2.3直线的交点坐标与距离公式讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的交点坐标与距离公式，系统梳理两直线位置关系（相交、平行、重合、垂直）的判定，三大距离公式（两点间、点到直线、平行线间）的应用，以及对称模型（中心对称、点关于直线对称、光线反射）的转化，构建从基础判定到综合应用的递进学习支架。 该资料以十大题型分类为核心，结合通用解题步骤与技巧（如点关于直线对称的固定方程组模板、光线反射转化为对称点问题），培养学生用数学思维分析问题的能力。高频易错点与应试技巧助力规范数学语言表达，丰富的专项训练课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

2.3直线的交点坐标与距离公式 知识点 + 题型解题技巧 一、北京高考考纲核心要求 1. 会联立二元一次方程组求两直线交点，能通过方程组解的个数判断直线相交、平行、重合； 2. 熟练掌握三大距离公式：两点间距离、点到直线距离、平行线间距离； 3. 利用直线平行、垂直的斜率关系求解直线方程； 4. 掌握点关于直线对称、光线反射几何模型（北京期中、高考小题高频考点）； 结合距离、交点求解三角形面积、参数取值范围、几何最值综合题型。 二、基础核心知识点 （一）两直线位置关系与交点 设直线， 1.相交：(-≠0)，联立方程组有唯一解，解为两直线交点坐标； 2.平行（不重合）：，对应方程组无解； 3.重合：，对应方程组有无穷多解； 4.垂直：（无需讨论斜率是否存在，万能公式）； 5.过两直线交点的直线系：，直线恒过和交点，该式无法表示直线。 （二）三大距离公式（必考计算） 1.两点间距离 已知，距离公式： 特殊：纵坐标相等；横坐标相等。 2.点到直线距离 点，直线 ⚠️易错：直线必须化为一般式，分子带绝对值。 3.两条平行线距离 ，（完全相同） ⚠️易错：系数不同先同乘倍数统一A、B再计算。 （三）对称核心模型（北京期中高频小题） 1.两点中心对称（中点） 对称中心：。 2.点关于直线对称→A'(m,n)) 满足两条方程（联立求解）： 1 (AA'⊥)对称轴：； 2 (AA')中点在对称轴上。 3.特殊对称轴速算 关于x轴对称：(x,y)→（） 关于y轴对称：(x,y)→（） 关于对称：(x,y)→(y,x) （4） 光线反射原理（几何转化核心） 入射光线→反射光线等价：入射点关于反射直线的对称点在反射光线上； 求最短路径：作其中一点关于反射直线对称，两点连线长为最短距离。 三、十大题型分类 + 通用作答思路 + 解题技巧 题型一：两直线交点问题（基础必考） 考法 1：求交点、过交点求直线 通用步骤 1. 联立两条直线方程，解二元一次方程组，得交点； 2. 平行直线斜率相等 ，垂直斜率乘积 ； 3. 点斜式 化为一般式。 技巧：直线系 可跳过求交点，直接设方程代条件。 考法 2：三条直线不能围成三角形 三种情况（全部要写） 1. 一条直线与另一条平行； 2.三条直线交于同一点（第三条过前两条交点）； 技巧：先求两直线交点，代入第三条方程；再分别讨论两组平行。 考法 3：方程组无解→直线平行 直接用平行判定列等式求参数。 题型二：交点结合含参范围（难点） 考法：交点在一 / 四象限求范围 步骤 1.联立方程，用参数表示交点； 2.根据象限符号列不等式组（一象限；四象限）； 3.解分式不等式，注意分母正负讨论。 技巧：分式统一移项，不要两边直接乘分母。 题型三：两点间距离基础计算 1. 求边长、中线长：先中点坐标，再套距离公式； 2. 判断三角形形状：算三边，相等等腰、平方和相等直角； 3. 坐标轴上找点满足：设点（y轴），距离平方相等去根号简化计算。 题型四：两点距离几何最值（数形结合） 代数式几何意义：x轴动点到两定点距离和； 技巧：两点连线为最小值，不用求导，直接算定点距离。 题型五：点到直线距离基础计算 1. 直接代公式：先化一般式，再代入； 2.“相关直线” 判定：点到直线距离d≤定长（存在点满足距离等于定长）。 题型六：距离求三角形面积（解答常考） 通用模板： 1.求一条边直线方程； 2.求对顶点到这条直线的距离（高）； 3.边长用两点距离，S=×底×高； 简便技巧：坐标轴围成图形可用割补法，不用距离公式。 题型七：已知距离反求参数 1. 平行直线类：设同系数平行直线，代入平行线距离公式列式； 2. 两点到同一直线距离相等：分两类讨论 ① 直线经过两点中点；② 直线与两点连线平行； 3. 定点直线距离最大值：直线恒过定点，点到直线距离最大值 = 已知点到定点的线段长度。 题型八：点关于直线对称求解 万能固定方程组模板，直接套用计算： 设目标对称点坐标 速算技巧：对称轴为时，直接交换 x、y 坐标，省去方程组计算。 题型九：光线反射问题 1. 求反射直线方程：求入射点关于反射镜面的对称点，连接对称点与反射经过定点，即为反射直线； 2. 最短光路长度：对称点与另一点的线段长 = 光线总路径长度； 3. x/y 轴反射：直接使用坐标对称变换规则快速写点。 题型十：平行线间距离计算 核心注意事项：两条直线 A、B 系数必须完全相同，系数不一致时，等式两边同乘倍数统一系数，再代 入距离公式计算。 四、高频易错扣分点 1. 计算平行线距离前，未统一 A、B 系数，直接代入常数计算出错； 2. 判断直线垂直只依靠斜率乘积，忽略竖线、横线斜率不存在的特殊情况，优先使用； 3. 三条直线不能围成三角形，遗漏 “三线共点” 情况，只讨论平行； 4. 求点的对称点，只列垂直方程，忘记中点在对称轴上的条件； 5. 距离公式分子遗漏绝对值、遗漏根号； 6. 直线系无法表示，填空题易漏解； 7. 分式不等式直接两边乘分母，未讨论正负，不等号方向出错。 五、北京高考应试答题技巧 1. 选择填空题优先数形结合：对称、距离最值类题目画图快速排除错误选项； 2. 参数类题目先列等式 / 不等式，再统一计算，禁止心算； 3. 解答题求直线、面积分步书写：联立方程→求交点→求斜率→代入公式，按步骤拿分； 4. 对称、反射大题先写几何转化文字（作 XX 点关于 XX 的对称点），再列式，踩分点清晰； 5. 含参分类讨论题，平行、共点两类情况必须完整书写，不可缺项。 题型专项训练 题型一：两直线交点问题 1．（21-22高三上·北京丰台·期末）若关于的方程组无解，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题意得方程组无解，等价于直线和直线平行，进而求解. 【详解】可得方程组无解，等价于直线和直线平行，则， 解得. 故选：C. 2．（25-26高二上·北京·期中）经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程. 【详解】联立，解得， 因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率为， 所以所求直线方程，即 故答案为： 3．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知直线与直线交于点A，过点A且与直线平行的直线方程为______. 【答案】 【分析】设满足题意的直线方程为，然后代入直线与直线交点坐标可得答案. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 直线与直线交点满足， 将代入，得，故， 则满足题意的直线方程为：. 故答案为： 4．（24-25高二上·北京大兴·期中）直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积. 【详解】令中，得，所以与轴交于， 令中，得，所以与轴交于， 由可得，所以两直线交于， 所以围成的四边形面积为， 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·开学考试）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的一般式方程； (2)求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】(1) (2)    【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程. （2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标. 【详解】（1）∵，∴且，∴， ∵，∴直线：，即 （2）∵，∴，∴ 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线： 联立方程，解得 即 6．（22-23高二上·宁夏银川·阶段检测）过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为____________ （用一般式表示） 【答案】 【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可； 【详解】由题意可得，解得交点坐标为， 又所求直线的倾斜角为，故斜率为， 所以直线方程为， 故答案为：. 7．（23-24高二上·北京·阶段检测）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程. 【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 8．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为_____________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值________________． 【答案】 答案不唯一（只需写出中的一个即可） 【分析】联立方程组解得交点坐标；列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】解方程组，得，所以与的交点坐标为； 由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形， 只需经过，或与平行，或与平行. 当经过时，图1所示，，； 当与平行时，图2所示，，； 当与平行时，图3所示，，. 故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.   图 1   图 2   图 3 9．（23-24高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为________. 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再由题意设直线方程为，将交点代入解出，即可得出答案. 【详解】联立直线和得，则得其交点为. 因为直线与直线平行， 所以设直线方程为，将点坐标代入得， ∴直线方程为，即， 故答案为：. 10．（23-24高二上·北京·期中）已知直线经过两直线与的交点，且垂直于直线. (1)求直线的方程； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积S. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求两直线的交点P，再利用直线垂直的关系计算求的方程即可； （2）根据直线方程及三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）联立，则， 由题意可知的斜率为，所以直线的斜率为， 故直线的方程为：； （2）由上可知，， 即直线与坐标轴的交点分别为， 故. 题型二：结合交点求解含参问题 1．（20-21高二下·浙江绍兴·期末）已知直线，若，则__________：若曲线：与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 ； 【分析】第一空：根据两直线平行的关系列出关于的方程，解得的值，然后代入直线方程检验即可得出实数的值； 第二空：，将直线化为，恒过，结合图像即可求出实数的取值范围. 【详解】解：因为， 所以，即， 经检验； ， 直线化为，恒过， 画出函数图像，如图： 因为曲线：与直线有两个公共点， 所以或或， 即. 2．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 4．（23-24高二上·北京朝阳·阶段检测）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到，解方程得到，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围. 【详解】联立得，所以，解得， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：B. 5．（22-23高二上·北京顺义·期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案. 【详解】直线与直线的交点为， 所以. 故选：A. 6．（22-23高二上·北京·阶段检测）已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数__________． 【答案】或或 【分析】分别讨论或或过与的交点时，即可求解. 【详解】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：； ②当时，不能构成三角形，此时：，解得：； ③当过与的交点时，不能构成三角形，此时： 联立与，得，解得， 所以与过点，将代入得：，解得； 综上：当或或时，不能构成三角形. 故答案为：或或. 7．（20-21高二上·北京·期中）直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可. 【详解】解：直线与的交点在第四象限， ， 联立方程： ， 解得， 即， 解得：. 故选：C. 8．（19-20高三上·辽宁抚顺·期中）两条直线与相交于第一象限，则实数a的取值范围是_________. 【答案】﹣1＜a＜2 【分析】联立方程组解出交点坐标，解不等式即可解决． 【详解】解：由得 ∵两直线ax+y﹣4＝0与x﹣y﹣2＝0相交于第一象限 ∴ 解得：﹣1＜a＜2 故答案为﹣1＜a＜2 【点睛】本题主要考查直线交点坐标的求解，和不等式的应用．属于基础题． 9．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知两直线：和：， (1)若与交于点，求的值； (2)若，试确定需要满足的条件． 【答案】(1) (2)当或时， 【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可； （2）根据平行列出方程，解出，再排除重合的情况即可. 【详解】（1）将点代入两直线方程得：和， 解得. （2）由得：， 又两直线不能重合，所以有，对应得， 所以当或时，． 10．（20-21高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由直线与联立求出交点的坐标，再由题中条件，得到过点，或分别与、平行，进而可求出结果. 【详解】由解得，即直线与的交点为， 因为直线，，不能构成三角形， 所以过点，或分别与、平行， 若过点，则，即； 若，则，即； 若，则，所以. 综上，的可能取值为. 故选：C. 题型三：求解两点间距离 1．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 2．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知点和，则等于______． 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式求解. 【详解】. 故答案为： 3．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 4．（19-20高二上·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 5．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【详解】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 6．（23-24高二上·北京丰台·阶段检测）已知点，，那么两点之间的距离等于________. 【答案】3 【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答. 【详解】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3. 故答案为：3. 7．（22-23高二上·北京朝阳·期中）已知点，，轴上一点满足，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件设点的坐标，由于，根据两点之间的距离公式列式求解即可得点的坐标. 【详解】解：由于点在轴上，设 又，， 所以，解得 故点的坐标为. 故选：B. 8．（21-22高二上·北京·期中）已知，过点且与直线垂直的直线为l． (1)求l的方程； (2)设l与坐标轴的交点分别为M和N，求． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求出直线的斜率，再由直线与直线垂直求出直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线的方程， （2）分别令求出直线与坐标轴的交点，再利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 因为直线过点， 所以直线的方程为，即， （2）由（1）可知直线为， 当时，，当时，， 不妨令，则. 题型四：结合两点间距离解决参数问题 1．（21-22高二上·北京·阶段检测）已知点，且，写出直线AB的一个方程____ 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据两点间的距离公式，求出的值，然后写出点的坐标，从而可求直线AB的一个方程. 【详解】根据两点间的距离公式，得， 即。所以， 所以或， 当时，，直线的方程为； 当时，，直线的方程为. 故答案为：.(答案不唯一) 2．（20-21高二上·北京·期中）已知点，，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 【答案】C 【解析】根据两点间的距离公式可解得结果. 【详解】因为 ， 所以，即，解得或， 故选：C 3．（17-18高一·全国·课后作业）点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______． 【答案】或 【分析】由点M到x轴距离等于10可知其纵坐标，设点M的坐标，根据两点间的距离列式求解即可. 【详解】因为点M到x轴距离等于10可知其纵坐标为，又点M到N,距离也为10，且N在第二象限，可知M的纵坐标为10，设为， 由两点间距离公式：，解得：或2， 所以点M的坐标为：或. 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的坐标特征与两点间距离公式，由题意设点的坐标列式求解即可，注意计算的准确性及多种情况求解. 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析，直线的方程为； (2)或或. 【分析】（1）利用坐标代换法求出方程即可得证. （2）求出过点与直线垂直的直线方程及垂足的坐标，再按直角顶点情况分类求解. 【详解】（1）设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 5．（20-21高二上·北京·期末）已知点，且，则直线AB的方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】通过的距离，求出，与，然后求出的斜率，利用点斜式求出直线的方程． 【详解】解：因为点，，且， 所以，所以，所以，所以， 所以， 所以直线的方程：． 即或． 故选：． 6．（24-25高二上·北京·阶段检测）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 7．（22-23高二上·江苏连云港·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为， 记点、、，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为. 故选：C. 36．（19-20高二下·北京·期末）函数的最大值为_________. 【答案】 【解析】根据题意，其几何意义为点到点，两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】解：因为 ， 其几何意义为点到点，两点的距离之和， 即， 因为点在抛物线上，点在抛物线内，点在抛物线外， 所以，当，，三点共线，且在之间时，取得最大值，为（，，三点不共线时，可构成三角形，此时两边之差小于第三边）， 因为， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属于常考题型.. 题型五：求解点到直线距离 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用点线距离公式求点线距离. 【详解】点到直线的距离是. 故选：B 3．（25-26高二上·北京·期中）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”.下列直线中不是点的“相关直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当点到直线的距离时，直线为点的“相关直线”，据此依次分析选项，计算点到直线的距离，分析可得答案． 【详解】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使，此时直线为点的“相关直线”， 对于A，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故A不符合； 对于B，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故B不符合； 对于C，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故C不符合； 对于D，到直线的距离，则该直线不是点的“相关直线”，故D符合. 故选：D. 4．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为_________；点到直线的距离为___________. 【答案】 2 / 【分析】令，可得直线在轴上的截距；利用点到直线的距离公式直接可得结论. 【详解】令，可得， 所以直线在轴上的截距为. 点到直线的距离为. 故答案为：2； 5．（23-24高二上·北京大兴·期中）点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离等于. 故选：C 6．（22-23高二上·北京昌平·期中）点到直线：的距离是______ 【答案】 【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线：的距离是. 故答案为：. 7．（22-23高一下·云南曲靖·期末）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合直线截距的定义，求得直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，结合点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由直线方程，令，解得，则直线过， 由直线的倾斜角为，则该直线的斜率， 故直线方程为：，化简可得：， 则点到直线的距离. 故选：C. 8．（23-24高二上·新疆·阶段检测）点到直线的距离为__________. 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式直接求解即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为：. 题型六：利用点到直线距离求解面积问题 1．（23-24高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点分别是. (1)求边AB所在直线的方程，以及这条边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）求出直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线及边上的高所在直线的方程. （2）求出，并利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可求出的面积. 【详解】（1）依题意，直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即， 边上的高所在直线的斜率为1，方程为，即. （2）由两点间的距离公式得， 点到直线的距离， 所以的面积为. 2．（25-26高二上·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； （2）因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； （3）依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 3．（22-23高二上·北京·期中）已知的顶点为，，． (1)求边所在的直线的方程； (2)求边的高线所在的直线的方程； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）直接由点坐标得到两点式方程，化简即可； （2），则边上高线的斜率为，直接写出点斜式方程，化简即可； （3）首先求出到直线的距离，再求出的长，则可计算出三角形面积. 【详解】（1）直线的两点式方程为，化简得，故边所在的直线方程为. （2）由（1）知，故边上高线的斜率为， 故其所在直线方程为，化简得 （3）边所在的直线方程为，故到直线的距离 , 故 4．（20-21高二上·北京东城·期中）的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求三角形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意用两点式求直线的方程； （2）先求出的中点，再用两点式求直线的方程； （3）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，的长度，可得三角形的面积. 【详解】（1）解：的三个顶点分别为、、， 所以，边所在直线的方程为，即. （2）解：边的中点为， 故边上的中线所在直线的方程，即. （3）解：的直线方程为，即， 点到直线的距离为， ，所以，三角形的面积为. 题型七：已知点到直线距离求参数 1．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 3．（北京市第四中学2023~2024学年高二上学期期中考试数学试题）点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式得到，结合求出，再由及计算可得. 【详解】依题意，所以， 即，又，所以，解得， 显然，所以， 当时，所以， 当时，所以， 综上可得. 故选：B 4．（23-24高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】因为到直线的距离不超过， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 5．（23-24高二上·北京顺义·阶段检测）已知点到直线的距离为2，则________． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 6．（23-24高二上·湖南长沙·阶段检测）已知直线l经过点，且斜率为． (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为，求直线m的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用点斜式，求直线l的方程； （2）设直线m的方程，利用点P到直线m的距离，求出未知系数. 【详解】（1）直线l经过点，且斜率为， 则直线l的方程为，即. （2）直线m与l平行，设直线m的方程为， 由点P到直线m的距离为，，解得或， 所以直线m的方程为或. 7．（21-22高二上·北京东城·期中）已知坐标原点到直线的距离小于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由点到直线的距离公式可知，， 解得， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 8．（21-22高二上·北京怀柔·期末）点到直线的距离为2，则的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式即可得出答案. 【详解】解：点到直线的距离为， 解得或. 故选：C. 9．（2003·全国·高考真题）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案. 【详解】解：由题意得． 解得或．，． 故选：C. 10．（19-20高一·黑龙江哈尔滨·期末）设直线l经过点A（1，0），且与直线3x+4y﹣12＝0平行. （Ⅰ）求直线l的方程； （Ⅱ）若点B（a，1）到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）首先求出直线的斜率，再利用点斜式计算可得； （Ⅱ）利用点到线的距离公式得到不等式，解得即可； 【详解】解：（Ⅰ）因为直线的斜率，又直线过点，所以直线的方程为，整理得 （Ⅱ）点到直线的距离，依题意可得，即，解得，即 【点睛】本题考查两直线平行求直线方程以及点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 11．（19-20高二上·吉林长春·阶段检测）已知点到直线的距离等于，则实数等于 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离，再求解即可. 【详解】解：由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离，由已知有，解得：， 故选C. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题. 12．（2004·全国·高考真题）在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b， 即kx－y＋b＝0， 所以，， 解之得k＝0或， 所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0， 所以符合题意的直线有两条，选B. 13．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知点、． (1)求线段的垂直平分线的直线方程； (2)若点、到直线的距离相等，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线的斜率与线段的中点，即可求出线段的垂直平分线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，分两种情况讨论，一是点在直线上，二是直线与直线平行，即可求得实数的值. 【详解】（1）解：线段的中点为，， 故线段的中垂线的方程为，即. （2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行， 若线段的中点为在直线上，则，解得； 线段所在直线与直线平行，则，解得． 综上所述，或. 14．（21-22高二上·北京·阶段检测）已知直线l过点，求满足下列条件的直线方程. (1)在两坐标轴上截距相等的直线； (2)到直线l距离相等. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线过不过原点讨论，不过原点时，设出直线方程，代入点的坐标即可求解； （2）根据直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等建立方程即可求解. 【详解】（1）当直线l经过坐标原点时，则直线l的方程为； 当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为x+y＝a， 因直线l过点，所以3+4＝a，解得a＝7，故直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝3，不符合题意； 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为，即， 因为到直线l距离相等，所以， 解得k＝2或， 所以直线l的方程为或. 15．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知点、. (1)求经过点，且倾斜角为的直线方程； (2)求经过点、的直线在轴和轴上的截距； (3)若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； (4)已知直线经过点，且、两点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 (3) (4)或 【分析】（1）求出直线的斜率，结合点斜式可得出所求直线的方程； （2）将直线的方程化为截距式，结合直线截距的概念可得结果； （3）设为所求直线上一点，根据可得出所求直线的一般式方程； （4）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出的等式，解出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）因为、两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等， 所以直线的两点式方程，整理得，化为截距式方程得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. （3）设为所求直线上一点，则与垂直， 因为，所以， 整理可得一般式方程为. （4）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，点在直线上，不合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为、两点到直线的距离相等，所以， 即，解得或，因此直线的方程为或. 16．（22-23高二上·北京·阶段检测）的顶点的坐标分别为． (1)求线段的中垂线所在直线方程； (2)求过点，且和距离相等的直线方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）计算线段的斜率由垂直可得线段的中垂线斜率，计算线段的中点坐标，由点斜式写出直线方程；（2）利用分类讨论的思想，分析直线斜率不存在的情况，不符合题意；直线斜率存在时，设直线方程，利用点到直线的距离公式列式计算求解. 【详解】（1）由题意，，且的中点坐标为 ，所以线段的中垂线斜率为， 且过点，所以线段的中垂线方程为， 即 （2）设过点且和距离相等的直线为， 当直线斜率不存在时，方程为， 此时直线到点距离不相等，不符合题意； 当直线斜率存在时，设方程为， 即，所以， 化简得，解得或， 所以直线方程为或 17．（19-20高一下·广东韶关·期末）已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的斜率，由点和点到直线的距离相等，且过点，得到直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），由此能求出直线的方程. 【详解】解：∵点和点，∴， ∵点和点到直线的距离相等，且l过点， ∴直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点）， ∴直线的方程为：，或， 整理得：或. 故选：A. 【点睛】本题考查求直线方程，考查点到直线的距离问题，利用平行或过线段的中点求解直线方程，属于基础题． 题型八：有关于点的对称点讨论 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程； (3)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设所求直线的方程为，将点的坐标代入该直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线的方程为，将点的坐标代入该直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （3）设对称点的坐标为，根据两点关于直线对称，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出对称点的坐标. 【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. （2）依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. （3）设点关于直线的对称点的坐标为，则， 解得，所以对称点为. 3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线，． (1)求经过和的交点，且与直线平行的直线方程； (2)设点关于直线的对称点为，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先联立方程求出交点坐标，然后根据直线平行的关系求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程即可； （2）首先设，然后通过直线与直线垂直且与的中点在直线上构造方程组，解方程组求解点坐标. 【详解】（1）联立直线与的方程得：，解得：， 即直线与交点坐标为. 已知直线，其斜率为， 设所求直线斜率为，由于所求直线与直线平行，可得：. 因此可得所求直线方程为：，即： （2）已知，设，可得：与的中点为， 由于点与点关于直线对称，因此可得：且与的中点在直线上 可得：，整理得：. 解得：，即的坐标为. 4．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 5．（24-25高二上·北京·阶段检测）若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为________________． 【答案】 【分析】求出点关于直线对称的点为，则，由两点间距离公式计算，可得答案. 【详解】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 故答案为：. 6．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的坐标公式求解即可. 【详解】点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为， 故选：C 7．（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 8．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】将线段的中点代入直线的方程中即可求解． 【详解】由题可知，线段的中点在直线上，即， 所以， 故选：B． 9．（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 10．（23-24高二上·北京西城·阶段检测）点关于直线的对称点坐标为______________. 【答案】 【分析】根据中点关系以及垂直斜率关系即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以对称点为， 故答案为： 11．（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】设，依题意可得，解得即可. 【详解】设，则，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 12．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 13．（15-16高二上·北京大兴·期末）原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是 A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=0 【答案】B 【详解】试题分析：由题意可得直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为（﹣2，1），求出OA的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果． 解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线． 求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为 =﹣，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为 y﹣1=2（x+2 ），化简可得：2x﹣y+5=0． 故选B． 考点：待定系数法求直线方程． 14．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解出的长度. 【详解】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 故选：D. 题型九：光线反射问题 1．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2) 由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. (3). 【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程； （2）将直线写成，可求定点，即可证； （3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）略 （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 2．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 3．（22-23高二上·北京·期中）直线与直线关于轴对称,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取直线两点,找到其关于轴对称的点,利用两点求出所在方程即可. 【详解】解:已知直线, 不妨取直线两点 所以这两点关于轴对称的点为 则直线与直线关于轴对称的直线过这两点, 所以过这两点的直线方程为, 故选:A 4．（17-18高一下·北京西城·期末）如图，矩形ABCD中边AB与x轴重合，C（2，2），D（﹣1，2）．从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处． ①若OP的斜率为，则点Q的纵坐标为_________； ②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为_________． 【答案】 /， /. 【分析】①由题意可得在的中点上，则由反射光经过与轴的交点，即可求得点Q的纵坐标， ②由题意设，反射线与的交点，入射角和反射角相等， 的斜率与的斜率相等，从而可求出的斜率. 【详解】对于①，因为若OP的斜率为，矩形ABCD中边AB与x轴重合，C（2，2），D（﹣1，2）， 所以得在的中点上， 所以反射光经过与轴的交点，即坐标为， 设，则，解得， 所以点Q的纵坐标为， 对于②，由题意设，反射线与的交点， 因为入射角和反射角相等， 所以， 因为的斜率与的斜率相等， 所以， 解得， 所以OP的斜率为， 故答案为：， 5．（21-22高二上·黑龙江黑河·阶段检测）光线从点射到轴上，经反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为___________，光线从到的路线长度为___________. 【答案】 【分析】由题设，反射光线过和，应用点斜式写出方程，再由从到的路线长度为与的距离，两点式求路线长度. 【详解】由题设，反射光线过和，故斜率为， 所以反射光线为，整理得， 光线从到的路线长度，即为与的距离， 所以路线长度为. 故答案为：， 6．（21-22高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）与直线关于y轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出已知直线和轴的交点，再求出要求直线的斜率，用斜截式求出要求直线的方程． 【详解】解：直线，即，它与轴的交点为， 它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即. 故选：C． 7．（1993·全国·高考真题）与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（    ） A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0 C．+4y=0 D．+4y+5=0 【答案】B 【分析】关于轴对称的两直线斜率是相反数，过轴上同一点，由此可得． 【详解】直线的斜率是，与轴交点为， 因此它关于轴对称的直线方程是，即． 故选：B． 8．（20-21高二上·北京·期末）已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________. 【答案】 【解析】先求出关于x轴对称的点的坐标，反射光线必过点，又反射光线经过点，即可求出直线方程． 【详解】由题意，关于x轴对称的点为，反射光线必过点， 又反射光线经过点，故直线的斜率， 故直线方程为，化成一般式得， 故答案为: 9．（15-16高二上·贵州遵义·期中）设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依据入射光线和反射光线关于直线对称，假设入射光线上两点、，求出这两点关于对称的两点，由两点式即可求得反射光线 【详解】入射光线和反射光线关于直线对称，设入射光线上任意两点、， 则关于直线对称的两个点的坐标分别为、且这两个点在反射光线上， 由两点式可求出反射光线所在的直线方程为， 故选：A. 10．（19-20高二上·北京·期中）过点且斜率为的光线经过直线反射后与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由定点和斜率表示光线的方程，设其经过反射后与轴交点的坐标，再表示该点关于对称点坐标，将其带入光线方程，构建等式，解之得答案. 【详解】因为光线l过点且斜率为， 所以方程表示为 ，即 其经过反射后的图像如下 设与轴交点的坐标为，点A关于的对称点B为，且在l上 所以，即，所以坐标为. 故选：B 【点睛】本题考查平面点、直线的对称问题，注意构建图像辅助分析，属于中档题. 题型十：平行线间距离的讨论 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）直线与直线之间的距离为_______. 【答案】 【分析】根据平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】将直线转化为，可知， 由平行线间的距离公式，可得与之间的距离为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·北京顺义·期中）两条直线与之间的距离是__________. 【答案】/ 【分析】将的方程化为，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】直线，即， 又， 所以两直线间的距离. 故答案为： 3．（25-26高二上·北京·期中）平行直线与之间的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由两条平行直线的距离公式直接可得. 【详解】因为直线与平行， 所以由平行线间的距离公式可得. 故选：B. 4．（25-26高二上·北京·期中）已知直线，，其中m，，若，且与的距离为，则______． 【答案】或 【分析】根据直线平行求得，再结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为直线，，且， 则，解得， 此时直线，， 又因为与的距离为，则，解得或. 故答案为：或. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线与直线平行，则两直线间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得或， 经检验，当时两直线重合， 所以， 则，即， 所以两直线之间的距离为. 故选：A. 6．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________. 【答案】或 【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，求出两平行直线的距离，得到，所以，求出直线倾斜角为30°，从而求出直线m的倾斜角. 【详解】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为， 两平行直线与间的距离 ， 因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为，所以， 所以，因为直线的斜率为，所以其倾斜角为30°， 所以直线m的倾斜角可以是或.    故答案为：或 7．（24-25高二上·北京怀柔·期末）若直线与直线平行，则两平行线间的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 所以， 此时两直线方程为，，两直线平行， 直线与直线的距离为. 故选：D. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线交于点，过点且与直线平行的直线方程为________，这两条平行直线间的距离为______. 【答案】 / 【分析】先联立直线方程求得点的坐标，然后利用平行关系得斜率，从而利用点斜式方程求解直线方程，再化为一般式即可，最后代入两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由，可得，即，又， 故过点且与平行的直线方程为，即， 可将表示为，此时两平行直线间的距离为. 故答案为：， 9．（23-24高二上·天津·期中）已知直线与互相平行，则他们之间的距离是__________. 【答案】 【分析】利用两直线平行的充要条件先计算参数，再由平行线的距离公式计算即可. 【详解】因为直线与互相平行， 所以， 则直线，所以两直线的距离为. 故答案为：. 10．（17-18高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）（多选）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 由题意得，解得：或， 故所求直线方程为：或. 故选：AB. 11．（22-23高二上·天津和平·阶段检测）若两条平行直线与之间的距离为，则______. 【答案】11或 【分析】由平行直线的距离公式求解， 【详解】直线，即， 直线与平行， ，解得， 直线与的距离为， ，解得或 故答案为：11或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3直线的交点坐标与距离公式 知识点 + 题型解题技巧 一、北京高考考纲核心要求 1. 会联立二元一次方程组求两直线交点，能通过方程组解的个数判断直线相交、平行、重合； 2. 熟练掌握三大距离公式：两点间距离、点到直线距离、平行线间距离； 3. 利用直线平行、垂直的斜率关系求解直线方程； 4. 掌握点关于直线对称、光线反射几何模型（北京期中、高考小题高频考点）； 结合距离、交点求解三角形面积、参数取值范围、几何最值综合题型。 二、基础核心知识点 （一）两直线位置关系与交点 设直线， 1.相交：(-≠0)，联立方程组有唯一解，解为两直线交点坐标； 2.平行（不重合）：，对应方程组无解； 3.重合：，对应方程组有无穷多解； 4.垂直：（无需讨论斜率是否存在，万能公式）； 5.过两直线交点的直线系：，直线恒过和交点，该式无法表示直线。 （二）三大距离公式（必考计算） 1.两点间距离 已知，距离公式： 特殊：纵坐标相等；横坐标相等。 2.点到直线距离 点，直线 ⚠️易错：直线必须化为一般式，分子带绝对值。 3.两条平行线距离 ，（完全相同） ⚠️易错：系数不同先同乘倍数统一A、B再计算。 （三）对称核心模型（北京期中高频小题） 1.两点中心对称（中点） 对称中心：。 2.点关于直线对称→A'(m,n)) 满足两条方程（联立求解）： 1 (AA'⊥)对称轴：； 2 (AA')中点在对称轴上。 3.特殊对称轴速算 关于x轴对称：(x,y)→（） 关于y轴对称：(x,y)→（） 关于对称：(x,y)→(y,x) （4） 光线反射原理（几何转化核心） 入射光线→反射光线等价：入射点关于反射直线的对称点在反射光线上； 求最短路径：作其中一点关于反射直线对称，两点连线长为最短距离。 三、十大题型分类 + 通用作答思路 + 解题技巧 题型一：两直线交点问题（基础必考） 考法 1：求交点、过交点求直线 通用步骤 1. 联立两条直线方程，解二元一次方程组，得交点； 2. 平行直线斜率相等 ，垂直斜率乘积 ； 3. 点斜式 化为一般式。 技巧：直线系 可跳过求交点，直接设方程代条件。 考法 2：三条直线不能围成三角形 三种情况（全部要写） 1. 一条直线与另一条平行； 2.三条直线交于同一点（第三条过前两条交点）； 技巧：先求两直线交点，代入第三条方程；再分别讨论两组平行。 考法 3：方程组无解→直线平行 直接用平行判定列等式求参数。 题型二：交点结合含参范围（难点） 考法：交点在一 / 四象限求范围 步骤 1.联立方程，用参数表示交点； 2.根据象限符号列不等式组（一象限；四象限）； 3.解分式不等式，注意分母正负讨论。 技巧：分式统一移项，不要两边直接乘分母。 题型三：两点间距离基础计算 1. 求边长、中线长：先中点坐标，再套距离公式； 2. 判断三角形形状：算三边，相等等腰、平方和相等直角； 3. 坐标轴上找点满足：设点（y轴），距离平方相等去根号简化计算。 题型四：两点距离几何最值（数形结合） 代数式几何意义：x轴动点到两定点距离和； 技巧：两点连线为最小值，不用求导，直接算定点距离。 题型五：点到直线距离基础计算 1. 直接代公式：先化一般式，再代入； 2.“相关直线” 判定：点到直线距离d≤定长（存在点满足距离等于定长）。 题型六：距离求三角形面积（解答常考） 通用模板： 1.求一条边直线方程； 2.求对顶点到这条直线的距离（高）； 3.边长用两点距离，S=×底×高； 简便技巧：坐标轴围成图形可用割补法，不用距离公式。 题型七：已知距离反求参数 1. 平行直线类：设同系数平行直线，代入平行线距离公式列式； 2. 两点到同一直线距离相等：分两类讨论 ① 直线经过两点中点；② 直线与两点连线平行； 3. 定点直线距离最大值：直线恒过定点，点到直线距离最大值 = 已知点到定点的线段长度。 题型八：点关于直线对称求解 万能固定方程组模板，直接套用计算： 设目标对称点坐标 速算技巧：对称轴为时，直接交换 x、y 坐标，省去方程组计算。 题型九：光线反射问题 1. 求反射直线方程：求入射点关于反射镜面的对称点，连接对称点与反射经过定点，即为反射直线； 2. 最短光路长度：对称点与另一点的线段长 = 光线总路径长度； 3. x/y 轴反射：直接使用坐标对称变换规则快速写点。 题型十：平行线间距离计算 核心注意事项：两条直线 A、B 系数必须完全相同，系数不一致时，等式两边同乘倍数统一系数，再代 入距离公式计算。 四、高频易错扣分点 1. 计算平行线距离前，未统一 A、B 系数，直接代入常数计算出错； 2. 判断直线垂直只依靠斜率乘积，忽略竖线、横线斜率不存在的特殊情况，优先使用； 3. 三条直线不能围成三角形，遗漏 “三线共点” 情况，只讨论平行； 4. 求点的对称点，只列垂直方程，忘记中点在对称轴上的条件； 5. 距离公式分子遗漏绝对值、遗漏根号； 6. 直线系无法表示，填空题易漏解； 7. 分式不等式直接两边乘分母，未讨论正负，不等号方向出错。 五、北京高考应试答题技巧 1. 选择填空题优先数形结合：对称、距离最值类题目画图快速排除错误选项； 2. 参数类题目先列等式 / 不等式，再统一计算，禁止心算； 3. 解答题求直线、面积分步书写：联立方程→求交点→求斜率→代入公式，按步骤拿分； 4. 对称、反射大题先写几何转化文字（作 XX 点关于 XX 的对称点），再列式，踩分点清晰； 5. 含参分类讨论题，平行、共点两类情况必须完整书写，不可缺项。 题型专项训练 题型一：两直线交点问题 1．（21-22高三上·北京丰台·期末）若关于的方程组无解，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高二上·北京·期中）经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为______． 3．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知直线与直线交于点A，过点A且与直线平行的直线方程为______. 4．（24-25高二上·北京大兴·期中）直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______． 5．（24-25高二上·上海·开学考试）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的一般式方程； (2)求直线的一般式方程及点的坐标. 6．（22-23高二上·宁夏银川·阶段检测）过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为____________ （用一般式表示） 7．（23-24高二上·北京·阶段检测）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为_____________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值________________． 9．（23-24高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为________. 10．（23-24高二上·北京·期中）已知直线经过两直线与的交点，且垂直于直线. (1)求直线的方程； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积S. 题型二：结合交点求解含参问题 1．（20-21高二下·浙江绍兴·期末）已知直线，若，则__________：若曲线：与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 2．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 4．（23-24高二上·北京朝阳·阶段检测）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·北京顺义·期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 6．（22-23高二上·北京·阶段检测）已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数__________． 7．（20-21高二上·北京·期中）直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（19-20高三上·辽宁抚顺·期中）两条直线与相交于第一象限，则实数a的取值范围是_________. 9．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知两直线：和：， (1)若与交于点，求的值； (2)若，试确定需要满足的条件． 10．（20-21高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：求解两点间距离 1．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知点和，则等于______． 3．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 4．（19-20高二上·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 5．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京丰台·阶段检测）已知点，，那么两点之间的距离等于________. 7．（22-23高二上·北京朝阳·期中）已知点，，轴上一点满足，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·北京·期中）已知，过点且与直线垂直的直线为l． (1)求l的方程； (2)设l与坐标轴的交点分别为M和N，求． 题型四：结合两点间距离解决参数问题 1．（21-22高二上·北京·阶段检测）已知点，且，写出直线AB的一个方程____ 2．（20-21高二上·北京·期中）已知点，，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 3．（17-18高一·全国·课后作业）点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______． 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 5．（20-21高二上·北京·期末）已知点，且，则直线AB的方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（24-25高二上·北京·阶段检测）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 7．（22-23高二上·江苏连云港·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 36．（19-20高二下·北京·期末）函数的最大值为_________. 题型五：求解点到直线距离 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·期中）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”.下列直线中不是点的“相关直线”的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为_________；点到直线的距离为___________. 5．（23-24高二上·北京大兴·期中）点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·北京昌平·期中）点到直线：的距离是______ 7．（22-23高一下·云南曲靖·期末）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．1 D． 8．（23-24高二上·新疆·阶段检测）点到直线的距离为__________. 题型六：利用点到直线距离求解面积问题 1．（23-24高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点分别是. (1)求边AB所在直线的方程，以及这条边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 2．（25-26高二上·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 3．（22-23高二上·北京·期中）已知的顶点为，，． (1)求边所在的直线的方程； (2)求边的高线所在的直线的方程； (3)求的面积． 4．（20-21高二上·北京东城·期中）的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求三角形的面积. 题型七：已知点到直线距离求参数 1．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（北京市第四中学2023~2024学年高二上学期期中考试数学试题）点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是__________. 5．（23-24高二上·北京顺义·阶段检测）已知点到直线的距离为2，则________． 6．（23-24高二上·湖南长沙·阶段检测）已知直线l经过点，且斜率为． (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为，求直线m的方程． 7．（21-22高二上·北京东城·期中）已知坐标原点到直线的距离小于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·北京怀柔·期末）点到直线的距离为2，则的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 9．（2003·全国·高考真题）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（19-20高一·黑龙江哈尔滨·期末）设直线l经过点A（1，0），且与直线3x+4y﹣12＝0平行. （Ⅰ）求直线l的方程； （Ⅱ）若点B（a，1）到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围. 11．（19-20高二上·吉林长春·阶段检测）已知点到直线的距离等于，则实数等于 A． B． C． D． 12．（2004·全国·高考真题）在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 13．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知点、． (1)求线段的垂直平分线的直线方程； (2)若点、到直线的距离相等，求实数的值． 14．（21-22高二上·北京·阶段检测）已知直线l过点，求满足下列条件的直线方程. (1)在两坐标轴上截距相等的直线； (2)到直线l距离相等. 15．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知点、. (1)求经过点，且倾斜角为的直线方程； (2)求经过点、的直线在轴和轴上的截距； (3)若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； (4)已知直线经过点，且、两点到直线的距离相等，求直线的方程． 16．（22-23高二上·北京·阶段检测）的顶点的坐标分别为． (1)求线段的中垂线所在直线方程； (2)求过点，且和距离相等的直线方程． 17．（19-20高一下·广东韶关·期末）已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型八：有关于点的对称点讨论 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 2．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程； (3)求点关于直线的对称点的坐标． 3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线，． (1)求经过和的交点，且与直线平行的直线方程； (2)设点关于直线的对称点为，求的坐标． 4．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京·阶段检测）若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为________________． 6．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 9．（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 10．（23-24高二上·北京西城·阶段检测）点关于直线的对称点坐标为______________. 11．（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点为，则点的坐标为________． 12．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（15-16高二上·北京大兴·期末）原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是 A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=0 14．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 题型九：光线反射问题 1．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 2．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·北京·期中）直线与直线关于轴对称,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（17-18高一下·北京西城·期末）如图，矩形ABCD中边AB与x轴重合，C（2，2），D（﹣1，2）．从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处． ①若OP的斜率为，则点Q的纵坐标为_________； ②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为_________． 5．（21-22高二上·黑龙江黑河·阶段检测）光线从点射到轴上，经反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为___________，光线从到的路线长度为___________. 6．（21-22高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）与直线关于y轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（1993·全国·高考真题）与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（    ） A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0 C．+4y=0 D．+4y+5=0 8．（20-21高二上·北京·期末）已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________. 9．（15-16高二上·贵州遵义·期中）设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 10．（19-20高二上·北京·期中）过点且斜率为的光线经过直线反射后与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十：平行线间距离的讨论 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）直线与直线之间的距离为_______. 2．（25-26高二上·北京顺义·期中）两条直线与之间的距离是__________. 3．（25-26高二上·北京·期中）平行直线与之间的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·北京·期中）已知直线，，其中m，，若，且与的距离为，则______． 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线与直线平行，则两直线间距离为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________. 7．（24-25高二上·北京怀柔·期末）若直线与直线平行，则两平行线间的距离（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线交于点，过点且与直线平行的直线方程为________，这两条平行直线间的距离为______. 9．（23-24高二上·天津·期中）已知直线与互相平行，则他们之间的距离是__________. 10．（17-18高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）（多选）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·天津和平·阶段检测）若两条平行直线与之间的距离为，则______. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $