学易金卷：九年级数学9月学情自测卷（新题型广东广州专用，新教材人教版九上第25-26章：一元二次方程+二次函数）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，通过郑州超市营业额、铅球轨迹、足球射门等真实情境，以基础巩固-能力提升-创新应用梯度设计，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程一般式、二次函数定义、根的判别式|第5题营业额增长问题体现模型意识| |填空题|6/24|配方法、二次函数取值范围、新定义运算|第14题铅球轨迹结合几何直观| |解答题|9/86|方程求解、二次函数解析式与平移、利润问题|24题足球射门综合考查运算能力与应用意识，25题直角三角形与面积最值发展创新意识|

可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.将一元二次方程2x2+3x=5化成一般式，则一次项系数和常数项分别是() A.3,-5 B.3,5 C.-3,5 D.3x,-5 2.已知函数y=(m+2)xm2-2是二次函数，则m等于() A.±2 B.2 C.-2 D.士V2 3.若关于x的一元二次方程k2-3x-是=0有实数根，则实数k的取值范国是（) A.k<0 B.k≥-1 C.k≥-1且k≠0 D.k>-1且k≠0 4.将抛物线y=一3x2平移，得到抛物线y=-3(x+1)2-2,下列平移方式中，正确的是（) A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5.郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为297.9万元.设平均每月营业额 的增长率为x,则下面所列方程正确的是() A.90(1+x)2=297.9 B.90(1-x)2=297.9 C.90(1+2x)=-297.9 D.90+90(1+x)+90(1+x)2=297.9 6.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+(m2-1)=0的常数项为0，则方程的两个根为() 118 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.x1=-1,x2=0B.X1=-1,x2=1C.x1=-1,X2=-2D.x1=0,X2=1 7.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x=一1，图象与x轴相交于点(1,0)，则 方程cx2+bx+a=0的根为() A.X1=1,X2=-3 B.X1=-1,X2=3 C.x1=1,2=-青 0.x1=-1,x=月 8.如图，抛物线y=a1x2与抛物线y=Q2x2+bx相交于点P(-2,m),过点P作x轴的平行线，与两条抛物 线分别交于点M,N.若M是PW的中点，则的值是() 42 A.月 B.2 C. D.3 9.等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于x的一元二次方程x2一8x+k=0的两实根，则k的值 为() A.16 B.12 C.2或4 D.12或16 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc<0:②3a+c>0: ③(a+c)2-b2<0:④a+b≤m(am+b)m为实数).其中结论正确的个数为) A B.2 C.3 D.4 2/8 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第IⅡ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11.用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为(x+a)=b的形式，则2a+b的值为 12.已知函数y=-3(x-2)2+2,当0≤x≤3时，y的取值范围 13.已知一元二次方程a(x+m)2=n(a≠0)的两根分别为-3、1，则一元二次方程a(x+m-2)2-n=0 (a≠0)的两根分别为 14.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=-0.1x2+0.6x+c运行，其中x是铅球离初始位置的水平 距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度0A为1.6m,则铅球掷出的水平距离OB为 m. 0 15.对于实数a、b,定义运算“※”：ab= a2-2ab,(a之b）,如果x※2=-3，则x的值为 2ab-b2,(a<b)' 16.二次函数y=2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上， 四边形OBAC为菱形，且∠AOB=30°，则点C的坐标为 2 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)解下列方程： (1)x2-6x-4=0: (2)5x(x-3)+2(x-3)=0. 18.(6分)已知a是方程x2-2018+1=0的一个根，求a2-2017a+ 20的值， 3/8 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根x1,x2, (1)求m的取值范围： (2)若x1x2-(x1+x2)=m2-15,求m的值. 20.(8分)抛物线y=x2+bx+c经过(-1,3)，(2,6)两点. (1)求这条抛物线的解析式： (2)求这条抛物线的顶点坐标； (3)将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1,写出抛物线C的解析式. 4/8 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(8分)2026年是中国农历马年，一款“笑笑马"”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反 差感”迅速走红，两款玩偶组成"情绪CP”刷屏社交平台.某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马 +笑笑马"组合套装，以每套58元的价格出售.经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份 的销售量为400套. 哭哭马 (1)求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率. (2)从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1 元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套.当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为 4800元？ 22.(10分)如图，抛物线y=x2+bx十c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2,0). (1)求此抛物线的解析式： (2)写出顶点坐标及对称轴； (3)若抛物线上有一点B,且S△oAB=3,求点B的坐标. 5/8 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.（12分)己知关于x的一元二次方程Qx2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,若满足x1-x2=1,则此 类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程"的是一；（填写序号） ①x2-x=0:②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值 (3)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为V7,若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差 根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”. 6/8 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(12分)足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水 平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， ◆y(m) 一6 9 A x(m) (1)求抛物线的函数解析式. (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为0.52.75米，通过计算判断球是否 会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素) (3)已知C为0B上一点，OC=2.25米，OB=2.44米，现规定在球门上方点C到点B之间的区域（含点C和点B) 为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算 判断球是否能射进“死角区” 718 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(14分)抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0)、B两点.与y轴交于点C(0,3)、点D(m,3)在抛物 线上 YA m B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接BC,点P在抛物线上，若△PBC为直角三角形，且∠CBP=90°，求点P的坐标， (3)如图2，过点A的直线mBC,点Q是直线BC上方抛物线上一动点，过点Q作QE1m,垂足为点E,连 接BE,CE,CQ,QB,当四边形BECQ的面积最大时，求点Q的坐标及四边形BECQ面积的最大值 8/8 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C B D D C D A C 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．4 12．． 13．，． 14．8 15．3或 16．（，）． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； ………………………………4分 （2）解： 或 解得，． ………………………………8分 18．（6分） 【答案】2017． 【详解】解：∵a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2018a+1＝0， ∴a2＝2018a﹣1， ∴a2﹣2017a2018a﹣1﹣2017a ＝a﹣1 1 1 ＝2018﹣1 ＝2017． ………………………………6分 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． ………………………………4分 （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． ………………………………8分 20．（8分） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：， ………………………………3分 （2）由（1）知对称轴为 即y轴， ∴当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为 ， ………………………………5分 （3）向上平移1个单位长得到： ， 再向左平移2个单位长得到： ， 化简得： ， ∴抛物线C1的解析式为. ………………………………8分 21．（8分） 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． ………………………………4分 （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． ………………………………8分 22．（10分） 【答案】（1）（2）顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1（3）（3，3）或（－1，3） 【详解】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c得 ，解得 ． ∴此抛物线的解析式为． ………………………………3分 （2）∵ ∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1． ………………………………6分 （3）设点B的坐标为（a，b），则 由解得b=3或b=－3． ∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1， ∴b=－3舍去． ∴由x2－2x=3解得x1=3，x2=－1 ∴点B的坐标为（3，3）或（－1，3）． ………………………………10分 23．（12分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； ………………………………3分 （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； ………………………………7分 （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． ………………………………12分 24． （12分） 【答案】(1) (2)球会被守门员扑到 (3)球不能射进“死角区” 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入，得， ， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； ………………………………4分 （2）当时，， ， 球会被守门员扑到． ………………………………8分 （3）射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时， 抛物线的顶点坐标为，即， 则抛物线为， 当时，， ， 球不能射进“死角区” ………………………………12分 25．（14分）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解∶∵抛物线过、， ∴， 解得：，， 抛物线解析式为； ………………………………4分 （2）解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴． ………………………………8分 （3）解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， ………………………………12分 此时， 即． ………………………………14分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶][][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11 12. 13 14. 15. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(8分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 24.(12分) ◆y(m) 3 B 8 6 A 9 x(m) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) m、 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 2．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 3．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 4．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 9．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值 为（     ） A．16 B．12 C．2或4 D．12或16 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 12．已知函数，当时，y的取值范围____________． 13．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 14．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 15．对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为______． 16．二次函数y＝2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为 　 　． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（6分）已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求a2﹣2017a的值． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 20．（8分）抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 21．（8分）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 22．（10分）如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 23．（12分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24．（12分）足球训练中，球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式． (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为0.5~2.75米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 25．（14分）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $: : 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 O O (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 : 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 : . .: 第I卷 % 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 ·: 要求的。 1.将一元二次方程2x2+3x=5化成一般式，则一次项系数和常数项分别是() : A.3,-5 B.3,5 C.-3,5 D.3x,-5 2.己知函数y=(m+2)xm2-2是二次函数，则m等于() A.±2 B.2 C.-2 D.士V2 O 3.若关于x的一元二次方程kx2-3x-=0有实数根，则实数k的取值范围是（) A.k<0 B.k≥-1 C.k≥-1且k≠0 D.k>-1且k≠0 : 4.将抛物线y=-3x2平移，得到抛物线y=-3(x+1)2-2,下列平移方式中，正确的是() A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 .: : B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 O C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 : D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5.郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为297.9万元.设平均每月营业额 : 的增长率为x,则下面所列方程正确的是() 分 : A.90(1+x)2=297.9 B.90(1-x)2=297.9 : C.90(1+2x)=297.9 D.90+90(1+x)+90(1+x)2=297.9 6.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+(m2-1)=0的常数项为0，则方程的两个根为（) : A.x1=-1,x2=0B.X1=-1,X2=1C.X1=-1X2=-2D.x1=0,X2=1 试题第1页（共6页） 。: .: 列学科网·学易金卷做好赞：就限美是鲁普 7.二次函数y=x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x=-1,图象与x轴相交于点(1,0)，则 方程cx2+bx+a=0的根为() A.X1=1,X2=-3 B.X1=-1,X2=3 C.x1-1,为=-月 D.x1=-1,x2=号 8.如图，抛物线y=a1x2与抛物线y=a2x2+bx相交于点P(-2,m),过点P作x轴的平行线，与两条抛物 线分别交于点M,N.若M是PN的中点，则的值是() a2 A B.2 C. D.3 9.等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于x的一元二次方程x2-8x+k=0的两实根，则k的值 为() A.16 B.12 C.2或4 D.12或16 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc<0;②3a+c>0; ③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为) VA A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11.用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为(x+a)=b的形式，则2a+b的值为 试题第2页（共6页） @学科网·学易金卷做好微：然限是舞 12.已知函数y=-3(x一2)2+2，当0≤x≤3时，y的取值范围」 13.己知一元二次方程a(x+m)2=n(a≠0)的两根分别为-3、1，则一元二次方程a(x+m-2)2-n=0 (a≠0)的两根分别为 14.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=-0.1x2+0.6x+c运行，其中x是铅球离初始位置的水平 距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m,则铅球掷出的水平距离OB为 m. 15.对于实数a、b,定义运算“※”：ab= a2-2ab,(a≥b) 2ab-b2,(a<b) ,如果x2=一3，则x的值为 16.二次函数y=2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上， 四边形OBAC为菱形，且∠AOB=30°，则点C的坐标为 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)解下列方程： (1)x2-6x-4=0: (2)5x(x-3)+2(x-3)=0. 18.(6分)已知a是方程x2-2018+1=0的一个根，求2-2017a+2018的值. a2+1H 19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根x1,x2, (1)求的取值范围； (2)若x1x2-(x1+x2)=m2-15,求m的值. 试题第3页（共6页） 20.(8分)抛物线y=x2+bx+c经过(-1,3)，(2,6)两点. (1)求这条抛物线的解析式： (2)求这条抛物线的顶点坐标： (3)将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1,写出抛物线C1的解析式. 21.(8分)2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借 “反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台，某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭 哭马+笑笑马"组合套装，以每套58元的价格出售，经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3 O 兵 月份的销售量为400套. 张 xa 哭哭马 河 烯 (1)求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率. (2)从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1 元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套.当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为 4800元？ 厨 必 22.(10分)如图，抛物线y=x2+bx十c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2,0). (1)求此抛物线的解析式： (2)写出顶点坐标及对称轴： 世 (3)若抛物线上有一点B,且SA0AB=3,求点B的坐标. 试题第4页（共6页） 23.(12分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,若满足|x1-x2l=1,则 此类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： O (1)下列是“差根方程”的是 ；(填写序号) ①x2-x=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值. : (3)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为V7,若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差 根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”. : % .: 24.(12分)足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水 : 平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， O 声 ◆y(m) x(m) (1)求抛物线的函数解析式. (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为0.5~2.75米，通过计算判断球是否 O 会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知C为0B上一点，0C=2.25米，0B=2.44米，现规定在球门上方点C到点B之间的区域（含点C和点 .: B)为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过 ·: 计算判断球是否能射进“死角区”. : .: ·: 试题第5页（共6页） 列学科网·学易金卷做好微：就限美是鲁普 25.(14分)抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0)、B两点.与y轴交于点C(0,3)、点D(m,3)在抛物 线上. y VA C 0 A E 图1 图2 (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接BC,点P在抛物线上，若△PBC为直角三角形，且LCBP=90°，求点P的坐标. (3)如图2，过点A的直线mBC,点O是直线BC上方抛物线上一动点，过点Q作QE1m,垂足为点E,连 接BE,CE,CQ,QB,当四边形BECQ的面积最大时，求点Q的坐标及四边形BECQ面积的最大值. 试题第6页（共6页） 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 2．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 3．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 4．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 5．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 6．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出m的值，代入方程后解方程即可． 【详解】解：∵方程常数项为， ∴由题意得，解得：， ∵， ∴， ∴方程为：， 提公因式得：， ∴或， ∴方程的两个根为，， 故选：D． 7．二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键． 根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与x轴的另一个交点为，从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 则抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为，，可得， 设，可得， ∴，， 由上可得，方程的两个根为，， 故选：C． 8．如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由抛物线的对称性可知点的坐标，可得，将代入两个抛物线方程即可求得的关系． 【详解】解：由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线． 抛物线与抛物线相交于点，M是的中点， 由抛物线的对称性可知，，即． 将点代入，可知，，， 则， ， ， ． 9．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值 为（     ） A．16 B．12 C．2或4 D．12或16 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即， ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 12．已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 13．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 14．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 【答案】8 【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 15．对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为______． 【答案】3或 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，实数的运算，解题的关键是分两种情况：当时；当时；然后根据定义的新运算分别进行计算，即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时， ※， ， ， ， 或， （舍去），； 当时， ※， ， ， ， ； 综上所述：的值为3或， 故答案为：3或． 16．二次函数y＝2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为 　 　． 【答案】（，）． 【分析】连接BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得ODBD，设BD＝t，则ODt，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得2t2t，得出BD，OD，然后根据菱形的性质得出C点坐标． 【详解】解：连接BC交OA于D，如图， ∵四边形OBAC为菱形， ∴BC⊥OA， ∵∠AOB＝30°， ∴∠OBD＝60°， ∴ODBD， 设BD＝t， 则ODt， ∴B（t，t）， 把B（t，t）代入y＝2x2得2t2t， 解得t1＝0（舍去），t2， ∴BD，OD， 故C点坐标为：（，）． 故答案为：（，）． 【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD的长是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．（6分）已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求a2﹣2017a的值． 【答案】2017． 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到a2＝2018a﹣1，则a2﹣2017a可变形为a﹣1，通分得到原式1，然后把a2＝2018a﹣1代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2018a+1＝0， ∴a2＝2018a﹣1， ∴a2﹣2017a2018a﹣1﹣2017a ＝a﹣1 1 1 ＝2018﹣1 ＝2017． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形能力． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 20．（8分）抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将两点代入即可求解； （2）由二次函数的性质可得出顶点坐标； （3）利用二次函数的性质“左加右减，上加下减”即可求解； 【详解】解：（1）∵抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：， （2）由（1）知对称轴为 即y轴， ∴当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为 ， （3）向上平移1个单位长得到： ， 再向左平移2个单位长得到： ， 化简得： ， ∴抛物线C1的解析式为. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握二次函数的图象与性质，待定系数法是解题关键． 21．（8分）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 22．（10分）如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 【答案】（1）（2）顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1（3）（3，3）或（－1，3） 【分析】（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c中，列方程组求b、c的值即可． （2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴． （3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标． 【详解】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c得 ，解得 ． ∴此抛物线的解析式为． （2）∵ ∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1． （3）设点B的坐标为（a，b），则 由解得b=3或b=－3． ∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1， ∴b=－3舍去． ∴由x2－2x=3解得x1=3，x2=－1 ∴点B的坐标为（3，3）或（－1，3）． 23．（12分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 24．（12分）足球训练中，球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式． (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为0.5~2.75米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 【答案】(1) (2)球会被守门员扑到 (3)球不能射进“死角区” 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图象平移规律． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，根据，即可得出结论； （3）根据抛物线的平移规律，求得设抛物线为，再当时，，比较大小，即可得出结论. 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入，得， ， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，， ， 球会被守门员扑到． （3）射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时， 抛物线的顶点坐标为，即， 则抛物线为， 当时，， ， 球不能射进“死角区” 25．（14分）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将、代入抛物线解析式中，转化为关于待定系数的方程组求解即可； （2）先求得点的坐标，结合，求得，再说明，进而得出，从而可得，就可求得，设直线的解析式为∶，将其上的两点坐标代入求得直线的解析式．再联立，求得P点的坐标； （3）设直线的解析式为，将、，代入求得直线的解析式，再根据，得出(同底等高)，再，设()，可用t表示出点的坐标，从而可用t表示出，就可求得，再利用求得当时，，从而可求得点的坐标． 【详解】（1）解∶∵抛物线过、， ∴， 解得：，， 抛物线解析式为； （2）解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴． （3）解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， 此时，即． 【点睛】本题考查了的图象与性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11. 14. 12. 15. 13. 16. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 2．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 3．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 4．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 9．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值 为（     ） A．16 B．12 C．2或4 D．12或16 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 12．已知函数，当时，y的取值范围____________． 13．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 14．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 15．对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为______． 16．二次函数y＝2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为 　 　． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（6分）已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求a2﹣2017a的值． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 20．（8分）抛物线经过（﹣1，3），（2，6）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式． 21．（8分）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 22．（10分）如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 23．（12分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24．（12分）足球训练中，球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式． (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为0.5~2.75米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 25．（14分）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $