第十五章 数学活动 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦轴对称的判断、设计及等腰三角形中线段关系，通过“美术字观察—图案设计—线段推理”的脉络，搭建从直观发现到数学说明的学习支架，涵盖折叠验证、关键点作图、全等或性质证明等具体方法。 资料以活动为载体，通过美术字轴对称判断培养几何直观，图案设计强化空间观念，等腰三角形线段猜想与证明发展推理意识。课中助力教师引导探究，课后易错辨析和变式训练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜第十五章 数学活动 第十五章《数学活动》讲义 2026—2027学年｜人教版数学八年级上册（2025秋版）｜数学活动课讲义｜建议课时：1课时 内容定位　围绕“美术字中的轴对称—利用轴对称设计图案—等腰三角形中相等的线段”开展观察、设计、作图、验证和交流，经历从直观发现到数学说明的完整活动过程。 一、学习目标与素养指向 1. 能依据折叠重合或对应点连线被对称轴垂直平分，判断美术字或图案是否具有轴对称性。 1. 能选定基本图形和对称轴，利用关键点的对称点完成轴对称图案，并检查对应关系。 1. 能在等腰三角形中提出线段相等的猜想，选择全等三角形、等腰三角形性质或轴对称性质说明理由。 1. 能记录方案、作图痕迹和推理依据，并从数学正确性、清晰性和创意三方面评价活动成果。 素养指向　几何直观、空间观念、审美意识、创新意识与合作交流。 二、课时安排与学习成果 课时 核心任务 可观察的学习成果 第1课时 活动一：美术字与轴对称 观察字形的整体轮廓和关键点，画出候选对称轴；用折叠重合或对应点关系检查，不能只凭“看起来相似”判断。 三、课前衔接与诊断 1. 判断两个点关于一条直线对称，需要检查哪两个条件？ 1. 作一个图形关于直线的轴对称图形时，为什么只需确定关键点的对称点？ 1. 等腰三角形的哪一条线所在直线是它的对称轴？ 四、活动问题与方案设计 问题情境　围绕“美术字中的轴对称—利用轴对称设计图案—等腰三角形中相等的线段”开展观察、设计、作图、验证和交流，经历从直观发现到数学说明的完整活动过程。 由半幅图形设计轴对称图案（示意图不作为测量依据） 知识或活动要点 规范表述、成立条件与使用范围 活动一：美术字与轴对称 观察字形的整体轮廓和关键点，画出候选对称轴；用折叠重合或对应点关系检查，不能只凭“看起来相似”判断。 活动二：利用轴对称设计图案 先设计对称轴一侧的基本图形，再逐个作关键点的对称点，按原顺序连接；保留垂线和等距标记。 活动三：等腰三角形中相等的线段 从等腰三角形的对称性出发寻找成对线段，区分由题设直接得到、由性质得到和需要证明得到的关系。 评价依据 结论有依据、图形标注准确、操作步骤可复核；审美与创意必须建立在数学关系正确的基础上。 五、操作或计算、数据记录与规律发现 1. 活动一先收集若干笔画清楚的美术字或标志，逐个画出可能的对称轴，再通过描图纸翻折或量取对应点到轴的距离进行核验。记录“有几条对称轴、轴的位置、判断依据”，不把字体风格造成的近似对称当作严格轴对称。 1. 活动二先在方格纸上确定对称轴和轴一侧的基本图形，标出端点、折点、圆心等关键点；逐点作对称点并按原顺序连接。完成后检查对应线段长度、对应角大小以及对应点连线与对称轴的关系。 1. 活动三在等腰△ABC中选取底边中点、腰上等距点或对称位置的点，提出线段相等的猜想。先用轴对称直观解释，再选择等腰三角形性质或构造全等三角形作出规范说明。 1. 数据和图形记录应区分“测量值”和“数学结论”。测量值允许有误差，只用于支持猜想；一般性结论必须由定义、性质或推理得到。 1. 小组交流按“任务—方案—作品或数据—判断依据—存在问题—改进意见”展示。评价不仅看图案美观，还检查对称轴、对应点、连接顺序和证明依据是否准确。 折叠等腰三角形观察三线合一（示意图不作为测量依据） 六、推理论证、交流评价与反思改进 方法模型 适用情形 规范步骤与检查 观察与核验 美术字或现成图案 先找候选对称轴，再用折叠重合或对应点连线被轴垂直平分进行检查。 关键点作图 设计轴对称图案 确定轴和半幅图—标关键点—作对称点—按序连接—复核标记。 猜想与证明 等腰三角形中的线段关系 观察对称位置提出猜想；写清已知与求证；选择性质或全等三角形证明。 交流评价 展示活动成果 从数学正确、过程可复核、表达清晰、设计有创意四方面给出证据。 活动证据　保留候选对称轴、关键点作图痕迹、测量记录和证明依据；测量只支持猜想，性质或全等推理才说明一般结论。 七、重点与高频考点 ★重点 每个活动都形成“问题—方案—操作记录—规律—说明—评价”的证据链。 ★高频 作对称图案时只需作出关键点的对称点，但必须按原图形的连接顺序连接。 ★易错 局部图形分别对称，不等于整个图形关于同一条直线成轴对称。 ★跨学科 美术字、剪纸和建筑纹样可作为观察对象，但判断依据仍是轴对称的数学定义与性质。 八、易错辨析 辨析1　错误观点或解法：左右两部分形状相似的美术字一定是轴对称图形。分析：错误。必须沿某条直线折叠后完全重合。 辨析2　错误观点或解法：作对称图形时可以改变关键点的连接顺序。分析：错误。连接顺序改变可能得到另一个图形。 辨析3　错误观点或解法：测量出两条线段近似相等就完成了证明。分析：错误。测量存在误差，只能帮助发现规律。 九、经典例题与方法迁移 经典例题｜判断设计是否合格 题目　图案中点A与A′位于直线l两侧，AA′⊥l，但A、A′到l的距离分别为2 cm和3 cm。A与A′是否关于l对称？ 分析　对应点连线被对称轴垂直平分，必须同时满足垂直与平分。 解　不是。虽然AA′⊥l，但l没有平分AA′，因此A与A′不关于l对称。 经典例题｜等腰三角形中的线段 题目　在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。说明AD平分∠BAC。 分析　由等腰三角形三线合一，底边上的中线也是顶角平分线。 解　因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD是底边BC上的中线。由等腰三角形三线合一，∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC。 十、变式训练 变式1　点P到直线l的距离为2.5 cm，P′是P关于l的对称点，求PP′。 参考解答　l垂直平分PP′，所以PP′=2×2.5=5 cm。 变式2　在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC。写出由三线合一可得的两个结论。 参考解答　BD=CD，∠BAD=∠CAD。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 一对对应点的连线被对称轴________。 1. 作点A关于直线l的对称点A′时，应使l垂直平分线段________。 1. 在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，则BD________CD。 1. 判断：只要图案左右两部分面积相等，图案就一定关于中线成轴对称。（　　） 检测答案　1. 垂直平分；2. AA′；3. =；4. ×。 本课小结 美术字和图案的对称性要用折叠重合或对应点性质检验。 轴对称设计的核心是“确定关键点—作对称点—按顺序连接—复核垂直与等距”。 等腰三角形中的线段关系应从对称结构出发，再用性质或全等证明把猜想转化为可靠结论。 自我检查：能否不看讲义说出核心结论的条件、结论、规范表达和一种结果检验方法？ 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $