2.1直线的斜率与倾斜角讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的斜率与倾斜角”核心知识点，系统梳理从倾斜角与斜率的定义及关系，到两点求斜率、倾斜角范围判断，再到直线与线段相交的斜率范围、两条直线位置关系，最终延伸至斜率在几何图形中的应用，构建由浅入深的学习支架。 资料特色在于例题与练习涵盖各地期中、期末及模拟题，通过具体问题（如已知两点求倾斜角、直线与线段相交求斜率范围）培养学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维推理逻辑，用数学语言规范表达。课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化练习，查漏补缺。

2.1 直线的斜率与倾斜角 考向一 直线的倾斜角与斜率 【例1-1】（2025-2026广西柳州）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25湖北）直线的倾斜角为，则（       ） A．1 B． C．2 D． 【例1-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【例1-4】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1-5】（2025高二上·安徽·竞赛）已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 2．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 3．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 考向二 直线与线段的相交关系求斜率范围 【例2-1】（25-26北京）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【例2-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（25-26高二上·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2-4】（24-25高二上·江苏苏州·期中）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江杭州·阶段检测）若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北·阶段检测）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考向三 两条直线的位置关系 【例3-1】（24-25广东深圳）根据下列给定的条件，判断直线与直线是的位置关系 (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，． (3)的斜率为；经过点； (4)经过点；经过点． 【例3-2】（2026·宁夏吴忠）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【例3-3】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【一隅三反】 1．（25-26高二上·云南文山）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 2．（2026·江苏扬州）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（多选）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 4.（25-26湖南）根据下列给定的条件，判断直线与直线的位置关系 (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． (3)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 考向四 斜率的应用 【例4-1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【例4-2】（23-24重庆）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． [题组一 直线的倾斜角与斜率] 1．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 2．（25-26 四川眉山·期末）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知直线l：，则直线l的倾斜角为（   ） A．120° B．60° C．30° D．150° 4．（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026河南）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 [题组二 直线与线段的相交关系求斜率范围] 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 6．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是_________，其倾斜角的取值范围是_________． [题组三 两条直线的位置关系] 1．（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A． B．2 C． D．8 4．（25-26高二上·湖北十堰·期末）若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）（多选）下列结论错误的是（     ） A．若直线，的斜率相等，则 B．若直线，的斜率分别为，，且，则 C．若直线，的斜率都不存在，则 D．若直线，的斜率不相等，则与不平行 6．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． [题组四 斜率的应用] 1．（25-26高二上·广东清远·期末）（多选）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 4．（25-26海南）已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，且四边形ABCD为直角梯形，求点D的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 直线的斜率与倾斜角 考向一 直线的倾斜角与斜率 【例1-1】（2025-2026广西柳州）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，. 故选：D 【例1-2】（24-25湖北）直线的倾斜角为，则（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】直线的斜率为.故选：A. 【例1-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 【例1-4】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 【例1-5】（2025高二上·安徽·竞赛）已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 【一隅三反】 1．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 2．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 【答案】A 【解析】因为倾斜角为的直线的方向向量为，所以 所以.故选：A. 3．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率，可取方向向量. 直线的斜率，可取方向向量. 设两直线的夹角为，则， 所以. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 考向二 直线与线段的相交关系求斜率范围 【例2-1】（25-26北京）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 【例2-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 【例2-3】（25-26高二上·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 与线段相交，由题意设直线的斜率为， ，，   或，由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为.故选：D 【例2-4】．（24-25高二上·江苏苏州·期中）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，设直线l的倾斜角为， 则 直线与连接的线段总有公共点， 或，即或， 又，则有. 故选：C. 【一隅三反】 1．（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为，由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 2．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 3．（23-24高二上·浙江杭州·阶段检测）若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示：    当点从点向点运动时，则直线的倾斜角越来越大， 当点与点重合时，直线的倾斜角的最小值为， 由直线倾斜角与斜率的关系可知，所以， 当点与点重合时，直线的倾斜角的最大值为， 由直线倾斜角与斜率的关系可知，所以， 又注意到当点从点向点运动时，是连续变化的， 因此满足题意的直线的倾斜角取值范围为. 故选：D. 4．（24-25高二上·湖北·阶段检测）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足， 当时，直线l的倾斜角，当时，， 所以直线l的倾斜角的取值范围为.故选：C 考向三 两条直线的位置关系 【例3-1】（24-25广东深圳）根据下列给定的条件，判断直线与直线是的位置关系 (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，． (3)的斜率为；经过点； (4)经过点；经过点． 【答案】(1)平行或重合(2)重合(3)垂直(4)垂直 【解析】（1）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （2）由题意，知，,，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． （3），． （4）由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴，又，则轴，因此． 【例3-2】（2026·宁夏吴忠）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【解析】因为直线：和直线：互相平行，所以，解得. 【例3-3】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·云南文山）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【解析】已知直线：，：，若，则有， 化简方程得：，解得或，C正确. 2．（2026·江苏扬州）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 3．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（多选）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【解析】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 4.（25-26湖南）根据下列给定的条件，判断直线与直线的位置关系 (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． (3)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不垂直，理由见解析（2）垂直，理由见解析(3)平行(4)重合 【解析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为，，， ，∴与不垂直． （2）由题意知的倾斜角为90°，则轴；由题知直线的斜率存在，设为， ，则轴，∴． （3）由题意可知恰好与y轴重合，所以． （4）由题意可知，，即，所以与平行或重合． 又因为，可知E，F，G，H四点共线，所以与重合． 考向四 斜率的应用 【例4-1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【解析】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则，所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 【例4-2】（23-24重庆）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 【一隅三反】 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】见解析 【解析】四边形是平行四边形，证明如下： 由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . [题组一 直线的倾斜角与斜率] 1．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 2．（25-26 四川眉山·期末）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的倾斜角为，所以， 则. 故选：C. 3．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知直线l：，则直线l的倾斜角为（   ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【解析】可化为， 设直线l的倾斜角为，则，得， 故直线l的倾斜角为. 故选：D 4．（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 5．（2026河南）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． [题组二 直线与线段的相交关系求斜率范围] 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记点为，由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线过定点，且直线与线段相交， 由图象知，或，则斜率的取值范围是． 故选：A 3．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，. 令，且. 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是. 所以，或. 所以的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 因为，，所以. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：C 5．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【解析】    如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是_________，其倾斜角的取值范围是_________． 【答案】 【解析】因为， 又过点的直线l与线段AB有公共点，如图，    所以，即； 因为，所以， 由正切函数的性质可知或. 故答案为：； [题组三 两条直线的位置关系] 1．（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率，直线的斜率，由，得，故. 故选：B. 2．（25-26高二上·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】由：可得直线的斜率为， 因，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 又，则. 故选：D. 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【解析】两直线垂直，斜率之积为. 由一元二次方程根与系数关系可知，，故，解得. 故选：A 4．（25-26高二上·湖北十堰·期末）若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为关于，的方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，即， 所以,即的最小值为. 故选：B 5．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）（多选）下列结论错误的是（     ） A．若直线，的斜率相等，则 B．若直线，的斜率分别为，，且，则 C．若直线，的斜率都不存在，则 D．若直线，的斜率不相等，则与不平行 【答案】ABC 【解析】对A，直线，的斜率相等，则或与重合，故A错误； 对B，当直线的斜率时，有，故B错误； 对C，若直线，的斜率都不存在，则或与重合，故C错误； 对D，直线，的斜率不相等，则与不平行，正确. 6．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】因为，所以且， 又因为、， 所以，整理得，解得或， 若，代入两条直线得，， 即，两直线完全重合，不满足平行， 因此的唯一解就是， 当时，可直接推出，同时也只能推出， 因此""是""的充要条件. 7．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为直线与垂直， 所以，即，解得． [题组四 斜率的应用] 1．（25-26高二上·广东清远·期末）（多选）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【解析】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，由题意可得 ，可化为， 解得:或，即或． 故选：AC 3．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【解析】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 4．（25-26海南）已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，且四边形ABCD为直角梯形，求点D的坐标. 【答案】点D的坐标为(3，3)或（）. 【解析】设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB=3，kBC=0， 则kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3. 又∵kAD=kBC，∴=0，即y=3.此时AB与CD不平行. 故所求点D的坐标为(3，3). ②若AD是直角梯形的直角边， 则AD⊥AB，AD⊥CD，kAD=，kCD=. 由于AD⊥AB，则·3=-1. 又AB∥CD，∴=3. 解上述两式可得此时AD与BC不平行. 故所求点D的坐标为（）. 综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3，3)或（）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $