利用特殊平行四边形的对称性求 理解不透彻 最值 如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB, ⑤如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别 BC,CD,DA的中点，则下列说法中，正确的个数 是边BC,CD上的动点，且BE=CF,连接BF, 是 DE,则BF+DE的最小值为 () ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是菱形，则AC与BD互相 平分； ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相 5题图 垂直且相等， A.25B.25 C.4√3 D.45 A.1B.2 C.3 D.4 6如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分别 、H 延长BD,DB至点E,F,使BF=DE=√2.连接 AE,AF,CE,CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； 0 A (2)求四边形AECF的面积； 1题图 3题图 圆错凝难点②符合题意的图形不唯二 (3)如果M为AF的中点，P为线段EF上的一 动点，求PA+PM的最小值. 2已知四边形ABCD为菱形，该菱形的周长为16， 面积为8，则∠ABC的度数为 3如图，正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、 y轴上，点D(6,4)在边AB上，以点C为旋转中 心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 D'的坐标为」 6题图 4如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,若点P在 AD边上，连接BP,PC,△BPC是以PB为腰的等 腰三角形，求PB的长， 4题图 lg同步练测·九年级数学·上册·北师版 ∴.△BMP≌△PNE(ASA),∴.PB=PE. 5题答图① 5题答图② (2)解：在点P运动的过程中，PF的长度不发生变化. 如答图②，连接OB.:O是正方形ABCD对角线AC的中 点，OB⊥AC,∠AOB=90°， ∴.∠OBP+∠BPO=90° .∠BPE=90° ∴.∠BPO+∠FPE=90°，.∠OBP=∠FPE. .·EF⊥AC,.∴.∠EFP=∠AOB=90 由(1)得PB=PE. LOBP=∠FPE, 在△OBP和△FPE中， ∠BOP=∠PFE, PB=EP. ∴△OBP≌△FPE(AAS),∴OB=PF. AB=2,△AB0是等腰直角三角形， .OB=2,∴.PF的长为√2. (3)解：PC=PA+√2EC.如答图①. .∠BAC=45°， △AMP是等腰直角三角形，∴PA=√2PM. 由(1)知PM=NE,.PA=√2NE. :△PCN是等腰直角三角形， .PC=√2NC=2(NE+EC)=√2NE+√2EC=PA+2EC, 即PC=PA+√2EC. ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.解：如答图，设OQ交AB于点P,AP=m 亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成， 0A=0B,0C=0D,0M=00,LA0B=×360°=90， ∠A00=LB00=g×3600=45, ..0QLAB.OP-AP-BP-748,OA-0Q-CQ-DQ- CD..LOPA9B=2AP2m, .0A=√OP2+AP2=√2AP=√2m, CD=2CQ=20A=22mCD-22m AB=2m=2 D 1题答图 2.解：(1)a=20×2 ×2+20=20√2+20. (2)如答图所示 2题答图 ·8… 易错疑难集训 1.A 2.30°或150°[解析]如答图①，当∠ABC为锐角时，过，点A 作AE⊥BC于点E.:菱形ABCD的周长为16，∴.AB=BC= 4.丈.菱形ABCD的面积为8，∴.AE=2,易得∠ABE=30° 即∠ABC=30°；如答图②，当∠ABC为钝角时，过点D作 DF⊥AB于点F.,菱形ABCD的周长为16，.AD=AB=4. 又：菱形ABCD的面积为8，.DF=2,易得∠DAF=30°， .∠ABC=150°.故∠ABC的度数为30°或150°. D D C B EC FB 2题答图① 2题答图② 3.(2,12)或(-2,0) 4.解：如答图①，当BC为底边时，PB=PC 易证△ABP≌△DCP, 所以AP=PD=子AD=子8C=3. 在Rt△ABP中，由勾股定理，得PB=√AB2+AP2= √42+32=5； 如答图②，当CP为底边时，则BP=BC=6. 综上所述，PB的长为5或6. B 4题答图① 4题答图② 5.D[解析]如答图①，连接AE.四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.又BE=CF,.△ABE≌ △BCF,.AE=BF,.BF+DE=AE+DE.延长AB到点H, 使得BH=AB,连接EH,DH,则EH=AE,∴AE+DE=EH+ DE≥DH如答图②，当D,E,H三，点共线时，AE+DE取最小 值，此时AE+DE=DH.在Rt△ADH中，DH=√A+AD2 =√⑧2+42=45，.BF+DE的最小值为4V5.故选D. D D Bi E B E H H 5题答图① 5题答图② 6.(1)证明：如答图，连接AC,交BD于点O. 四边形ABCD是正方形， ∴.BD⊥AC,B0=D0,A0=CO. BF=DE,..OD +DE =OB+BF,OE=OF, :.四边形AECF是平行四边形. 又，EF⊥AC,.四边形AECF是菱形 (2)解：.四边形ABCD是边长为1的正方形， .AB=AD=1,.BD=AC=√2，EF=32, 四边形4ECF的面积为74C,EF=子×万×3=3. (3)解：四边形AECF是菱形， .点A与点C关于直线EF对称 由(2)知EF=3V2,AC=N2, 0F=F-3200=宁4c-9 2 2 21 在Rt△0CF中，CF=√OC2+0F2=5 如答图，连接CM,交EF于点P,连E 接PA.此时PA+PM的值最小（当 C,P,M三点不共线时，PC+PM> CM),最小值等于CM的长，过点 C作CN⊥AF于点N,则AC2-AW2 CN2=CF2-NF2 设AW=x,(2)2-x2=(5)2 6题答图 -(5-x)2,解得x= 5 ÷MN=分AF-Aw=3S 10 ·CM2-MN2=AC2-AN2 .CM2- -2-(c= 故PA+PM的最小值为号 本章考点检测训练 1.B2号 3.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .∴.OB=OD,OA=OC,AC⊥BD. BE=DF,∴.OE=OF, ∴.四边形AECF是平行四边形. AC⊥BD,∴.平行四边形AECF是菱形. (2)解：AE⊥AD,.△ADE是直角三角形. ,F为DE的中点，∴.AF=EF=DF 四边形AECF是菱形， .AE=AF,.'.AE EF AF, ∴.△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°， ∠ADE=30°，.DE=2AE. 四边形ABCD为菱形，∴.AD=AB=6√5. 在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2, .AE2+(65)2=(2AE)2,.AE=6, ∴.菱形AECF的周长为4×6=24. 4.A5.25 6.(1)证明：.：四边形ABCD是菱形， AC8D.A0-0G-AC0 DE-AC..DE-OC. DE∥OC,∴.四边形OCED是平行四边形 又：∠D0C=90°，∴.平行四边形OCED是矩形. (2)解：：四边形ABCD是菱形，DB=6,AC=8, ∴菱形ABCD的面积=2AC,BD=分×8×6=24， 7.2√58.23 9.D[解析]如答图，过点N作NH⊥CD,垂足为H.正方形 纸片ABCD的边长为12，.N=AD=12.:MN=13,NH⊥ CD,.在Rt△NHM中，MH=√MW2-N㎡=√132-122= 5.易知DE⊥MN,∴.∠EDC+∠HMN=90°..'NH⊥CD, ∴.∠HMN+∠MNH=90°，∴.∠EDC=∠MNH.又易知DC= 参考答案及解析 NH,∠C=∠NHM=90°，.△EDC≌△MNH,∴.CE=HM= 5.设DM=x,由翻折的性质可知EM=x,则MC=12-x.在 Rt△MCE中，由勾股定理，得EM2=CM+CE2,即x2= （2-2+5,解得=”DM=票截选D 24 DH M W 9题答图 10.√6 11.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠A=∠C=90°. 由折叠，得FD=CD,∠DFE=∠C=90°， .AD=FD,∠DFG=90. 在△4DG有△mG中，C: :.Rt△ADG≌Rt△FDG(HL). (2)解：AD=DC=BC=AB=2√5，E是BC的中点， .BE-CE-BC-5FE-BE-/5. 由(1)知Rt△ADG≌Rt△FDG,.∴.FG=AG, ..BG=25-AG,EG=5+FG=5+AG. LB=90°，.BE2+BG=EG2, .(5)2+(25-AG)2=(W5+AG)2, 解得4G=-354G的长是5 12.解：(1)AF=DE.理由如下：四边形ABCD是正方形， .AD=BA,∠DAE=∠ABF=90° AE=BF,.△DAE≌△ABF,AF=DE. (2)①如答图所示. K D H E B 12题答图 ②四边形JK是正方形.理由如下： :H,L,J,K分别是AE,EF,FD,DA的中点， I=W=AB,K=J=ED,∥AF,K∥DE ·AF=DE,HⅢ=KJ=HR=IJ,.四边形HJK是菱形. :△DAE≌△ABF,,∠ADE=∠BAF ∠ADE+∠AED=90°，∴∠BAF+∠AED=90°， ∴.∠A0E=90°. 又，Hl∥AF,HK∥DE,.易得∠KHI=90°， .菱形HK是正方形 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 课时1认识一元二次方程 【基础巩固练】 1.D2.a≠43.B 4.x2-2x-15=0-21-15 ·9…