专题 2.3 二次根式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦二次根式核心知识，系统梳理定义与有意义条件（含双重非负性）、乘除法则（逆用化简）、最简二次根式、同类二次根式与加减运算、混合运算与公式应用（平方差、完全平方公式），构建递进式学习支架。 资料特色在于知识梳理附要点提示，题型精析分基础夯实（判定、乘除等）与巩固提升（乘法公式、分母有理化等），例题搭配变式题。通过双重非负性培养抽象能力，混合运算提升运算能力，化简求值发展推理意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 2.3 二次根式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次根式的定义与有意义条件 1 【知识点二】二次根式的乘除法则 2 【知识点三】最简二次根式 2 【知识点四】同类二次根式与加减运算 2 【知识点五】二次根式混合运算与公式应用 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】二次根式的判定与取值范围 3 【题型 2】二次根式乘除基础计算 5 【题型 3】二次根式化简（最简根式） 6 【题型 4】同类二次根式与加减运算 8 三.题型精析（巩固提升） 10 【题型 5】乘法公式在根式中的应用 10 【题型 6】分母有理化运算 11 【题型 7】根式化简求值 14 【题型 8】二次根式复杂混合运算 16 四.同步检测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次根式的定义与有意义条件 1. 定义：形如的式子叫做二次根式，其中为被开方数，“”为二次根号。 2. 有意义条件：被开方数必须为非负数，即，负数没有算术平方根，因此负数不能作为二次根式的被开方数。 3. 双重非负性：二次根式具备核心性质，被开方数，根式运算结果。 【要点提示】 ① 判断式子是否为二次根式，只看是否带有二次根号且被开方数非负，与化简结果无关； ② 若题目出现多个二次根式，需保证每一个被开方数均大于等于0； ③ 常见非负数：二次根式、绝对值、平方数，三者和为0则各自为0。 【知识点二】二次根式的乘除法则 1. 乘法法则： 逆用（化简专用）：，可将复杂根式拆分为简单根式。 2. 除法法则： 逆用（化简专用）：，可化简分式型二次根式。 【要点提示】 ① 所有乘除运算必须严格遵守取值范围，除数对应的被开方数不能为0； ② 根式运算优先逆用法则化简，再进行计算，可大幅简化运算步骤。 【知识点三】最简二次根式 1. 定义：同时满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数不含分母、小数、分数； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 化简要求：所有二次根式运算结果，必须化为最简二次根式。 【要点提示】 ① 带分数、小数的根式必须先化为分数形式，再化简； ② 分母中含有根号的式子不是最简形式，必须进行分母有理化。 【知识点四】同类二次根式与加减运算 1. 同类二次根式定义：将多个二次根式化为最简后，若被开方数完全相同，则为同类二次根式。 2. 加减运算法则：先化简、再判断、最后合并。先把所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，非同类二次根式不能合并。 3. 合并规则：只合并二次根式的系数，根号与被开方数部分保持不变。 【要点提示】 二次根式加减本质与整式合并同类项一致，核心是同类才可合并，异类不可加减。 【知识点五】二次根式混合运算与公式应用 1. 运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内，与实数运算顺序一致。 2. 公式适用：整式乘法公式完全适用，包含平方差公式、完全平方公式。 3. 分母有理化：分母含根式时，分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数。 【要点提示】 混合运算优先使用乘法公式简化计算，避免硬算；最终结果必须化为最简二次根式。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】二次根式的判定与取值范围 【例题1】（25-26八年级下·新疆巴州·期中）已知、满足，、满足，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出，，再根据二次根式的定义求出，进而求出，即可求解． 解：， ，， 解得，， 、满足， ，， 解得，， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 【变式2】（25-26七年级下·河南信阳·期末）若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后计算即可． 解：由题意得， 解得， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】（1）；（2）当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 （1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 【题型 2】二次根式乘除基础计算 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． （1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：，选项A错误． ，，选项B、D错误． ，选项C正确． 【变式2】（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 解：原式． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型 3】二次根式化简（最简根式） 【例题3】（26-27八年级·上海·暑假作业）化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解：． （2）解：由，可知． 所以． （3）解：． 因为，所以． 【变式1】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 解：∵满足最简二次根式的条件，∴A符合要求； ∵，被开方数含分母，不满足条件，∴B不符合要求； ∵的被开方数含分母，不满足条件，∴C不符合要求； ∵，被开方数是能开得尽方的因数，不满足条件，∴D不符合要求； 【变式2】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，数轴上原点为，点表示2，过点作，且，以为圆心，的长为半径作弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】根据题意可知的长度，再根据，则可由勾股定理求出的长，即可求解． 解：根据题意得：，， ，， ， 点表示的数是． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． （1）求 的值； （2）若，化简：． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． （1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【题型 4】同类二次根式与加减运算 【例题4】（25-26八年级下·全国·单元复习）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，以及绝对值的化简计算，正确化简二次根式是解决本题的关键． （1）根据绝对值的几何意义以及二次根式的化简求解即可． （2）根据二次根式的化简求解即可． （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 【变式2】（25-26八年级下·吉林·期末）计算：_______________． 【答案】 解：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再去括号进行加减运算； （2）先化简二次根式，再去括号进行加减运算． （1）解： （2）解： 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】乘法公式在根式中的应用 【例题5】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1） 先化简二次根式，计算二次根式乘法，再合并同类二次根式； （2） 利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项． （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 【变式2】（2026·上海·三模）若，，则________． 【答案】 解：∵，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【题型 6】分母有理化运算 【例题6】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）计算 （1）； （2）； （3）观察下列等式： ； ； …… 利用上面等式提供的信息，回答下列问题：①若，则 ； ②比较大小： ． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式、二次根式的运算法则进行计算，化简后合并同类二次根式即可； （3）①由原式得出，再分母有理化即可； ②利用平方差公式完成分母有理化，再用作差法比较大小． （1）解：； （2）解： ； （3）解：①∵， ∴ ； ②， ， ， ， 即． 【变式1】（25-26八年级下·新疆哈密·期中）已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 解：. 【变式2】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 【答案】 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 解：， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （1）解：． （2）解：． 【题型 7】根式化简求值 【例题7】（23-24八年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 解：， ， 两边平方，得， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值后代入计算． 解： ∵， ∴， 将，代入得： 原式． 【变式2】（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁营口·阶段检测）先化简，再求值． 已知，，求： （1）的值； （2）的值 【答案】（1）；（2） （1）解：∵， ， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ． 【题型 8】二次根式复杂混合运算 【例题8】（25-26八年级下·云南玉溪·阶段检测）计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用零次幂、二次根式的性质、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先利用二次根式的性质化简，然后再逆用积的乘方以及二次根式的混合运算法则计算即可． （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案 解：A．原式＝ ，结果为有理数； B．原式＝ ，结果为有理数； C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数； D．原式＝ ，结果为有理数． 故选择C． 【点拨】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键． 【变式2】（24-25八年级下·重庆南岸·开学考试）计算：_____． 【答案】 解： ． 【变式3】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （4）根据二次根式的混合计算法则求解即可． （1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·吉林·期末）下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：二次根式要求被开方数是非负数． A、中的，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项A不符合题意； B、中的，当时不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项B不符合题意； C、中的，当时，，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项C不符合题意； D，中的，符合被开方数为非负数，故是二次根式，选项D符合题意． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 3．（25-26八年级下·福建莆田·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质即可计算出结果. 解：对任意实数，都有， . 4．（25-26八年级下·广西防城港·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，分别计算各选项后判断正误． 解：A、，A正确； B、，B错误； C、和不是同类二次根式，不能合并，C错误； D、，D错误． 5．（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 解： ． 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）下列二次根式中为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断选项即可得出答案． 解： 选项A：，不是最简二次根式； 选项B：是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：被开方数含分母，不是最简二次根式． 7．（25-26八年级下·四川自贡·期末）与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同类二次根式定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，逐项判断即可． 解：对于选项A：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项B：，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项C：，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项D：，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式． 8．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程． 解：， ， 两边同时平方得： 展开得： 整理得： 将代入得 原式． 9．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】比较两个正无理数的大小，可采用平方法，正数比较大小时，平方越大的数本身越大，进一步可得答案． 解：∵ ， 而 ∴ ∴ ． 10．（25-26八年级下·天津西青·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：，，再根据勾股定理求出，从而求出，即可得出点表示的数． 解：由题意可知， 直线， ， 由勾股定理得， 由题意可知， 点C表示的数是． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·吉林长春·模拟预测）要使式子有意义，则x的最大值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，最后确定的最大值． 解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的最大值为2． 12．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）化简：________． 【答案】/ 解：． 13．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简：____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 解：， ， ， 故答案为：． 14．（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 解： ． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【答案】 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 16．（25-26八年级下·广东广州·期末）正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解的值. 解：根据题意，得 ， 正方形边长，舍去负根， 解得：． 17．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 18．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】证明得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河南开封·期末）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北沧州·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： （2）解： 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东菏泽·期末）已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； 由已知可得，，再利用完全平方公式将原式变形为，进而代入计算即可． （1）解：∵，， ∴，， ∴原式 ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西·期末）如图，在中，是边上一点，，，，． （1）________；________． （2）求的周长． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）先求、再求即可； （2）根据勾股逆定理可得，再利用勾股定理求出，进而得到的周长． （1）解：，； （2）解：，又 ，即， ， ， ， 的周长． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，　　　　（填写，或者） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】（1）（2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． （1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）略 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）课本原题：已知，求的值． （1）请用两种方法解决课本原题； （2）变式探究：若，则代数式的值为（    ） A．4；B．8；C．16；D．20 （3）变式探究：已知，求的值． （4）拓展延伸：若的小数部分是a，整数部分是b，则代数式的值为多少？ 【答案】（1）见解析；（2）A；（3）；（4）2 【分析】（1）一种方法是将x，y的值直接代入；另一种方法是将变形为，再将x，y的值代入求解； （2）将变形为，再将x，y的值代入求解； （3）将变形为，再将的值代入求解； （4）根据可知：小数部分，整数部分，代入求解即可． （1）解：方法一： ； 方法二： ∵， ∴，， ∴． （2）解： ， 故选A； （3）解：∵， ∴， ∴ ； （4）解：由题意得：，， ∴． 【点拨】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，求无理数的整数、小数部分等，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及完全平方公式的变形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 二次根式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次根式的定义与有意义条件 1 【知识点二】二次根式的乘除法则 2 【知识点三】最简二次根式 2 【知识点四】同类二次根式与加减运算 2 【知识点五】二次根式混合运算与公式应用 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】二次根式的判定与取值范围 3 【题型 2】二次根式乘除基础计算 3 【题型 3】二次根式化简（最简根式） 4 【题型 4】同类二次根式与加减运算 4 三.题型精析（巩固提升） 5 【题型 5】乘法公式在根式中的应用 5 【题型 6】分母有理化运算 5 【题型 7】根式化简求值 6 【题型 8】二次根式复杂混合运算 7 四.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次根式的定义与有意义条件 1. 定义：形如的式子叫做二次根式，其中为被开方数，“”为二次根号。 2. 有意义条件：被开方数必须为非负数，即，负数没有算术平方根，因此负数不能作为二次根式的被开方数。 3. 双重非负性：二次根式具备核心性质，被开方数，根式运算结果。 【要点提示】 ① 判断式子是否为二次根式，只看是否带有二次根号且被开方数非负，与化简结果无关； ② 若题目出现多个二次根式，需保证每一个被开方数均大于等于0； ③ 常见非负数：二次根式、绝对值、平方数，三者和为0则各自为0。 【知识点二】二次根式的乘除法则 1. 乘法法则： 逆用（化简专用）：，可将复杂根式拆分为简单根式。 2. 除法法则： 逆用（化简专用）：，可化简分式型二次根式。 【要点提示】 ① 所有乘除运算必须严格遵守取值范围，除数对应的被开方数不能为0； ② 根式运算优先逆用法则化简，再进行计算，可大幅简化运算步骤。 【知识点三】最简二次根式 1. 定义：同时满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数不含分母、小数、分数； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 化简要求：所有二次根式运算结果，必须化为最简二次根式。 【要点提示】 ① 带分数、小数的根式必须先化为分数形式，再化简； ② 分母中含有根号的式子不是最简形式，必须进行分母有理化。 【知识点四】同类二次根式与加减运算 1. 同类二次根式定义：将多个二次根式化为最简后，若被开方数完全相同，则为同类二次根式。 2. 加减运算法则：先化简、再判断、最后合并。先把所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，非同类二次根式不能合并。 3. 合并规则：只合并二次根式的系数，根号与被开方数部分保持不变。 【要点提示】 二次根式加减本质与整式合并同类项一致，核心是同类才可合并，异类不可加减。 【知识点五】二次根式混合运算与公式应用 1. 运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内，与实数运算顺序一致。 2. 公式适用：整式乘法公式完全适用，包含平方差公式、完全平方公式。 3. 分母有理化：分母含根式时，分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数。 【要点提示】 混合运算优先使用乘法公式简化计算，避免硬算；最终结果必须化为最简二次根式。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】二次根式的判定与取值范围 【例题1】（25-26八年级下·新疆巴州·期中）已知、满足，、满足，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南信阳·期末）若，则_____________． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【题型 2】二次根式乘除基础计算 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【题型 3】二次根式化简（最简根式） 【例题3】（26-27八年级·上海·暑假作业）化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，数轴上原点为，点表示2，过点作，且，以为圆心，的长为半径作弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是__________． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． （1）求 的值； （2）若，化简：． 【题型 4】同类二次根式与加减运算 【例题4】（25-26八年级下·全国·单元复习）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·吉林·期末）计算：_______________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】乘法公式在根式中的应用 【例题5】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）计算 （1） （2） 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·上海·三模）若，，则________． 【变式3】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）计算 （1） （2） 【题型 6】分母有理化运算 【例题6】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）计算 （1）； （2）； （3）观察下列等式： ； ； …… 利用上面等式提供的信息，回答下列问题：①若，则 ； ②比较大小： ． 【变式1】（25-26八年级下·新疆哈密·期中）已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 【变式3】（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 【题型 7】根式化简求值 【例题7】（23-24八年级上·上海·期中）已知，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）若，，则代数式的值等于____． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁营口·阶段检测）先化简，再求值． 已知，，求： （1）的值； （2）的值 【题型 8】二次根式复杂混合运算 【例题8】（25-26八年级下·云南玉溪·阶段检测）计算下列各题： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆南岸·开学考试）计算：_____． 【变式3】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·吉林·期末）下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级下·福建莆田·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西防城港·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）下列二次根式中为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·四川自贡·期末）与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 10．（25-26八年级下·天津西青·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的数是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·吉林长春·模拟预测）要使式子有意义，则x的最大值为________． 12．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）化简：________． 13．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简：____________________． 14．（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 15．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 16．（25-26八年级下·广东广州·期末）正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 17．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 18．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，，，，则的面积为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河南开封·期末）计算： （1） （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北沧州·期末）计算： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东菏泽·期末）已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西·期末）如图，在中，是边上一点，，，，． （1）________；________． （2）求的周长． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，　　　　（填写，或者） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）课本原题：已知，求的值． （1）请用两种方法解决课本原题； （2）变式探究：若，则代数式的值为（    ） A．4；B．8；C．16；D．20 （3）变式探究：已知，求的值． （4）拓展延伸：若的小数部分是a，整数部分是b，则代数式的值为多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $