2.1 .1直线的倾斜角与斜率讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，先通过确定直线位置的几何要素（点和方向）引入倾斜角，明确其定义、0°-180°取值范围及与倾斜程度的关系，再过渡到斜率（倾斜角正切值），分析斜率与倾斜角的对应关系，最后给出过两点的斜率公式，构建从几何到代数的学习支架。 该资料亮点在于知识点系统衔接，通过图像示例辨析倾斜角与斜率关系，培养几何直观（数学眼光），设计多题型（如参数范围、线段相交问题）训练逻辑推理（数学思维），练习题覆盖基础到综合应用，课中辅助教师构建知识体系，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

专题2.1.1 直线的倾斜角与斜率 【知识点一、直线的倾斜角】 1．直线的确定 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可. 2．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 【倾斜角与倾斜程度】 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. 3．倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 . 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角. 【知识点二、直线的斜率】 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系 ①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ； ②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ； ③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度. （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 【知识点三、斜率公式】 1．过两点的斜率公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 2．已知倾斜角，求斜率公式 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 重难点题型1 倾斜角与斜率的关系 1．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据题意得到，即可得到答案. 【详解】由题知：，所以. 故选：C 2．（24-25高二上·四川广安·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误； 故选:BCD. 3．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】根据倾斜角与斜率关系，斜率公式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； B：直线的斜率时，因为可以是不为的任意实数，而直线倾斜角的范围为，故B错误； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，故C正确； D：过，两点的斜率为：，故D正确. 故选：CD. 4．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）（多选题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 5．（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错； B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对； D：过，两点的斜率为：，对. 故选：CD. 重难点题型2 求直线的斜率 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线斜率的定义 【详解】由题知，所以直线的斜率为． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义 【分析】由斜率与倾斜角的关系式可得答案. 【详解】由斜率计算公式得： 直线的斜率 . 故选：A 4．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，从而可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 5．（25-26高二上·山东济宁·期中）若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线的方向向量（平面中）、直线斜率的定义 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】由直线的方向向量为，则其斜率. 故答案为： 6．（24-25高二上·天津滨海新区·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 7．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、直线斜率的定义 【分析】由直线方程求直线的斜率，即可得倾斜角的正切，进而求出的值. 【详解】由题可知直线的斜率为，即， 因为，则，， 又，解得 故答案为：. 8．已知直线的倾斜角为，则的值是______． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义 【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系可得答案. 【详解】因为直线的倾斜角为，斜率为2，所以. 故答案为：2. 9．（2024·河南信阳·二模）已知直线的倾斜角为，则的值是_________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二倍角的正切公式、直线斜率的定义 【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得，再利用正切的二倍角公式即可得到结果. 【详解】由直线方程，得直线斜率， 所以. 故答案为： 重难点题型3 由直线倾斜角或斜率，求参数范围 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【详解】由题意知，整理得，解得. 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【分析】此题利用倾斜角求出斜率，代入两点坐标列方程求解，再检验分母不为零即可得到结果. 【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以． 故选： D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【分析】根据两点斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知，解之得. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 故选：ABD. 5．（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【分析】由两点的斜率公式求得，由此得，求解即可. 【详解】由题意得，即，所以， 故选：BCD． 重难点题型4 由直线与线段的相交关系，求参数范围 1．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 2．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】化简直线为，得到直线恒过定点，求得，结合图象，即可求解. 【详解】由直线，可得， 又由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点， 因为，可得， 如图所示，若直线与线段相交（不包含端点），则， 即直线斜率的取值范围为. 故选：B. 4．（25-26高二上·湖北孝感·期中）若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 5．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求直线过A、B时对应的斜率，结合图象即可求得斜率的取值范围. 【详解】当直线过A时，直线PA的斜率， 当直线过B时，直线PB的斜率， 由图知，直线过点且与线段相交，需使或， 故答案为：. 6．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 重难点题型5 综合应用 1．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】二倍角的正切公式、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 2．（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、已知两点求斜率、坐标计算向量的模 【分析】设，，，根据题意可得，求出，再验证点存在，即可求出答案. 【详解】设，，， 则，， 由题意知，即， 解得或， 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为； 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为或. 故答案为：或. 3．（25-26高二上·四川遂宁·阶段检测）（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 【答案】（1）；（2）． 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线斜率的定义 【分析】（1）利用斜率的坐标公式，结合几何图形求出k的范围. （2）利用直线方向向量的意义求出的斜率，再利用二倍角的正切公式求解. 【详解】（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，且的斜率存在，如图， 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点， 所以直线l的斜率k的取值范围是. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由直线的方向向量为，得直线的斜率， 所以直线的斜率. 4．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、已知直线平行求参数、由顶点坐标判断三角形的形状 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D 2．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 3．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 4．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 二、多选题 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为1，当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，故C正确； 对于D，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故D错误. 三、填空题 6．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】分斜率存在与否两种情况进行分析，并根据斜率和倾斜角的关系确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 故答案为：. 7．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】直线斜率的定义 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 8．已知点，，，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为______，直线AC的一个方向向量为______. 【答案】 （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】已知斜率求参数、求直线的方向向量（平面中）、已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式可得直线AB、AC的倾斜角，再由斜率公式可得和方向向量. 【详解】设直线AB的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 又，又，所以，， 所以，得； 由，，得， 直线AC的一个方向向量为． 故答案为：①；②. 9．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知斜率求参数、直线斜率的定义 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 10．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 11．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 四、解答题 12．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 13．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线斜率的定义 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1.1 直线的倾斜角与斜率 【知识点一、直线的倾斜角】 1．直线的确定 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可. 2．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 【倾斜角与倾斜程度】 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. 3．倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 . 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角. 【知识点二、直线的斜率】 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系 ①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ； ②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ； ③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度. （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 【知识点三、斜率公式】 1．过两点的斜率公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 2．已知倾斜角，求斜率公式 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 重难点题型1 倾斜角与斜率的关系 1．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川广安·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 3．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 4．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）（多选题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 5．（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 重难点题型2 求直线的斜率 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是___________. 5．（25-26高二上·山东济宁·期中）若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为___________． 6．（24-25高二上·天津滨海新区·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 7．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则_______． 8．已知直线的倾斜角为，则的值是______． 9．（2024·河南信阳·二模）已知直线的倾斜角为，则的值是_________． 重难点题型3 由直线倾斜角或斜率，求参数范围 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 4．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 5．（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 重难点题型4 由直线与线段的相交关系，求参数范围 1．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北孝感·期中）若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 6．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 重难点题型5 综合应用 1．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 3．（25-26高二上·四川遂宁·阶段检测）（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 4．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 4．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 三、填空题 6．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 7．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 8．已知点，，，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为______，直线AC的一个方向向量为______. 9．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 10．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 11．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 四、解答题 12．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 13．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $