2.2 反比例函数的图象与性质【分层作业】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习通过“前置梳理-基础巩固-综合提升-拓展探究-中考链接”五级分层设计，构建从概念理解到中考应用的完整知识巩固路径，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|反比例函数定义、图象性质等核心概念|填空形式夯实数形结合基础，培养抽象能力| |基础巩固|象限判断、增减性、点在图象上、k的几何意义等单一知识点|4题型各4题，基础题与变式题结合，强化运算能力| |综合提升|跨象限比较、参数范围、k的几何意义综合应用|高频易错点专项突破，发展逻辑推理能力| |拓展探究|反比例函数与几何面积综合压轴题|开放探究题型，培养创新意识与问题解决能力| |中考链接|近年中考真题（选择、填空、解答）|对接中考考点，提升应用意识与应试能力|

2.2 反比例函数的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】判断反比例函数图象所在象限 2 【题型2】反比例函数增减性应用 3 【题型3】判断点是否在反比例函数图象上 3 【题型4】k的几何意义基础应用 4 【题型5】函数图象对称性应用 6 三.综合提升 6 【题型1】 跨象限比较函数值大小（高频易错） 6 【题型2】根据函数性质求参数范围 7 【题型3】k的几何意义综合应用 9 【题型4】 函数图象与性质综合辨析 10 四.拓展探究 11 【题型】反比例函数几何面积压轴探究 12 五.中考链接 13 六.自我评价 16 一.知识梳理（前置作业） 【学习要求】结合教材自主完成填空，熟练掌握反比例函数图象与核心性质，筑牢数形结合基础。 1. 反比例函数解析式：，图象是______，图象关于______、______成中心对称，关于直线________、________成轴对称。 2. 当时，双曲线的两支分别位于第________、________象限；在每个象限内，随的增大而________。 3. 当时，双曲线的两支分别位于第________、________象限；在每个象限内，随的增大而________。 4. 反比例函数图象永远不会与________、________相交，因为自变量，函数值。 5. 反比例函数中，k的几何意义：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为________，所得直角三角形面积为________。 6. 增减性注意事项：反比例函数的增减性必须强调________，不能跨象限讨论。 二.基础巩固 【题型1】判断反比例函数图象所在象限 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．（25-26九年级上·广西梧州·期末）函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果反比例函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围是_______． 4．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为_______． 【题型2】反比例函数增减性应用 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．（第二十七章反比例函数高效同步练习27.2反比例函数的图象和性质第2课时反比例函数的性质）若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【题型3】判断点是否在反比例函数图象上 1．（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 4．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【题型4】k的几何意义基础应用 1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 3．（第6章2反比例函数的图象和性质）一个反比例函数在第三象限的图象如图，是图象上任意一点，轴于点，是坐标原点．如果的面积是，那么这个反比例函数的表达式是________． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则_____． 【题型5】函数图象对称性应用 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 4．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 三.综合提升 【题型1】 跨象限比较函数值大小（高频易错） 1．（25-26八年级下·上海·期末）已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． （1）图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【题型2】根据函数性质求参数范围 1．（2026·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 4．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数． （1）若，则x的取值范围是__________； （2）若，则x的取值范围是__________； （3）若，且，则x的取值范围是__________． 【题型3】k的几何意义综合应用 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 2．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，若的面积是3，求的值． 【题型4】 函数图象与性质综合辨析 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 2．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 3．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 四.拓展探究 【题型】反比例函数几何面积压轴探究 1．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； （3）双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．（2026·湖北·中考真题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为______． 6．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 三、解答题 8．（2026·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 综合提升 □顺利 □有困难 拓展探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 反比例函数的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】判断反比例函数图象所在象限 2 【题型2】反比例函数增减性应用 4 【题型3】判断点是否在反比例函数图象上 7 【题型4】k的几何意义基础应用 10 【题型5】函数图象对称性应用 14 三.综合提升 16 【题型1】 跨象限比较函数值大小（高频易错） 16 【题型2】根据函数性质求参数范围 19 【题型3】k的几何意义综合应用 23 【题型4】 函数图象与性质综合辨析 28 四.拓展探究 33 【题型】反比例函数几何面积压轴探究 33 五.中考链接 38 六.自我评价 48 一.知识梳理（前置作业） 【学习要求】结合教材自主完成填空，熟练掌握反比例函数图象与核心性质，筑牢数形结合基础。 1. 反比例函数解析式：，图象是________，图象关于________、________成中心对称，关于直线________、________成轴对称。 2. 当时，双曲线的两支分别位于第________、________象限；在每个象限内，随的增大而________。 3. 当时，双曲线的两支分别位于第________、________象限；在每个象限内，随的增大而________。 4. 反比例函数图象永远不会与________、________相交，因为自变量，函数值。 5. 反比例函数中，k的几何意义：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为________，所得直角三角形面积为________。 6. 增减性注意事项：反比例函数的增减性必须强调________，不能跨象限讨论。 参考答案 1. 双曲线；原点；原点；； 2. 一、三；减小 3. 二、四；增大 4. 轴；轴 5. ； 6. 在每一个象限内 二.基础巩固 【题型1】判断反比例函数图象所在象限 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 2．（25-26九年级上·广西梧州·期末）函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 根据平方非负性得到，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在的象限． 解：∵， ∴， ∴函数的图象分布在第一、三象限， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果反比例函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解不等式，对于反比例函数，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限，据此可得，解不等式即可得到答案． 解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，完全平方公式．根据多项式是一个完全平方式得，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限得，由此解得，据此可得出的值． 解：多项式是一个完全平方式， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ， 故答案为：． 【题型2】反比例函数增减性应用 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 解：∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 2．（第二十七章反比例函数高效同步练习27.2反比例函数的图象和性质第2课时反比例函数的性质）若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 3．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 【题型3】判断点是否在反比例函数图象上 1．（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案. 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为，即图象上的点满足. 对各选项验证：A选项：，满足条件，在此函数图象上； B选项：，不满足； C选项：，不满足； D选项：，不满足. 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合，且为定值． 先根据点是反比例函数图象上求出的值，再对各选项进行逐一判断即可． 解：∵点在反比例函数图象上，． A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式判断反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 待定系数法求反比例函数解析式可得的值，根据即可得增减性． 解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 即； 又∵ ∴在图象的每一支上，随的增大而减小． 故答案为：减小． 4．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 【题型4】k的几何意义基础应用 1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义，先求出的面积，再利用中线均分面积即可得到结果． 解：∵点P在反比例函数的图象上，轴于点A， ∴， ∵点B是的中点， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，再根据的面积为6得，由此即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，以及反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 解：设与轴交于点，如下图所示： 轴于点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 的面积为6， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故选：D． 3．（第6章2反比例函数的图象和性质）一个反比例函数在第三象限的图象如图，是图象上任意一点，轴于点，是坐标原点．如果的面积是，那么这个反比例函数的表达式是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数 中的几何意义，熟练掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为是解题的关键；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 解：设这个反比例函数的表达式为，因为，所以，所以 因为双曲线的一支在第三象限内，所以，所以， 即这个反比例函数的表达式为； 故答案为： 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据，列出方程，求出k的值． 解：如图，延长交x轴于点C， ∵过上任意一点作y轴的平行线交于点B． ∴，， ∵，， ∴， 解得，， ∵在第二象限内， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型5】函数图象对称性应用 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 4．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，因此两个函数的交点也关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律即可求出另一个交点坐标． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 三.综合提升 【题型1】 跨象限比较函数值大小（高频易错） 1．（25-26八年级下·上海·期末）已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 3．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． （1）图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【答案】（1）第四象限，；（2） 【分析】（1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数小于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而增大，即可求得答案． （1）解：根据图象知：该函数的图象的另一支位于第四象限， ∵这个反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴在这个函数图象的任意一支上，都随的增大而增大， ∴当时，． 【题型2】根据函数性质求参数范围 一、单选题 1．（2026·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据增减性求解即可． 解：把代入，得， 解得：， ∴该反比例函数表达式为， 当时，， 解得， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，或． 4．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数． （1）若，则x的取值范围是__________； （2）若，则x的取值范围是__________； （3）若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】（1）或；（2）；（3）或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． （1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【题型3】k的几何意义综合应用 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据过双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系即可判断． 解：延长交y轴于E，则轴， ∵点A在双曲线上， ∴四边形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴四边形的面积为12， ∴矩形的面积为． 2．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 解： 由题意可知：，，， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． （1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，若的面积是3，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． （1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 【题型4】 函数图象与性质综合辨析 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 2．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 3．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可． 解：A选项，将代入，得，函数图象不过点，A错误； B选项，， 函数图象位于第二、四象限，B错误； C选项，当时，随的增大而增大，C错误； D选项，当时，，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ，D正确 ． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 四.拓展探究 【题型】反比例函数几何面积压轴探究 1．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】（1），；（2）存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． （1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； （3）双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． （1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 2．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 3．（2026·湖北·中考真题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 二、填空题 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 三、解答题 8．（2026·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2）， ∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． （1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）略 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． （1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 综合提升 □顺利 □有困难 拓展探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $