2.3 直线的交点坐标与距离公式讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦“直线的交点坐标与距离公式”核心知识点，系统梳理交点求解、三种距离（两点间、点到直线、平行线间）计算、三角形形状判断、对称问题及应用，搭建解析几何基础支架，衔接直线方程与后续几何综合应用。 资料通过分层例题（含高三一轮、高二阶段检测题）与“一隅三反”变式训练，融入“将军饮马”等情境，以数学眼光发现问题，通过逻辑推理（如交点位置判断、对称推导）发展数学思维，用坐标方程表达几何关系提升数学语言能力。课中助力教师分层教学，课后辅助学生巩固查漏。

2.3 直线的交点坐标与距离公式 考向一 交点 【例1-1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【例1-3】．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1-4】．（24-25江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【例1-5】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 2．（25-26高二上·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____. 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 4．（23-24高二上北京）直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 6．（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）已知集合，集合，且，则 考向二 三种距离 【例2-1】（1）（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为 （2）（25-26高二北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为 【例2-2】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）点到直线的距离是 （2）（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是 【例2-3】（1）（25-26高二下·重庆·期末）直线与间的距离为 （2）（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则 【一隅三反】 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 2．（2026河南）点到直线的最大距离是______． 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为 4．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为 考向三 顶点坐标判断三角形的形状 【例3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【例3-2】（26-27高二上·河南新乡·开学考试）（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【例3-3】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知,,三点,则的形状是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 3．（24-25高二上·广东佛山·期中）（多选）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 考向四 对称问题 【例4-1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为 【例4-2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是 【例4-3】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为 【一隅三反】 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为 4．（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 考向五 对称的应用 【例5-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【例5-2】（23-24高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【一隅三反】 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则 2．（25-26高二上·广东东莞）已知实数满足，则的最小值为________ 3．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 4.（25-26福建）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【题组一 交点】 1．（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为 2．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是 3．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为 4．（23-24高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是 5．（25-26湖南）已知、，则函数的最小值是    【题组二 三种距离】 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为 2．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为 3．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 4．（25-26河北）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 5．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【题组三 顶点坐标判断三角形的形状】 1．（25-26福建）已知点A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)，则的形状是 （   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（24-25高二上·湖北·期中）（多选）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26广东）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____. 4．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【题组四 对称问题】 1．（25-26高二·福建莆田）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 2．（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数 5．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（多选）已知直线，下列说法正确的是 ①点关于的对称点的坐标是； ②直线关于的对称直线的方程是； ③直线关于点的对称直线的方程是； ④过点，垂直于直线的直线的方程是 6．（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是 【题组五 对称的应用】 1．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 3．（25-26湖南）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为 4．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知实数、满足，则的最小值为_________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 考向一 交点 【例1-1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 【例1-2】（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【解析】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 【例1-3】．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得，即实数的取值范围是． 【例1-4】．（24-25江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 【例1-5】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A. 【一隅三反】 1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 【答案】 【解析】令所求直线为，又直线过原点，则， 所以所求直线为.故答案为： 2．（25-26高二上·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____. 【答案】-35 【解析】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合，所以，解得， 所以 ，故答案为：-35 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时，当直线与线段没有公共点， 则或.故答案为：. 4．（23-24高二上北京）直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】因为直线与直线，即相交， 所以，解得.所以m的取值范围为. 故答案为： 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得，即实数的取值范围是 6．（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）已知集合，集合，且，则 【答案】或 【解析】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 考向二 三种距离 【例2-1】（1）（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为 （2）（25-26高二北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为 【答案】（1）5或（2）3 【解析】（1）因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. （2）已知点和点，根据两点间距离公式可得： ，故当时，. 【例2-2】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）点到直线的距离是 （2）（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是 【答案】（1）3（2）5 【解析】（1）点到直线的距离为. （2）把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得，即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 【例2-3】（1）（25-26高二下·重庆·期末）直线与间的距离为 （2）（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则 【答案】（1）（2）0 【解析】（1）直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. （2）∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）．． 【一隅三反】 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【解析】点和点，且，则，解得或． 故答案为：8或． 2．（2026河南）点到直线的最大距离是______． 【答案】 【解析】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：，当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ，因此点到直线的最大距离为. 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为 【答案】．或 【解析】因为、两点到直线的距离相等，则，即， 可得或，解得或. 4．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为 【答案】-14或6 【解析】直线可化为，因为直线与直线间的距离为1，所以，解得或. 考向三 顶点坐标判断三角形的形状 【例3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【解析】，，， ，所以三角形是直角三角形. 故选：C 【例3-2】．（26-27高二上·河南新乡·开学考试）（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【解析】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 【例3-3】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【解析】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【一隅三反】 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知,,三点,则的形状是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】，，，因为，且 故该三角形为等腰直角三角形.故选：D. 2．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 【答案】BCD 【解析】①三条直线交于同一点，联立方程组得，解得，即. ②三条直线中由两直线平行，，，， ∵∴当时，，即， 当时，，即，∴， 故选：BCD. 3．（24-25高二上·广东佛山·期中）（多选）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【解析】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得.所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确，故选：AC. 考向四 对称问题 【例4-1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 【例4-2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是 【答案】 【解析】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 【例4-3】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为 【答案】 【解析】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，，代入，得， 即所求直线的方程为． 【一隅三反】 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【解析】设关于直线对称点坐标为，则，解得，所以对称点为.故答案为：. 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为 【答案】 【解析】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为，整理可得. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为 【答案】 【解析】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 4．（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【解析】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得，所以在直线上，代入即可得，化简的，即.故答案为： 考向五 对称的应用 【例5-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 【例5-2】（23-24高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【解析】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 2．（25-26高二上·广东东莞）已知实数满足，则的最小值为________ 【答案】 【解析】，， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，如图所示：设点关于直线的对称点为，得， 解得，得， ，等号成立时，三点共线，故答案为： 3．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 4.（25-26福建）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【解析】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             【题组一 交点】 1．（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为 【答案】1或-2 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 2．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是 【答案】 【解析】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点，∴， 解得.∴m的取值范围是. 3．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为 【答案】 【解析】由得，因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 4．（23-24高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是 【答案】 【解析】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点，所以，其中，解得； 综上所述，. 5．（25-26湖南）已知、，则函数的最小值是 【答案】5 【解析】函数的几何意义是点和点与的距离的和．由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为．    【题组二 三种距离】 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为 【答案】1或 【解析】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或 2．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为 【答案】-14或6 【解析】由题，直线，则两直线距离为或6. 3．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【答案】 【解析】点到直线的距离是. 4．（25-26河北）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【解析】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 5．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 【题组三 顶点坐标判断三角形的形状】 1．（25-26福建）已知点A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)，则的形状是 （   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】|AB|==，|AC|==5，|BC|=， ∴|AC|2=|AB|2+|BC|2，∴为直角三角形.故选:B 2．（24-25高二上·湖北·期中）（多选）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设，，， 由，解得， 所以与的交点为， 因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或， 当过与的交点时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的值为. 故选：ABD. 3．（25-26广东）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【解析】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 4．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【解析】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 【题组四 对称问题】 1．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【解析】设点，由点与点关于直线对称，得，解得， 所以点的坐标为.故答案为： 2．（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为 【答案】 【解析】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为 【答案】 【解析】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数 【答案】-2 【解析】因为不在直线上，且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行，即，解得. 在直线上取一点，关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 5．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（多选）已知直线，下列说法正确的是 ①点关于的对称点的坐标是； ②直线关于的对称直线的方程是； ③直线关于点的对称直线的方程是； ④过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】①②③ 【解析】①设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线，即，解得，所以点的坐标为，①正确. ②解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程②正确. ③在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即③正确. ④直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故④错误. 6．（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是 【答案】 【解析】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 【题组五 对称的应用】 1．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【答案】 【解析】， 表示点到点和的距离之和， 如图所示， 点是关于轴的对称点，所以， ， 故最小值为， 此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 3．（25-26湖南）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为 【答案】 【解析】 如图，设关于直线对称的点为， 则得即， 易知， 当三点共线时， 取得最小值， 最小值为.    4．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知实数、满足，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】设点，记点、， 则，如下图所示： 点关于直线的对称点为，由对称性可知， 所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $