3.3轴对称与坐标变化 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

轴对称与坐标变化 学习目标 1. 理解在平面直角坐标系中，关于(x)轴和(y)轴对称点的坐标特征。 2. 能根据已知点的坐标，求出其关于(x)轴、(y)轴对称点的坐标。 3. 能利用关于(x)轴、(y)轴对称点的坐标特征解决相关的实际问题，如根据已知图形上点的坐标，求出其对称图形上对应点的坐标，并画出对称图形。 知识点讲解 关于(x)轴对称的点的坐标特征 在平面直角坐标系中，关于(x)轴对称的点的坐标特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点(P(x,y))关于(x)轴的对称点(P')的坐标是 。 例如：点(A(2,3))关于(x)轴的对称点(A')的坐标为。 关于(y)轴对称的点的坐标特征 在平面直角坐标系中，关于(y)轴对称的点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数。即点(P(x,y))关于(y)轴的对称点(P')的坐标是 。 例如：点关于(y)轴的对称点(B')的坐标为((4,5))。 利用坐标变化进行图形的轴对称变换 1. 已知一个图形上各点的坐标，求其关于(x)轴或(y)轴对称图形上对应点的坐标时，只需根据关于(x)轴、(y)轴对称点的坐标特征进行求解。 2. 根据所求对称图形上对应点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，再依次连接各点，即可得到原图形关于(x)轴或(y)轴的对称图形。 例题解析 例 1 已知点，求点(A)关于(x)轴的对称点(A')的坐标。 解析：根据关于(x)轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数。 因为点(A)的坐标为，所以点(A)关于(x)轴的对称点(A')的横坐标为(-3)，纵坐标为(-4)，即(A')的坐标为。 例 2 已知点，求点(B)关于(y)轴的对称点(B')的坐标。 解析：依据关于(y)轴对称的点的坐标特征，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 点(B)的坐标是，那么点(B)关于(y)轴的对称点(B')的纵坐标为(-2)，横坐标为(-5)，所以(B')的坐标是。 例 3 在平面直角坐标系中有，(A(1,2))，(B(3,4))，(C(5,1))，求关于(x)轴对称的各顶点的坐标。 解析： 根据关于(x)轴对称点的坐标特征： 对于点(A(1,2))，其关于(x)轴的对称点(A')的坐标，横坐标不变为(1)，纵坐标变为相反数(-2)，即； 对于点(B(3,4))，其关于(x)轴的对称点(B')的坐标，横坐标不变为(3)，纵坐标变为相反数(-4)，即； 对于点(C(5,1))，其关于(x)轴的对称点(C')的坐标，横坐标不变为(5)，纵坐标变为相反数(-1)，即。 所以各顶点坐标为，，。 例 4 已知点关于(y)轴对称的点在第二象限，求(a)的取值范围。 解析： 首先求点关于(y)轴的对称点(P')的坐标，根据关于(y)轴对称点的坐标特征，(P')的坐标为，即。 因为(P')在第二象限，第二象限内点的坐标特征是横坐标小于(0)，纵坐标大于(0)。 可得不等式组 解不等式， 移项得， 两边同时乘以(-1)，不等号方向改变，得。 解不等式， 移项得(2a>4)， 两边同时除以(2)，得(a>2)。 综合两个不等式的解，取公共部分，(a)的取值范围是(a>2)。 巩固练习 （一）选择题 1. 点关于(x)轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. ((5,3)) D. 2. 点关于(y)轴的对称点的坐标是（ ） A. B. ((2,4)) C. D. 3. 已知点(A(x,3))和点关于(y)轴对称，则(x + y)的值为（ ） A. (1) B. ( - 1) C. (5) D. ( - 5) 4. 在平面直角坐标系中，已知点(A(m,n))在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （二）填空题 1. 点关于(x)轴对称的点的坐标是( ) 。 2. 点关于(y)轴对称的点的坐标是 ( ) 。 3. 若点与点关于(x)轴对称，则( ) ， 。 4. 已知点关于(y)轴的对称点在第三象限，则(m)的取值范围是 ( ) 。 （三）解答题 1. 已知的三个顶点坐标分别为，，，作出关于(y)轴对称的，并写出各顶点的坐标。 2. 已知点，分别根据下列条件求出点(A)的坐标。 (1) 点(A)在(x)轴上； (2) 点(A)在(y)轴上； (3) 点(A)到(x)轴、(y)轴的距离相等。 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：A 解析：关于(x)轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。点关于(x)轴的对称点，横坐标为(-5)，纵坐标为(-3)，即，所以选 A。 2. 答案：A 解析：关于(y)轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。点关于(y)轴的对称点，纵坐标为(-4)，横坐标为(-2)，即，所以选 A。 3. 答案：C 解析：关于(y)轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。已知点(A(x,3))和点关于(y)轴对称，则，，所以，选 C。 4. 答案：D 解析：因为点(A(m,n))在第二象限，所以(m<0)，(n>0)。那么，(m<0)，所以点横坐标小于(0)，纵坐标小于(0)，在第四象限，选 D。 （二）填空题 1. 答案： 解析：关于(x)轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。点关于(x)轴对称的点，横坐标是(-3)，纵坐标是(-5)，即。 2. 答案： 解析：关于(y)轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。点关于(y)轴对称的点，纵坐标是(-6)，横坐标是(-4)，即。 3. 答案：， 解析：关于(x)轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。点与点关于(x)轴对称，则，。 4. 答案： 解析：点关于(y)轴的对称点为，即。因为其在第三象限，第三象限内点的坐标特征是横坐标小于(0)，纵坐标小于(0)。可得不等式组 解不等式， 移项得， 两边同时除以(-2)，不等号方向改变，得。 解不等式， 移项得(3m<9)， 两边同时除以(3)，得(m<3)。 所以(m)的取值范围是。 （三）解答题 1. 解析： 根据关于(y)轴对称点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 对于点，其关于(y)轴的对称点(A')的坐标为((2,1))； 对于点，其关于(y)轴的对称点(B')的坐标为； 对于点，其关于(y)轴的对称点(C')的坐标为。 所以各顶点坐标为(A'(2,1))，，。 2. 解析： (1) 点(A)在(x)轴上，那么纵坐标为(0)，即， 解得。 将代入横坐标(2a - 1)，得。 所以点(A)的坐标为。 (2) 点(A)在(y)轴上，那么横坐标为(0)，即， 移项得， 两边同时除以(2)，得。 将代入纵坐标(a + 7)，得。 所以点(A)的坐标为。 (3) 点(A)到(x)轴、(y)轴的距离相等， 可得或。 当时， 移项得， 解得。 此时横坐标，纵坐标，点(A)坐标为((15,15))。 当时， 去括号得， 移项得， ， 两边同时除以(3)，得。 此时横坐标，纵坐标，点(A)坐标为。 所以点(A)的坐标为((15,15))或。 学科网（北京）股份有限公司 $ 轴对称与坐标变化 学习目标 1. 理解在平面直角坐标系中，关于(x)轴和(y)轴对称点的坐标特征。 2. 能根据已知点的坐标，求出其关于(x)轴、(y)轴对称点的坐标。 3. 能利用关于(x)轴、(y)轴对称点的坐标特征解决相关的实际问题，如根据已知图形上点的坐标，求出其对称图形上对应点的坐标，并画出对称图形。 知识点讲解 关于(x)轴对称的点的坐标特征 在平面直角坐标系中，关于(x)轴对称的点的坐标特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点(P(x,y))关于(x)轴的对称点(P')的坐标是 。 例如：点(A(2,3))关于(x)轴的对称点(A')的坐标为。 关于(y)轴对称的点的坐标特征 在平面直角坐标系中，关于(y)轴对称的点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数。即点(P(x,y))关于(y)轴的对称点(P')的坐标是 。 例如：点关于(y)轴的对称点(B')的坐标为((4,5))。 利用坐标变化进行图形的轴对称变换 1. 已知一个图形上各点的坐标，求其关于(x)轴或(y)轴对称图形上对应点的坐标时，只需根据关于(x)轴、(y)轴对称点的坐标特征进行求解。 2. 根据所求对称图形上对应点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，再依次连接各点，即可得到原图形关于(x)轴或(y)轴的对称图形。 例题解析 例 1 已知点，求点(A)关于(x)轴的对称点(A')的坐标。 例 2 已知点，求点(B)关于(y)轴的对称点(B')的坐标。 例 3 在平面直角坐标系中有，(A(1,2))，(B(3,4))，(C(5,1))，求关于(x)轴对称的各顶点的坐标。 例 4 已知点关于(y)轴对称的点在第二象限，求(a)的取值范围。 巩固练习 （一）选择题 1. 点关于(x)轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. ((5,3)) D. 2. 点关于(y)轴的对称点的坐标是（ ） A. B. ((2,4)) C. D. 3. 已知点(A(x,3))和点关于(y)轴对称，则(x + y)的值为（ ） A. (1) B. ( - 1) C. (5) D. ( - 5) 4. 在平面直角坐标系中，已知点(A(m,n))在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （二）填空题 1. 点关于(x)轴对称的点的坐标是( ) 。 2. 点关于(y)轴对称的点的坐标是 ( ) 。 3. 若点与点关于(x)轴对称，则( ) ， 。 4. 已知点关于(y)轴的对称点在第三象限，则(m)的取值范围是 ( ) 。 （三）解答题 1. 已知的三个顶点坐标分别为，，，作出关于(y)轴对称的，并写出各顶点的坐标。 2. 已知点，分别根据下列条件求出点(A)的坐标。 (1) 点(A)在(x)轴上； (2) 点(A)在(y)轴上； (3) 点(A)到(x)轴、(y)轴的距离相等。 学科网（北京）股份有限公司 $