广东省惠州市惠城区2026-2027学年九年级上学期月考数学模拟练习

**基本信息** 以2024巴黎奥运会图标、商场销售等真实情境为载体，融合二次函数、旋转等核心知识，通过风筝制作任务链设计，考查数学抽象与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数图象变换（3）、旋转性质（6）|结合奥运图标考轴对称与中心对称（1）| |填空题|5/15|一元二次方程根（13）、二次函数性质（12）|正方形与等边三角形动态最值（15）| |解答题|8/55|二次函数综合（21、23）、旋转证明（20）|风筝制作任务链（22）融合几何与函数，培养模型意识|

2026-2027广东省惠州市惠城区九年级（上）月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（3分）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4．（3分）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 5．（3分）关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．函数图象与y轴交点坐标为（0，3） C．函数图象的对称轴为直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转23°，得到△AB′C′，若∠BAC′＝100°，则∠B′AC＝（　　） A．77° B．54° C．46° D．23° 7．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 8．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 9．（3分）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … 在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1时，y的值随着x值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2＝4是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）点P（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是 　 　 ． 12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过（﹣1，2），（1，0），（m，0）三点，与y轴的交点在负半轴．下列结论：①﹣1＜m＜0；②；③点（﹣2，y1），（3，y2）在抛物线上，则2＜y1＜y2；④若方程ax2+bx+c+1＝0有实数根，则．其中正确的是　 　 （填写序号）． 13．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 14．（3分）若是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． 15．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为10，点E为DA延长线上的一动点，连接BE，以BE为边在BE上方作等边三角形BEF，连接AF，则AF的最小值是　 　 ． 三．解答题（共4小题，满分30分） 16．（12分）解下列各方程． （1）x2﹣6x＝﹣8； （2）3x2+1＝4x． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（1，1），C（4，2）． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1，x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 19．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 四．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 20．（9分）如图，将△BOC绕着点C顺时针旋转60°，得到△ADC，∠AOB＝130°，∠BOC＝α，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α为多少度时，AD＝OD． 21．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点C′的坐标； （2）点M是线段AC′上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段PQ的中点，并说明理由； ②当线段MN最长时，求点M的坐标． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）根据以下素材，探索完成任务． 如何制作简易风筝？ 素材1 图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段AC，BD作为骨架，AC垂直平分BD且AC＞BD，并按AO：OC＝3：5的比例固定骨架，骨架AC与BD共消耗竹条60cm，四边形ABCD的面积为400cm2． 素材2 考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为5cm，2cm，2cm的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）．BD以下部分的蒙面设计为△FGH，点H在OC延长线上且FH∥BC． 素材3 从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括BD以上抛物线部分及BD以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）． 问题解决 任务1 确定骨架长度 求骨架AC和BD的长度． 任务2 确定蒙面形状 求抛物线的函数表达式． 任务3 选择纸张大小 至少选择面积为多少的长方形纸片？ 23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C，点P是抛物线上的一动点，已知点C（0，4），△AOC∽△COB，且AO＝4BO． （1）求抛物线和直线AC的表达式． （2）若点P在直线AC的上方，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为点F，当PE＝EF时，求点P的坐标． （3）若点M为x轴上一动点，当B、C、P、M四个点组成的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 2026-2027广东省惠州市惠城区九年级（上）月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意； B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则B不符合题意； C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意； D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键． 2．（3分）有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总患病人数为100列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x， 初始有1人患病，第一轮传染后共有（1+x）人患病，第二轮传染中，新增患病人数为x（1+x），两轮后总患病人数为1+x+x（1+x）， 根据题意得1+x+x（1+x）＝100， 整理得（1+x）2＝100， 解得x1＝9，x2＝﹣11（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 3．（3分）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 4．（3分）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【分析】根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝16﹣8（m﹣2）＞0且m﹣2≠0， 解得m＜4且m≠2， 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟知以上知识是解题的关键． 5．（3分）关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．函数图象与y轴交点坐标为（0，3） C．函数图象的对称轴为直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 【分析】根据所给的表达式可得出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标，据此可解决问题． 【解答】解：由题知，因为二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2+3， 所以函数图象开口向上，故A选项不符合题意； 因为当x＝0时，y＝7，所以函数图象与y轴交点坐标为（0，7）故B选项不符合题意； 函数图象的顶点坐标是（2，3），所以对称轴是直线x＝2，故C选项符合题意； 因为抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝2， 则当x＞2时，y随x的增大而增大． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，能根据所给表达式得出开口方向、对称轴和顶点坐标是解题的关键． 6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转23°，得到△AB′C′，若∠BAC′＝100°，则∠B′AC＝（　　） A．77° B．54° C．46° D．23° 【分析】本题利用旋转角相等，通过角的和差关系计算所求角的度数． 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转23°得到△AB'C'， 根据旋转的性质．∠BAB'＝23°，∠CAC'＝23°， ∠BAC'＝100°， ∠BAC'＝∠BAB'+∠B'AC+∠CAC'， ∴∠B'AC＝∠BAC'﹣∠BAB'﹣∠CAC'， ∴∠B'AC＝100°﹣23°﹣23°＝54°． 故选：B． 【点评】题目考查了旋转的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 7．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再求出P1、P2、P3到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【解答】解：由条件可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵1﹣（﹣1）＝2，，6﹣1＝5，， ∴y3＞y1＞y2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 9．（3分）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0，从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向下，与y轴交于正半轴，且二次函数y＝ax2+（b+1）x+c对称轴在y轴的左侧，得b＜﹣1，即可得出答案． 【解答】解：根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0， 抛物线y＝ax2+（b+1）x+c对称轴为， ∴b＜﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为； 一次函数y＝﹣x﹣b的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数性质是关键． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … 在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1时，y的值随着x值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2＝4是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【解答】解：因为 x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … ，c＜0， ∴当﹣2＜x＜0，y随x的增大而减小， ∴开口向上，a＞0，故①正确； 当x＝0，x＝2时，y为c， ∴对称轴为直线x1， 即1， 即2a+b＝0，故②正确； ∵开口向上，对称轴为直线x1， ∴当x＜1时，y的值随着x值的增大而减小，故③错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，函数图象过点（﹣2，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c过x轴的另一个交点为（4，0）， ∴ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝﹣2，x2＝4，故结论④正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）点P（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是 　（2，﹣5）　 ． 【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标的特征进行判断即可． 【解答】解：点P（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣5）， 故答案为：（2，﹣5）． 【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数是正确解答的关键． 12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过（﹣1，2），（1，0），（m，0）三点，与y轴的交点在负半轴．下列结论：①﹣1＜m＜0；②；③点（﹣2，y1），（3，y2）在抛物线上，则2＜y1＜y2；④若方程ax2+bx+c+1＝0有实数根，则．其中正确的是　①③④　 （填写序号）． 【分析】根据抛物线经过点（﹣1，2），（1，0）和（m，0），以及与y轴交点在负半轴，可求出b＝﹣1，c＝1﹣a，且a＞1，由此逐项判断各结论的正确性． 【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过（﹣1，2），（1，0），（m，0）三点，与y轴的交点在负半轴． 由点（﹣1，2），（1，0）代入抛物线方程，得a﹣b+c＝2和a+b+c＝0， 联立解得b＝﹣1，a+c＝1，即c＝1﹣a； 因抛物线与y轴交点在负半轴，故c＝1﹣a＜0， 所以a＞1； 由点（m，0）及（1，0）知，1与m是ax2+bx+c＝0的两根， ∴， ∴， 因a＞1，故﹣1＜m＜0，结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∵﹣1＜m＜0， ∴， 得，但a＞1， 故a＞1，结论②不正确； 对于点（﹣2，y1）和（3，y2）， 则y1＝3a+3＞6＞2，y2＝8a﹣2， 因a＞1，y2﹣y1＝5（a﹣1）＞0， 故y2＞y1＞2，结论③正确； 方程ax2+bx+c+1＝0有实数根，等价于抛物线y＝ax2+bx+c最小值不大于﹣1， 最小值为， 令，得4a2﹣8a+1≥0， 解得（因a＞1），结论④正确； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，解不等式等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 13．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．（3分）若是关于x的二次函数，则m的值为　2　 ． 【分析】二次函数的一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0）根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件 m2﹣2＝2 且系数条件 m+2≠0． 【解答】解：由条件可知 x 的最高次项为二次，即 m2﹣2＝2． 解方程 m2﹣2＝2，得 m2＝4，所以 m＝2 或 m＝﹣2． 又∵m+2≠0， ∴m＝﹣2 舍去． ∴m＝2． 当 m＝2 时，函数为 y＝4x2+2x+3，满足二次函数定义． 【点评】本题考了二次函数的定义，熟练掌握该知识点是关键． 15．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为10，点E为DA延长线上的一动点，连接BE，以BE为边在BE上方作等边三角形BEF，连接AF，则AF的最小值是　5　 ． 【分析】将△ABF绕点B逆时针旋转60°得到△GBE，根据旋转的性质可知AF＝GE，△ABG是等边三角形，再根据四边形ABCD是正方形，得到∠EAB＝90°，进而求出∠EAG＝30°最后结合垂线段最短的性质和含特殊角的三角函数计算即可得出结果． 【解答】解：如图，将△ABF绕点B逆时针旋转60°得到△GBE， 连接AG， ∴∠ABG＝60°，AB＝GB， ∴△ABG是等边三角形， ∴∠GAB＝60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAB＝90°， ∴∠EAG＝∠EAB﹣∠GAB＝90°﹣60°＝30°， 当EG⊥DE时，GE的长最短，最短长度为， ∴AF的最小值是5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，垂线段最短的性质以及含特殊角的三角函数的计算．通过旋转将AF转化为求GE是解题的关键． 三．解答题（共4小题，满分30分） 16．（12分）解下列各方程． （1）x2﹣6x＝﹣8； （2）3x2+1＝4x． 【分析】（1）（2）移项后利用解一元二次方程的因式分解（十字相乘）法求解比较简便． 【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣8， 移项，得x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0． ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0． ∴x＝2或x＝4． ∴原方程的解为：x1＝2，x2＝4． （2）3x2+1＝4x， 移项，得3x2﹣4x+1＝0， ∴（3x﹣1）（x﹣1）＝0． ∴3x﹣1＝0或x﹣1＝0． ∴x或x＝1． ∴原方程的解为：x1，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（1，1），C（4，2）． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标． 【分析】（1）根据关于原点对称的点的特征先找出原三角形三个顶点的对称点，再连线即可； （2）先找出原三角形三个顶点绕原点O顺时针旋转90°的对应点，再连线即可． 【解答】解：（1）△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）△ABC关于原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2，如图2即为所求； 由图可知，A2（0，﹣2），B2（1，﹣1），C2（2，﹣4）． 【点评】本题考查中心对称，作图﹣旋转变换，正确作图是解题的关键． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1，x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个实数根， 所以Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0， 解得m≤9， 所以m的取值范围是m≤9． （2）因为x1，x2是方程x2﹣6x+m＝0的两个根， 所以x1+x2＝6，x1x2＝m． 因为x1+x2﹣2x1x2＝0， 所以6﹣2m＝0， 解得m＝3． 【点评】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 19．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【分析】（1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天盈利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天盈利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元， 根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得x2﹣30x+200＝0， 解得x1＝20，x2＝10． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． （2）设商场平均每天盈利y元， 则y＝（20+2x）（40﹣x） ＝﹣2x2+60x+800 ＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1250元． 【点评】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． 四．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 20．（9分）如图，将△BOC绕着点C顺时针旋转60°，得到△ADC，∠AOB＝130°，∠BOC＝α，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α为多少度时，AD＝OD． 【分析】（1）由旋转的性质可知CO＝CD，∠OCD＝60°，可判断：△COD是等边三角形； （2）用α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，根据∠OAD＝∠AOD列方程，代入求出即可． 【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴∠OCD＝60°，CO＝CD， ∴△OCD是等边三角形； （2）解：∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD＝360°﹣130°﹣∠α﹣60°＝170°﹣∠α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝∠α﹣60°， ∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（∠α﹣60°）﹣（170°﹣∠α）＝70°， ∵AD＝OD， ∴∠OAD＝∠AOD， 即70°＝170°﹣∠α， 解得：α＝100°； 即当α为100°，AD＝OD． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键． 21．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点C′的坐标； （2）点M是线段AC′上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段PQ的中点，并说明理由； ②当线段MN最长时，求点M的坐标． 【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入 y＝﹣x2+bx+3 中，求出b的值，再根据二次函数的性质确定对称轴和对称点即可； （2）①设直线AC′的解析式为 y＝kx+b'，从而求出M的坐标为（1，2），根据二次函数解析式，求出点P的坐标为（1，4），进而判断即可； ②将MN的长度表示出来，根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入 y＝﹣x2+bx+3 中， 得：0＝﹣1﹣b+3， 解得：b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，点C关于对称轴的对称点C′的坐标为（2，3）； （2）①点M是线段PQ的中点，理由如下： 由点A、C′的坐标得：直线AC′的解析式为y＝x+1， 当x＝1时，y＝2， ∴此时点M的坐标为（1，2）， 对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝1时，y＝4， ∴点P的坐标为（1，4）， ∴点M为线段PQ的中点； ②∵MN⊥x轴， ∴MN＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2， 当x时，MN最长， 将x代入y＝x+1， 得：y ∴当线段MN最长时，点M的坐标为（，）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）根据以下素材，探索完成任务． 如何制作简易风筝？ 素材1 图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段AC，BD作为骨架，AC垂直平分BD且AC＞BD，并按AO：OC＝3：5的比例固定骨架，骨架AC与BD共消耗竹条60cm，四边形ABCD的面积为400cm2． 素材2 考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为5cm，2cm，2cm的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）．BD以下部分的蒙面设计为△FGH，点H在OC延长线上且FH∥BC． 素材3 从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括BD以上抛物线部分及BD以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）． 问题解决 任务1 确定骨架长度 求骨架AC和BD的长度． 任务2 确定蒙面形状 求抛物线的函数表达式． 任务3 选择纸张大小 至少选择面积为多少的长方形纸片？ 【分析】任务1．设BD的长为xcm，则AC的长为（60﹣x）cm，根据四边形ABCD的面积为400cm2列出方程求解后进而根据AC＞BD得到AC和BD合适的解； 任务2．根据AO：OC＝3：5可得AO和OC的长度，根据AC垂直平分BD可得OB和OD的长度，即可判断出点A、B、D的坐标，进而可得点F、F、G的坐标，那么可设抛物线的函数表达式为：y＝ax2+20（a≠0），把点F的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的函数表达式； 任务3．根据平行线分线段成比例定理可得OH的长度，加上OE的长度即为EH的长度，易得FG的长度，那么长方形的面积＝FG•EH，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：任务1． 设BD的长为xcm，则AC的长为（60﹣x）cm，根据题意得： x（60﹣x）＝400． 解得：x1＝20，x2＝40． ∵AC＞BD， ∴BD＝20cm，AC＝40 cm． 任务2． ∵AO：OC＝3：5，AC＝40 cm， ∴AO＝15 cm，OC＝25 cm． ∴点A的坐标为（0，15），B（﹣10，0），D（10，0）． 由题意得：点E的坐标为（0，20），F（﹣12，0），G（12，0）． 设抛物线的函数表达式为：y＝ax2+20（a≠0）． ∵经过点F， ∴144a+20＝0． 解得：a． ∴抛物线的函数表达式为：yx2+20； 任务3． ∵FH∥BC， ∴． ∴． 解得：OH＝30． 由题意得：OE＝20， ∴EH＝50． ∵FG＝12﹣（﹣12）＝24． ∴长方形纸片的面积＝FG•EH＝24×50＝1200（cm2）． 答：至少选择面积为1200 cm2的长方形纸片． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：对角线互相垂直的四边形的面积对角线的积；抛物线的对称轴为y轴，一次项系数b为0． 23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C，点P是抛物线上的一动点，已知点C（0，4），△AOC∽△COB，且AO＝4BO． （1）求抛物线和直线AC的表达式． （2）若点P在直线AC的上方，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为点F，当PE＝EF时，求点P的坐标． （3）若点M为x轴上一动点，当B、C、P、M四个点组成的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据相似求出OB的长，从而确定B、A点坐标，再由用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设P（t，t2t+4），则E（t，t+4），F（t，0），根据PE＝EF，建立方程求出t的值即可求P点坐标； （3）设P（m，m2m+4），M（x，0），根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论，结合中点坐标公式求m的值，从而确定P点坐标． 【解答】解：（1）∵点C（0，4）， ∴OC＝4， ∵△AOC∽△COB， ∴， ∴AO•BO＝16， ∵AO＝4BO， ∴BO＝2， ∴B（2，0），A（﹣8，0）， 将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+4； 设直线AC的解析式为y＝kx+4， ∴﹣8k+4＝0， 解得k， ∴直线AC的解析式为yx+4； （2）设P（t，t2t+4），则E（t，t+4），F（t，0）， ∵PE＝EF， ∴t2t+4t﹣4t+4， 解得t＝﹣8（舍）或t＝﹣2， ∴P（﹣2，6）； （3）设P（m，m2m+4），M（x，0）， 当BP为平行四边形的对角线时，4m2m+4， 解得m＝0（舍）或m＝﹣6， ∴P（﹣6，4）； 当BM为平行四边形的对角线时，4m2m+4＝0， 解得m＝﹣3或m＝﹣3， ∴P（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4）； 当BC为平行四边形的对角线时，4m2m+4， 解得m＝0（舍）或m＝﹣6， ∴P（﹣6，4）； 综上所述：P点坐标为（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4）或（﹣6，4）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/8 9:17:52；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $