专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·河北衡水·模拟检测）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． （2024·湖南长沙·模拟检测）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(     )     A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟检测）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 例2（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，垂足为D．是的角平分线，分别交于点P．E．其中正确的结论的个数为（    ） ①；②是等边三角形；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 相交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求的值（用含的代数式表示）． 例4（24-25八年级上·陕西渭南·期中）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．若为的角平分线． (1)如图，已知，求证：； (2)如图，已知，求证：． 例5（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． (3)如图2，过点作于点，连接，当，求的度数． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，是的角平分线，于点，则长是 ．    例2（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 例3（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 例4（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线， ______① ， ；______②    ，___③ 是的角平分线______ ④  ；， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 例5（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 1．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（　　） A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、 2．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点M，与交于点N，下面说法正确的有（　　） ①； ②；③； ④若，，则．    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 5．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．无法求出 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 7．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知的两条角平分线相交于点是外角的平分线，的延长线与交于点，连接，若，有下列结论：①；②；③；④点到直线，直线，直线的距离相等．上述结论正确得是（   ） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则 ． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的角平分线，交于点，若，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 11．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 ．（只填序号） 13．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 14．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ．    15．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 16．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，是的高，是的角平分线，为上一点，连接，． (1)求证：平分； (2)连接交于点，若，求的度数． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 18．（24-25八年级上·江苏南京·期中）教材回顾：证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图①，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，垂足分别为． 平分， _______． 同理_______ _______． 点P在的平分线上． 拓展研究 如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图②，在四边形中，的平分线相交于点O． 求证：（I）点O在的平分线上； （Ⅱ）． 逆向思考 满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图③，在四边形中，如果，那么它的四条角平分线交于一点吗？说明理由． 19．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 20．（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 21．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 22．（24-25九年级上·吉林·期末）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图①，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴______________． ∴_____________． 又∵， ∴_____________． 【类比探究】 如图②，若是的外角平分线，与的延长线交于点D． 求证：． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·河北衡水·模拟检测）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． （2024·湖南长沙·模拟检测）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(     )     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据角平分线的性质可得，由于是公共边，利用三角形全等的判定定理，从而可得；利用全等三角形的性质即可解得． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴，故选项A正确，不符合题意； 过点H作于点G，如图所示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，故选项B不正确，符合题意； ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，故选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意． 故选：B． 3．（2024·上海·模拟检测）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见（1） (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边的性质是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：的平分线与的平分线相交于点O， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长， 故选：A． 例2（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，垂足为D．是的角平分线，分别交于点P．E．其中正确的结论的个数为（    ） ①；②是等边三角形；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，根据直角三角形两锐角互余求出，，求出，根据三角形外角的性质求出，再逐个判断即可 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误， 故选：C 相交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． （1）先根据得出，，再由平分即可得出结论； （2）根据三角形外角的性质可得出，，故，再由，即可求出，可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ． 平分， ， ，， ； （2）由（1）知，，， ． ，， ． 例4（24-25八年级上·陕西渭南·期中）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．若为的角平分线． (1)如图，已知，求证：； (2)如图，已知，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的性质及直角三角形的性质得出，得出，则可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，证明，利用角平分线的性质定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，     ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 例5（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． (3)如图2，过点作于点，连接，当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3) 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识带你，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得与的关系，与的关系，根据平行线的性质可得与的关系，与的关系，根据等腰三角形的判定可得即可证明结论； （2）同（1）可得，然后根据三角形的周长公式计算即可； （3）根据角平分线的性质和判定证得是的平分线，即可求得． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． （3）解：过点O分别作于M，于N， ∵和的平分线相交于点，，， ∴， ∴是的平分线， ∴． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，是的角平分线，于点，则长是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中线的性质；作 于，利用角平分线的性质证得，由的三边长，根据三角形的面积公式得 ，代入数值计算即可求得的值． 【详解】解：作 于 ，    是 的角平分线， 于点 ， ， 为直角三角形，，，， ， 故答案为 例2（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 例3（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 例4（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线， ______① ， ；______②    ，___③ 是的角平分线______ ④  ；， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 【答案】(1)见解析(2)；；；；成比例 【详解】（1）解：所作图形，如图所示，    （2）证明：是的角平分线， ，，， ，，是的角平分线，， ，，． ∴三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例． 故答案为：；；；；成比例． 例5（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出解答． （1）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （2）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （3）作N关于的对称点，根据轴对称的最短路径解答即可． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，、 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作N关于的对称点， 由（2）可知，在上，， 当共线时，最小， 当时，最小， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故的最小值为4． 1．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（　　） A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等面积法的应用，熟知角平分线的性质是解题的关键． 连接，，，由角平分线的性质得到，再根据等面积法进行作答，即可求解． 【详解】解：连接，，，如图： ， ∴， 即， 解得：， 即， 即点到三边、和的距离分别等于，，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据等底同高的两个三角形面积相等即可判断；②根据角平分线平分角以及等角的余角相等，即可判断；③根据角平分线平分角以及同角的余角相等，即可判断；④过点F作于点M，根据角平分线性质得出，根据，即可作出判断． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴ (等底同高的两个三角形面积相等)，故①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 过点F作于点M，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的个数为4个． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理，角平分线性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，过O作于M，于N，于K，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积，的面积，的面积，于是得到． 【详解】解：过O作于M，于N，于K， ∵的三条角平分线的交点为O， ∴， ∴的面积，的面积，的面积， ∵、、的长分别为、和， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点M，与交于点N，下面说法正确的有（　　） ①； ②；③； ④若，，则．    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由余角的性质可得，由角平分线的性质可得，故①正确；由余角的性质可证，故②正确；由三角形的面积关系可得，故③错误；过点E作于点H，证明，推出，即可求解． 【详解】解：是角平分线， ， 是高， ， ， ， ，故①正确； 是角平分线， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，故③错误； 如图，过点E作于点H，    是角平分线，，， ， ， ， ，故④正确， 综上所述正确的有：①②④， 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，中线的性质，余角的性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 5．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．无法求出 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识，熟练掌握等角对等边是解题的关键．根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，则，即可得到，求出的长即可． 【详解】解：∵是的角平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，，从而证得和是等腰三角形，得到①正确；根据题意，无法得到，得到②错误，根据等腰三角形的性质，可得，，故从而得到的周长，得到③正确；再根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，可判断④正确，即可求解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， 和是等腰三角形；故①符合题意； ，，故②不符合题意； 又，， 的周长为；故③符合题意； ， ， ， ；故④符合题意； 故选项①③④正确，符合题意，②错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知的两条角平分线相交于点是外角的平分线，的延长线与交于点，连接，若，有下列结论：①；②；③；④点到直线，直线，直线的距离相等．上述结论正确得是（   ） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握相关知识点是解题关键．根据平角和角平分线的定义，可判断①结论；根据三角形内角和定理和角平分线的定义，可判断②结论；根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，可判断③结论；根据角平分线的性质定理，可判断④结论． 【详解】解：、分别平分、， ，， ， ， ，①结论正确； 、分别平分、， ，， ， ，②结论错误； 分别平分， ， ， ， ， ，③结论正确； 、分别平分、， 点G到直线的距离等于点G到直线的距离，点G到直线的距离等于点G到直线的距离， 点到直线，直线，直线的距离相等，④结论正确； 即结论正确得是①③④， 故选：C 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点O作，，由角平分线的性质定理得出，由题意可知，最后根据计算即可． 【详解】解：过点O作，，如下图： ∵的三条角平分线交于点，， ∴，，， ∴， 根据题意可知：， ∴ 故答案为：20 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的角平分线，交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，与角平分线有关的三角形内角和问题，由三角形内角和定理和角平分线的定义求出，则；由角平分线的性质可得点O到三边的距离相等，设点O到三边的距离为h，则可得；作的角平分线交于T，设，证明得到，则，同理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵的角平分线，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的角平分线，交于点， ∴点O到三边的距离相等， 设点O到三边的距离为h， ∴； 如图所示，作的角平分线交于T， 设， ∴， 由角平分线的定义可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 11．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握． 根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，再结合平角概念得，则运用三角形外角性质得，因为，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，所以点在的角平分线上；结合三角形外角性质以及角平分线的性质得，根据角平分线线的性质定理，结合即可判断． 【详解】解：为外角的角平分线，平分， ，， 又是的外角， ， 故①正确； ，分别平分，， ∴， 则， ∴， 故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上， 故③是正确的． ∵， 平分， ∴ 平分， ∴ ∴ 故④是错误的， ∵，分别平分，， ∴点到的距离点到的距离点到的距离， ∴， 故⑤是错误的， 故答案为：①②③． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断①． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故②正确，符合题意； ，， ∴ ， 故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴， 故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④ 13．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ．    【答案】10 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】过点D作， 为的角平分线，    ∵为中点， ∴ 设，则 则， 故答案为：10． 15．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 16．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，是的高，是的角平分线，为上一点，连接，． (1)求证：平分； (2)连接交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质． （1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， 平分； （2）解：过点F作于点M，于点N， 平分，且，， ， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的高． （1）先利用为边上的高得到，再根据是的角平分线，得到，最后利用外角求； （2）先根据尺规作图作出图形，再根据角平分线得到，，最后根据求解即可； （3）作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，，，再证明，从而得到，接着证明得到，所以，得到． 【详解】（1）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，在线段上作一点，使平分， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∵是的角平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下，连接交于点，过点作于点，于点， 平分，，， ， ∵， ∴， ， ∵平分， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·江苏南京·期中）教材回顾：证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图①，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，垂足分别为． 平分， _______． 同理_______ _______． 点P在的平分线上． 拓展研究 如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图②，在四边形中，的平分线相交于点O． 求证：（I）点O在的平分线上； （Ⅱ）． 逆向思考 满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图③，在四边形中，如果，那么它的四条角平分线交于一点吗？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理，全等三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的性质证明得到，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）（I）过点O作，同（1）即可得证； （Ⅱ）证明，推出，同理推出，据此即可得证； （3）作出的角平分线，两条角平分线交于点O．过点O作，， ，垂足分别为．同理利用角平分线的性质和判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：过点P作，垂足分别为． 平分， ， 同理， ， 点P在的平分线上； （2）（I）过点O作，垂足分别为． 平分， ． 同理． ． 点O在的平分线上； （Ⅱ）， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理， ； （3）交于一点． 如图④，作出的角平分线，两条角平分线交于点O．过点O作，， ，垂足分别为． 同理（1）问的证明，可得， 又因为，可得， 所以（3）的问题可转化成：“如图⑤，已知，，，求证：平分平分．”          ④                            ⑤                     ⑥ 证明：延长至点，使，连接． ， ． ， 又， ． ， 平分平分． 19．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 20．（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 21．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 22．（24-25九年级上·吉林·期末）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图①，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴______________． ∴_____________． 又∵， ∴_____________． 【类比探究】 如图②，若是的外角平分线，与的延长线交于点D． 求证：． 【答案】[探究发现]，，；[类比探究]证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等高三角形面积的关系．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． [探究发现]根据过程填写即可； [类比探究]证明过程同[探究发现] ． 【详解】[探究发现]证明：∵是的角平分线，且，， ∴． ∴． 又∵， ∴． 故答案为：，，； [类比探究] 证明：如图②，过点D作于N，过点D作于M，过点A作于点P． ∵平分， ∴． ∴， 又∵． ∴． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$