专题 3.2 平面直角坐标系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦平面直角坐标系核心知识点，系统梳理坐标系构成、点的坐标定义、象限及坐标轴上点的特征、平行坐标轴直线特征、点与有序数对关系，建立坐标系、描点绘图及实际应用，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础夯实与巩固提升结合，例题配变式训练，同步检测覆盖选择、填空、解答题。通过“寻宝定位模型”培养数学眼光，规律探究发展数学思维，坐标与几何综合提升数学语言表达，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 3.2 平面直角坐标系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】平面直角坐标系的构成 2 【知识点二】点的坐标定义（有序数对） 2 【知识点三】四大象限及坐标符号特征 2 【知识点四】坐标轴上点的坐标特征（必考基础） 3 【知识点五】平行于坐标轴的直线上点的特征 3 【知识点六】平面点与有序实数对的关系 4 【知识点七】建立适当的平面直角坐标系（课本重难点） 4 【知识点八】坐标描点与图形绘制 4 【知识点九】坐标系实际应用（寻宝定位模型） 4 二.题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】判断点的位置（象限或坐标轴） 4 【题型 2】平行坐标轴坐标特征应用 7 【题型 3】自建坐标系求图形坐标 9 【题型 4】描点连线判断图形形状 11 三.题型精析（巩固提升） 15 【题型 5】建立平面直角坐标系并求值 15 【题型 6】平面直角坐标系与面积问题 19 【题型 7】平面直角坐标系与几何问题综合 23 【题型 8】平面直角坐标系与规律问题探究 28 四.同步检测 31 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 31 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 39 一.知识梳理与解读 【知识点一】平面直角坐标系的构成 在平面内，两条互相垂直、有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。如图1 图1 其中：1. 水平数轴：称为x轴（横轴），规定向右为正方向； 2. 竖直数轴：称为y轴（纵轴），规定向上为正方向； 3. 两轴公共点：称为坐标原点 O，坐标为 (0，0)。 【知识点二】点的坐标定义（有序数对） 对于平面内任意一点 P，分别向 x 轴、y 轴作垂线： 1. 垂足在 x 轴上对应的数 a 为点 P 的横坐标； 2. 垂足在 y 轴上对应的数 b 为点 P 的纵坐标； 3. 有序数对 (a，b) 叫做点 P 的坐标。 如图：点P 的坐标为（3，2） 图2 核心规则：坐标格式固定为（横坐标，纵坐标），顺序绝对不能颠倒。 【知识点三】四大象限及坐标符号特征 x 轴、y 轴将平面分成四个象限，其中坐标轴上的点不属于任何象限。如图3，两直线分四个区间名称及坐标符号如下： 图3 其中各象限及坐标轴符号特征如下表： 象限 横坐标（x） 纵坐标（y） 坐标符号 第一象限 正 正 (＋，＋) 第二象限 负 正 (－，＋) 第三象限 负 负 (－，－) 第四象限 正 负 (＋，－) 【知识点四】坐标轴上点的坐标特征（必考基础） 如图4，坐标轴上的点坐标特征如下： 1. x 轴上的点：纵坐标为 0，坐标形式：(x，0)； 2. y 轴上的点：横坐标为 0，坐标形式：(0，y)； 3. 原点：横、纵坐标均为 0，坐标(0，0)。 图4 【知识点五】平行于坐标轴的直线上点的特征 1. 平行于 x 轴的直线：直线上所有点纵坐标相同，横坐标不同； 2. 平行于 y 轴的直线：直线上所有点横坐标相同，纵坐标不同。 【知识点六】平面点与有序实数对的关系 平面直角坐标系中，平面内的点与有序实数对一一对应： 1. 任意一个点，对应唯一一组有序坐标； 2. 任意一组有序坐标，对应平面内唯一的点。 【知识点七】建立适当的平面直角坐标系（课本重难点） 同一个几何图形，建立坐标系的方式不唯一，图形形状大小不变，顶点坐标随建系方式改变。 最优建系原则： 1. 以图形顶点为坐标原点； 2. 以图形边所在直线为 x 轴或 y 轴； 3. 尽量使更多顶点落在坐标轴上，简化坐标数值。 【知识点八】坐标描点与图形绘制 描点步骤：先横后纵——先在 x 轴找到横坐标对应点，再在 y 轴找到纵坐标对应点，分别作坐标轴垂线，交点即为所求点；按顺序描点连线可得到完整几何图形。 【知识点九】坐标系实际应用（寻宝定位模型） 已知部分关键点坐标，反向推导原点位置、确定坐标轴，从而读出未知点坐标，是课本典型实操题型。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】判断点的位置（象限或坐标轴） 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限    B．第二象限 C．第三象限    D．第四象限 （2）若点在第四象限，则a的值可以是（　　） A．    B．　0 C．    D．　2 （3）若点在第二象限，则m的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（1）B；（2）D；（3）（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限的坐标符号特征．在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． （1）判断点横、纵坐标的符号，进而确定其所在象限； （2）根据题意得，据此判断即可； （3）根据题意得，据此判断即可． 解：（1）∵，， ∴点在第二象限， 故选：B； （2）∵点在第四象限， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）∵点在第二象限， ∴， ∴m的值可以是（答案不唯一）． 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用平方的非负性确定点的横坐标为正，结合纵坐标的符号判断点所在象限. 解：∵， ∴. ∵点的纵坐标， ∴点位于第四象限. 【变式2】（25-26九年级下·广东汕头·期中）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在第______象限． 【答案】二 【分析】先根据同类项的定义求出的值，再判断点所在象限即可． 解：单项式与单项式的和仍是一个单项式， 两个单项式是同类项， ∴，， 解得：，， 点的坐标为， ∴该点在第二象限． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）设点P的坐标为，根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）点在坐标轴上；（2）点在第一、第三象限；（3）点在第二、第四象限的角平分线上 【分析】本题考查了点坐标，熟记坐标轴上与各象限内点的坐标特征是解题的关键． （1）根据0乘以任何数都等于0判断出或或，然后根据坐标轴上点的坐标特征解答； （2）根据同号得正判断出、同号，再根据各象限内点的坐标特征解答； （3）根据互为相反数的两个数的和等于0判断出、互为相反数，然后解答． （1）解：∵， ∴或或， ∴点在坐标轴上； （2）解：∵， ∴、同号， ∴点在第一或第三象限； （3）解：∵， ∴、互为相反数， ∴点在第二、第四象限的角平分线上； 【题型 2】平行坐标轴坐标特征应用 【例题2】（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）已知点，求下列情形下点的坐标． （1）已知点且线段与轴平行； （2）点到轴的距离为． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由平行可得，求出并写出坐标即可； （2）根据题意可得，求出并写出坐标即可． （1）解：∵线段与轴平行， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：点到轴的距离为， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标为，对线段的判断正确的是（   ） A．线段与x轴平行 B．线段与y轴平行 C．线段与x轴垂直 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系内点的坐标特征，若两点纵坐标相等，横坐标不等，则两点连线平行于x轴，据此判断即可． 解：∵点A的坐标是，点B的坐标为， ∴两点的纵坐标相等，横坐标不相等， ∴线段与x轴平行， 因此选A． 【变式2】（25-26七年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，点，，若直线与x轴平行，则点M的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据坐标特征列方程求解即可得到结果． 解：直线与x轴平行， 直线上所有点的纵坐标相等， 即， 解得， 点M的横坐标为，纵坐标为1， ． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知点，点，若线段与轴平行，且，求点、点的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查了直角坐标系中坐标的特点． 根据线段与轴平行，可知点，点纵坐标相同，进而求出的值，根据得到或者，进而求出的值，即可得到点、点的坐标． 解：线段与轴平行， ， ， 或者 或者 或 【题型 3】自建坐标系求图形坐标 【例题3】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为和，写出点的坐标，并指出它们所在的象限． 【答案】解：建立的平面直角坐标系如图， 在第二象限；在第一象限； 在第一象限； 在第一象限； 在第一象限． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标特征，根据点的坐标分别为和，建立直角坐标系即可求解． 解：略 【变式1】（2025·山西大同·三模）如图，方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为．若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标规律是解答本题的关键．根据以点A为原点重新建立直角坐标系，点B的横坐标与纵坐标分别为点A的横坐标与纵坐标的相反数解答． 解：以B为原点建立平面直角坐标系，A点的坐标为， ∴若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点右2个单位，下1个单位处， ∴B点坐标为． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·广东江门·期中）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则“炮”位于点___________． 【答案】 【分析】根据棋子“帅”和“马”的坐标确定坐标轴和原点的位置，建立平面直角坐标系即可得到答案． 解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则“炮”位于点． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知在长方形中，，，请你建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的4个顶点的坐标． 【答案】（答案不唯一）建立坐标系如下， 由题意知，，， 则． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，掌握坐标系中点的特征是解题的关键；以B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立坐标系，根据长方形的边长，求点的坐标即可． 解：以B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴 【题型 4】描点连线判断图形形状 【例题4】（25-26八年级·上海·寒假作业）在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 【答案】（1）如图所示： （2） 【分析】本题考查了坐标与图形； （1）根据坐标系描点、连线，即可求解． （2）根据点的坐标求出梯形的上底，下底，高后求面积． 解：（1）略 （2）． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 【答案】1 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义． 对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，据此解答即可． 解：由图可知：点的坐标为，，，， 根据题意可得描错的点是． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·阶段检测）点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）在图中描出下列各点：，，． （3）依次连接、、得到一个封闭图形，判断此图形的形状为　　　．直接写出的长为　　　． 【答案】（1），，；（2）如图，描点如下： （3）直角三角形， 【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理及逆定理，解题关键是根据点的坐标准确描出点． （1）根据点A，B，C的位置写出点的坐标； （2）根据点的坐标，描出相应的点； （3）利用勾股定理的逆定理求解． （1）解：，，； （2）略 （3）解：如图， ，，， ， ∴是直角三角形，， 故答案为：直角三角形，． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】建立平面直角坐标系并求值 【例题5】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，已知长方形的长与宽分别为6，4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标： （1）如果以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，； （2）如果以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为； （3）你还有其他不同的方案吗？请写出一种方案和各顶点坐标． 【答案】（1）；；；（2）；；；（3）解：以点D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则各个顶点的坐标分别为． 【分析】本题考查了图形顶点坐标．熟练掌握矩形性质，根据矩形特点建立适当坐标系，写出矩形顶点坐标，是解题的关键． （1）根据题意，建立相应的直角坐标系，表示出点A、B、D的坐标． （2）根据题意，建立相应的直角坐标系，表示出点B、C、D的坐标． （3）合理建立直角坐标系，表示出点A、B、C、D的坐标． （1）解：以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，. 故答案为：；；． （2）解：以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则各个顶点的坐标分别为． 故答案为：；；． （3）略 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明即可解答． 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 在正方形中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点O，A，B都在方格纸的交点（格点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，在x轴下方的格点上找点C，使的面积为3，则这样的点C共有_________个． 【答案】6 【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系中图形的面积是解题的关键，根据点A、B的坐标判断出轴，然后根据三角形的面积求出点C到的距离，最后根据题意即可判断出点C的位置，进而得到答案． 解：如图 由题可得：， 设点C到的距离为， ∴， ∴， ∴点到的距离是2，且在x轴下方，并与平行的直线上的格点有6个， 故答案为：6． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形中，，，，，． （1）求四边形的面积． （2）建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 【答案】（1）144；（2）建立平面直角坐标系如下， ，，， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，坐标与平面． （1）连接，先由勾股定理逆定理证明，再由求解即可； （2）以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是，过点作轴于点，由面积法得到，求出，再由勾股定理求解即可． （1）解：如图1，连接， ，，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是． 由，，可得点的坐标是，点的坐标是． 过点作轴于点， ， 点的坐标是 【题型 6】平面直角坐标系与面积问题 【例题6】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． （1）求，的值． （2）求三角形的面积． （3）若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． （1）解：， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】通过作辅助线将不规则四边形分割为规则图形三角形和梯形求解即可． 解：过点作轴于点． ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【答案】或或 【分析】根据点A，点B，点C的坐标求出三角形的面积，则可得到三角形的面积，再分两种情况：点D在x轴上和点D在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 当点D在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当点D在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． 【变式3】（25-26七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，点 分别在 y 轴、x 轴上，且 a、b 满足. （1）求 a、b 的值； （2）求的面积； （3）点P在x轴上，且的面积是面积的一半，求点P的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3） 或 【分析】（1）利用非负性进行求解即可； （2）直接利用面积公式进行求解即可； （3）设，根据三角形的面积公式进行求解即可. （1）解：∵， ∴，． ∴，． （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：设，则， 由题意，． ， 或 或 ∴或． 【题型 7】平面直角坐标系与几何问题综合 【例题7】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．点的坐标满足，连接，和． （1）求点的坐标； （2）若轴上有一点使得的面积为，求点的坐标； （3）点在线段上，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为；（2）点的坐标为或；（3）点的坐标为 【分析】（1）根据绝对值与平方的非负数性质得出，，进而求出、的值，即可得出答案； （2）设点的坐标为，可得，根据三角形面积公式列出方程，解方程求出的值即可得出答案； （3）设点的坐标为，根据，解方程求出的值即可得出答案． （1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． （2）解：如图，设点的坐标为， ∵点是轴上一点， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． （3）解：如图，设点的坐标为， ∵点，的坐标分别为，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解题关键是通过添加辅助线，利用一线三等角证全等三角形求解．作轴于点C，轴于点D，通过证明求解． 解：作轴于点C，轴于点D，如图 ∴， ， ∴， 在与中， ， ． 又点的坐标是， ， ∴点的坐标为． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期末）已知点，点为平面直角坐标系内一动点，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】先判断动点的运动轨迹，可得点在直线上，根据垂线段最短，可知线段的最小值为点到直线的距离，计算距离即可得到结果． 解：点坐标为，纵坐标为定值， 点在直线上， 根据垂线段最短，可得的最小值为点到直线的距离， 又直线平行于轴， 点到直线的距离为， ∴线段的最小值为5． 【变式3】（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中有三点，和． （1）求点和点之间的距离； （2）请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E， ∵， ∴点，点 ∵点，点， ∴． ∵，点， ∴． 在中， ∵，， ∴． 同理，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形． 【分析】（1）根据点的坐标得到，，根据勾股定理计算即可； （2）过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E，根据点的坐标得到，，根据勾股定理求出，同理，根据勾股定理逆定理证明即可． （1）解：∵点，点， ∴． ∵点，点， ∴． ∴在中，； （2）略． 【题型 8】平面直角坐标系与规律问题探究 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 【答案】， 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半； 第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半的相反数，纵坐标是次数加上1的一半，然后写出即可． 解：解∶ 观察发现，第1次跳动至点的坐标是， 第2次跳动至点的坐标是， 第3次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第5次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第7次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， … 第次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， ∴第100次跳动至点的坐标是，第2017次跳动至点的坐标是． 【变式1】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）一些按规律排列的点的坐标如下：、、、……按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别总结点的横坐标和纵坐标的变化规律，代入即可计算得到结果. 解：∵纵坐标为，纵坐标为，纵坐标为，纵坐标为， ∴ 对于，纵坐标规律为； 当时，纵坐标为， 观察可知 n为奇数时，横坐标符号为正，为；n为偶数时，横坐标符号为负，为， 又∵是奇数， ∴的横坐标为 综上，的坐标为. 【变式2】（25-26七年级下·湖南长沙·单元测试）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据图象得出每移动4次图象完成一个循环，结合得出点在第个循环的第3个点的位置，即纵坐标与的相同，为，再根据，，，……，得出，求出的坐标是，即可得解． 解：由题意得：，，，，，，，，……， ∴每移动4次图象完成一个循环， ∵， ∴点在第个循环的第3个点的位置，即纵坐标与的相同，为， ∵，，，……， ∴， ∴的坐标是， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： （1）点的坐标； （2）点的坐标（为正整数）； （3）若点到轴的距离为，求的值． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3） 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． （1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】第二象限内点的横坐标小于0，为负数，纵坐标大于0，为正数，据此可以选出答案． 解：第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． 所以选项A、，横、纵坐标均为正，不符合题意． 选项B、，横坐标为负、纵坐标为正，符合题意． 选项C、，横、纵坐标均为负，不符合题意． 选项D、，横坐标为正、纵坐标为负，不符合题意． 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点的坐标为． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（     ） A．在x轴下方 B．在第四象限 C．距离x轴1个单位长度 D．距离y轴1个单位长度 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离概念等逐一判断各选项即可得到答案． 解：已知点坐标为，横坐标为，纵坐标为， A、∵纵坐标， ∴该点在轴下方，A选项正确，该选项不符合题意； B、∵横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征， ∴该点在第四象限，B选项正确，该选项不符合题意； C、∵点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即， ∴该点距离轴1个单位长度，C选项正确，该选项不符合题意； D、∵点到轴的距离为横坐标的绝对值，即， ∴ 该点距离轴2个单位长度，不是1个单位长度，D选项错误，该选项符合题意． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：点到原点的距离为． 5．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，则点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点所在的象限确定坐标的符号，再结合点到两坐标轴的距离大小进行判断． 解：由图可知，点位于第二象限，点的横坐标小于，纵坐标大于，故排除选项B、D． 观察图形可知，点到轴的距离大于到轴的距离， 点横坐标的绝对值大于纵坐标的绝对值． 选项A中，，，，符合题意； 选项C中，，，，不符合题意． 故选A． 6．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 解：∵平行于y轴，， ∴点C的横坐标为3． ∵正方形边长为4， ∴． 当点C在点B上方时，点C的纵坐标为，即； 当点C在点B下方时，点C的纵坐标为，即． 7．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，当最短时，三角形的面积和t的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、横坐标相同得为定长竖直线段，根据点C到的距离计算三角形面积，再结合垂线段最短可求最短时的t值． 解：，， 横坐标相同，轴，． 点到直线的距离为， ． 根据垂线段最短，当时，最短， 此时轴，点的纵坐标与点的纵坐标相等， 即，解得． 8．（25-26八年级下·四川凉山·期末）若点在第二象限，则化简二次根式得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征得到的符号，再利用二次根式的性质化简，去绝对值整理后得到结果． 解：∵ 点在第二象限， ∴ ，， ∴， ∵ ，， 将上述结果代入得：原式． 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标以及点所在象限求得长方形的长与宽的长度，根据长方形的周长公式求解． 解：∵四边形是长方形，点的坐标为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 长方形的周长为， 解得． 10．（24-25八年级下·天津静海·阶段检测）跨学科 一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于轴的对称点，连接，则光线从点到点经过的路线长为，作与交于点，利用勾股定理求出即可． 解：如图，作关于轴的对称点，连接， 则，且三点共线， 作与交于点． ∴光线从点到点经过的路线长为： ， 即光线从点到点经过的路线长是． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 【答案】0 【分析】根据x轴上点的坐标特征，纵坐标为0，即可求出结果． 解：∵点在轴上， 点的纵坐标为，即． 12．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知，点在轴上且，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据题意，点在轴上，可知点纵坐标为，点也在轴上，因此的长度等于两点横坐标差的绝对值，据此列方程求解． 解：∵点在轴上， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴，即， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或． 13．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期末）若在第四象限，且点到轴的距离为7，则n的值为___________． 【答案】 【分析】先根据点所在象限得出，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值列等式求解即可． 解：∵在第四象限， ∴， ∵点到轴的距离为7， ∴， ∴， 解得． 14．（2026·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是________． 【答案】第一象限 【分析】判断点横纵坐标的正负，结合平面直角坐标系各象限点的符号特征即可求解． 解：∵对任意实数，都有， ∴， ∵点的横坐标，纵坐标， ∵第一象限内点的横纵坐标都为正数， ∴点所在的象限是第一象限． 15．（25-26七年级下·吉林松原·期末）点在第二象限，则点所在的象限是第__________象限． 【答案】二 【分析】根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，判断，的正负，再得到点横纵坐标的正负，结合各象限内点的坐标特征即可求解． 解：点在第二象限， ，， ，， ， 点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征， 点在第二象限． 16．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 17．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））在平面直角坐标系中，点，，点P是直线上一动点，则的最小值______． 【答案】 【分析】考查两点在直线异侧时，距离和的最小值为两点间的线段长度；同侧时才需要作对称点转化．易错点：误将异侧问题当作同侧 “将军饮马” 问题，额外作对称点导致计算错误． 两点在直线异侧时，的最小值就是两点间的线段长度（当 P 为直线与的交点时取到）． 解：∵ 点与在直线异侧， ∴的最小值为的长度． ∴的最小值为． 故答案为：． 18．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【答案】 解：依题意可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴是第二象限的点， ∴的坐标是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河南安阳·期末）已知点，解答下列各题∶ （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． 【答案】（1）点P的坐标为；（2）点P的坐标为 【分析】（1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）由题意易得，然后问题可求解． （1）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知点，根据下列条件分别求出点M的坐标． （1）若，则点M的坐标为________； （2）若点N的坐标是，并且直线轴，则点M的坐标为________，此时________； （3）若点M在一、三象限的角平分线上，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2），4；（3） 【分析】（1）把代入点M的横、纵坐标，即可解答； （2）根据直线轴，可得点M，N的横坐标相等，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得点M的横、纵坐标相等，即可求解． （1）解：当时，， ∴点M的坐标为； （2）解：∵直线轴， ∴点M，N的横坐标相等， ∵点N的坐标是，点， ∴， 解得：， 此时， ∴点M的坐标为， ∴； （3）解：∵点在一、三象限的角平分线上， ∴点M的横纵坐标相等，即， 解得：， ∴， ∴点M的坐标． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）___________； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明：， 由勾股定理同理可得 ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式进行计算即可； （2）先利用勾股定理求出，进而得到，然后根据勾股定理逆定理证明为直角三角形即可． （1）解：∵点，点， ∴； （2）略． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出点的坐标； （2）过点作直线轴，点在直线上，且满足线段的长度最小． ①在图中画出直线，并找到点；此时判断线段最短的依据是：_______； ②求此时线段的值； （3）若点在轴正半轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）；；；（2）①如图；垂线段最短； ②6； （3）点的坐标为 【分析】（1）根据坐标系直接写出各点坐标即可； （2）根据垂线段最短求出即可； （3）先利用网格求出三角形的面积，设，再根据三角形与三角形的面积相等求解即可． 解：（1）略 （2）解：①略 ②由图可得，此时线段的值为； （3）解：由图可得，三角形的面积为 ， 设， 由题意得，三角形的面积为 解得， ∴点的坐标为． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，且，，点C的坐标为． （1）直接写出点A，B的坐标； （2）求三角形的面积； （3）若点M在y轴上，且三角形的面积等于三角形面积的倍，求点M的坐标． 【答案】（1），；（2）9；（3）或 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）先求出三角形的面积，再根据点M在y轴上列出方程，求解即可； （1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴三角形的面积； （3）解：∵三角形的面积， ∴三角形的面积， ∵点M在y轴上， ∴， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·广西防城港·阶段检测）【综合与实践】 【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】 （1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）作轴，则， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明即可； （2）作轴，证明，即可得出结果； （3）过点作直线轴，交轴于点，作，证明，进而求出点的坐标即可． 解：（1）略 （2）略 （3）过点作直线轴，交轴于点，作， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴，即：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 平面直角坐标系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】平面直角坐标系的构成 2 【知识点二】点的坐标定义（有序数对） 2 【知识点三】四大象限及坐标符号特征 2 【知识点四】坐标轴上点的坐标特征（必考基础） 3 【知识点五】平行于坐标轴的直线上点的特征 3 【知识点六】平面点与有序实数对的关系 4 【知识点七】建立适当的平面直角坐标系（课本重难点） 4 【知识点八】坐标描点与图形绘制 4 【知识点九】坐标系实际应用（寻宝定位模型） 4 二.题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】判断点的位置（象限或坐标轴） 4 【题型 2】平行坐标轴坐标特征应用 5 【题型 3】自建坐标系求图形坐标 6 【题型 4】描点连线判断图形形状 6 三.题型精析（巩固提升） 8 【题型 5】建立平面直角坐标系并求值 8 【题型 6】平面直角坐标系与面积问题 9 【题型 7】平面直角坐标系与几何问题综合 10 【题型 8】平面直角坐标系与规律问题探究 11 四.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理与解读 【知识点一】平面直角坐标系的构成 在平面内，两条互相垂直、有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。如图1 图1 其中：1. 水平数轴：称为x轴（横轴），规定向右为正方向； 2. 竖直数轴：称为y轴（纵轴），规定向上为正方向； 3. 两轴公共点：称为坐标原点 O，坐标为 (0，0)。 【知识点二】点的坐标定义（有序数对） 对于平面内任意一点 P，分别向 x 轴、y 轴作垂线： 1. 垂足在 x 轴上对应的数 a 为点 P 的横坐标； 2. 垂足在 y 轴上对应的数 b 为点 P 的纵坐标； 3. 有序数对 (a，b) 叫做点 P 的坐标。 如图：点P 的坐标为（3，2） 图2 核心规则：坐标格式固定为（横坐标，纵坐标），顺序绝对不能颠倒。 【知识点三】四大象限及坐标符号特征 x 轴、y 轴将平面分成四个象限，其中坐标轴上的点不属于任何象限。如图3，两直线分四个区间名称及坐标符号如下： 图3 其中各象限及坐标轴符号特征如下表： 象限 横坐标（x） 纵坐标（y） 坐标符号 第一象限 正 正 (＋，＋) 第二象限 负 正 (－，＋) 第三象限 负 负 (－，－) 第四象限 正 负 (＋，－) 【知识点四】坐标轴上点的坐标特征（必考基础） 如图4，坐标轴上的点坐标特征如下： 1. x 轴上的点：纵坐标为 0，坐标形式：(x，0)； 2. y 轴上的点：横坐标为 0，坐标形式：(0，y)； 3. 原点：横、纵坐标均为 0，坐标(0，0)。 图4 【知识点五】平行于坐标轴的直线上点的特征 1. 平行于 x 轴的直线：直线上所有点纵坐标相同，横坐标不同； 2. 平行于 y 轴的直线：直线上所有点横坐标相同，纵坐标不同。 【知识点六】平面点与有序实数对的关系 平面直角坐标系中，平面内的点与有序实数对一一对应： 1. 任意一个点，对应唯一一组有序坐标； 2. 任意一组有序坐标，对应平面内唯一的点。 【知识点七】建立适当的平面直角坐标系（课本重难点） 同一个几何图形，建立坐标系的方式不唯一，图形形状大小不变，顶点坐标随建系方式改变。 最优建系原则： 1. 以图形顶点为坐标原点； 2. 以图形边所在直线为 x 轴或 y 轴； 3. 尽量使更多顶点落在坐标轴上，简化坐标数值。 【知识点八】坐标描点与图形绘制 描点步骤：先横后纵——先在 x 轴找到横坐标对应点，再在 y 轴找到纵坐标对应点，分别作坐标轴垂线，交点即为所求点；按顺序描点连线可得到完整几何图形。 【知识点九】坐标系实际应用（寻宝定位模型） 已知部分关键点坐标，反向推导原点位置、确定坐标轴，从而读出未知点坐标，是课本典型实操题型。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】判断点的位置（象限或坐标轴） 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限    B．第二象限 C．第三象限    D．第四象限 （2）若点在第四象限，则a的值可以是（　　） A．    B．　0 C．    D．　2 （3）若点在第二象限，则m的值可以是___________．（写出一个即可） 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26九年级下·广东汕头·期中）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在第______象限． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）设点P的坐标为，根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置： （1）； （2）； （3）． 【题型 2】平行坐标轴坐标特征应用 【例题2】（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）已知点，求下列情形下点的坐标． （1）已知点且线段与轴平行； （2）点到轴的距离为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标为，对线段的判断正确的是（   ） A．线段与x轴平行 B．线段与y轴平行 C．线段与x轴垂直 D．以上说法都不对 【变式2】（25-26七年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，点，，若直线与x轴平行，则点M的坐标是_____． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知点，点，若线段与轴平行，且，求点、点的坐标． 【题型 3】自建坐标系求图形坐标 【例题3】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为和，写出点的坐标，并指出它们所在的象限． 【变式1】（2025·山西大同·三模）如图，方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为．若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东江门·期中）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则“炮”位于点___________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知在长方形中，，，请你建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的4个顶点的坐标． 【题型 4】描点连线判断图形形状 【例题4】（25-26八年级·上海·寒假作业）在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·阶段检测）点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）在图中描出下列各点：，，． （3）依次连接、、得到一个封闭图形，判断此图形的形状为　　　．直接写出的长为　　　． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】建立平面直角坐标系并求值 【例题5】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，已知长方形的长与宽分别为6，4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标： （1）如果以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，； （2）如果以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为； （3）你还有其他不同的方案吗？请写出一种方案和各顶点坐标． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点O，A，B都在方格纸的交点（格点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，在x轴下方的格点上找点C，使的面积为3，则这样的点C共有_________个． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形中，，，，，． （1）求四边形的面积． （2）建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 【题型 6】平面直角坐标系与面积问题 【例题6】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． （1）求，的值． （2）求三角形的面积． （3）若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【变式2】（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【变式3】（25-26七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，点 分别在 y 轴、x 轴上，且 a、b 满足. （1）求 a、b 的值； （2）求的面积； （3）点P在x轴上，且的面积是面积的一半，求点P的坐标. 【题型 7】平面直角坐标系与几何问题综合 【例题7】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．点的坐标满足，连接，和． （1）求点的坐标； （2）若轴上有一点使得的面积为，求点的坐标； （3）点在线段上，当的面积为时，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期末）已知点，点为平面直角坐标系内一动点，则线段的最小值为________． 【变式3】（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中有三点，和． （1）求点和点之间的距离； （2）请判断的形状，并说明理由． 【题型 8】平面直角坐标系与规律问题探究 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 【变式1】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）一些按规律排列的点的坐标如下：、、、……按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖南长沙·单元测试）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是_________． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： （1）点的坐标； （2）点的坐标（为正整数）； （3）若点到轴的距离为，求的值． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（     ） A．在x轴下方 B．在第四象限 C．距离x轴1个单位长度 D．距离y轴1个单位长度 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，则点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，当最短时，三角形的面积和t的值分别为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川凉山·期末）若点在第二象限，则化简二次根式得（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·天津静海·阶段检测）跨学科 一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是（ ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 12．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知，点在轴上且，则点的坐标是__________． 13．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期末）若在第四象限，且点到轴的距离为7，则n的值为___________． 14．（2026·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是________． 15．（25-26七年级下·吉林松原·期末）点在第二象限，则点所在的象限是第__________象限． 16．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 17．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））在平面直角坐标系中，点，，点P是直线上一动点，则的最小值______． 18．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河南安阳·期末）已知点，解答下列各题∶ （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知点，根据下列条件分别求出点M的坐标． （1）若，则点M的坐标为________； （2）若点N的坐标是，并且直线轴，则点M的坐标为________，此时________； （3）若点M在一、三象限的角平分线上，求点M的坐标． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）___________； （2）求证：． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出点的坐标； （2）过点作直线轴，点在直线上，且满足线段的长度最小． ①在图中画出直线，并找到点；此时判断线段最短的依据是：_______； ②求此时线段的值； （3）若点在轴正半轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点的坐标． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，且，，点C的坐标为． （1）直接写出点A，B的坐标； （2）求三角形的面积； （3）若点M在y轴上，且三角形的面积等于三角形面积的倍，求点M的坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·广西防城港·阶段检测）【综合与实践】 【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】 （1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $