广东省惠州市惠阳区2026-2027学年上学期九年级月考数学模拟练习1

**基本信息** 结合《哪吒之魔童闹海》周边销售、“神舟十八号”模型等社会热点，梯度覆盖一元二次方程与二次函数核心知识，通过新定义“邻根方程”及函数综合题考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图像与性质|基础概念辨析，如第1题方程分类| |填空题|5/15|二次函数定义、根与系数关系|数据表格分析（第13题），物理情境应用（第15题）| |解答题|8/75|增长率问题（17题）、利润问题（22题）、函数综合（23题）|新定义“邻根方程”（21题），结合文化热点的应用题，函数与几何综合探究|

2026-2027广东省惠州市惠阳区九年级（上）月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x26；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（3分）把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 3．（3分）若a＞0，c＜0，则二次函数y＝ax2+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）关于一元二次方程x2+2x﹣3＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 5．（3分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1 6．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3 7．（3分）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 8．（3分）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 9．（3分）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点，若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2，求小路的宽，若设小路的宽为xm，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．（20+x）（32+x）＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．32×20﹣32x﹣20x＝540 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）已知y＝（m+2）x|m|是关于x的二次函数，那么m＝　 　 ． 12．（3分）已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 　 　 ． 13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x的增大而减小； ③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； ④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0． 其中正确的是 　 　 ． 14．（3分）已知矩形相邻两边长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，那么这个矩形中一条对角线长是　 　 ． 15．（3分）一个小球被抛出后，如果距离地面高度h（米）和运行时间t（秒）的函数表达式为h＝﹣5t2+10t+15，那么小球到达地面时的时间是 　 　 秒． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程： （1）4x2﹣1＝0； （2）x2+2x﹣5＝0． 17．（7分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 18．（7分）阅读材料，解答问题： 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 20．（9分）国庆期间，某博物馆展出的珍贵文物吸引了众多游客．通过这些文物，人们仿佛穿越时空，与历史对话，这不仅丰富了精神生活，也促进了文化的传承与发展．据统计，博物馆10月1日接待的人数比9月30日的2倍多0.2万人，这两天共接待2.9万人． （1）求博物馆10月1日接待游客的人数； （2）10月2日、3日游客继续增加，据统计10月3日接待游客2.88万人，预计10月4日游客数量将达到高峰．为使游客有较好的体验效果，规定人数达到3.5万人时，将会采取临时限流措施．按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日是否需要临时限流？ 21．（9分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 　 　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②求方程的两个根． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． （1）求点A，B的坐标； （2）如图2当a＝1时，若，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如图3，过点A的直线l与y轴正半轴交于点G，与抛物线交于点E，将直线l绕点A顺时针旋转使其与y轴负半轴交于点H，与抛物线交于点F，若OG•OH＝9，试判断直线EF是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 2026-2027广东省惠州市惠阳区九年级（上）月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x26；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程； ②x26，不是整式方程，即不是一元二次方程； ③x2＝0，是一元二次方程； ④x＝3x2，是一元二次方程； ⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x，整理得4x＝﹣1，不是一元二次方程； 其中一元二次方程的个数是2个， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（3分）把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 【分析】先利用乘法公式展开，然后移项得到一元二次方程的一般式． 【解答】解：去括号得x2﹣4＝4x， 移项得一般式为：x2﹣4x﹣4＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 3．（3分）若a＞0，c＜0，则二次函数y＝ax2+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【解答】解：y＝ax2+c， ∵a＞0，c＜0， ∴抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴， ∵二次函数y＝ax2+c的对称轴为y轴， ∴二次函数y＝ax2+c的图象大致是： ． 故选：A． 【点评】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（3分）关于一元二次方程x2+2x﹣3＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】先分别写出各项系数a＝1，b＝2，c＝﹣3，再求出b2﹣4ac，根据其符号判断根的情况． 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， a＝1，b＝2，c＝﹣3， b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣3）＝4+12＝16＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 5．（3分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的抛物线解析式为y＝3（x+2）2﹣1． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 6．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2， ∴x1+x2＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 7．（3分）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【解答】解：A，a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B，对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C，顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 8．（3分）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【分析】设劳动基地中的道路宽为x米，根据种植面积为480平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设劳动基地中的道路宽为x米， 由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480， 整理得：x2﹣35x+66＝0， 解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）， 即劳动基地中的道路宽为2米， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（3分）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点，若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先确定对称轴，对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，即抛物线在4≤x1≤2a+3上的函数值均小于，通过分析抛物线性质，从而解得a的范围，再求整数解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点， ∵y＝ax2﹣6a2x＝a（x﹣3a）2﹣9a3，开口向上， 对称轴为直线x3a， ∵x2＝5a， ∴， 根据对称性判断当x＝a时，y＝﹣5a3， ∴对于4≤x1≤2a+3，， 即， 解得1＜a＜4， ∵a为整数且a＞0， ∴a＝3或2， ∴若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（3分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2，求小路的宽，若设小路的宽为xm，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．（20+x）（32+x）＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．32×20﹣32x﹣20x＝540 【分析】利用平移可把草坪把为一个长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【解答】解：如图所示，利用平移，原图可转化为： 设小路宽为x米，则有（20﹣x）（32﹣x）＝540， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）已知y＝（m+2）x|m|是关于x的二次函数，那么m＝　2　 ． 【分析】利用二次函数定义可得：|m|＝2，且m+2≠0，再解出m的值即可． 【解答】解：根据二次函数定义可得： |m|＝2，且m+2≠0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 12．（3分）已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 　　 ． 【分析】设x2+x+c＝0的一个根为t，5t为方程x2﹣x+5c＝0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c＝0①，25t2﹣5t+5c＝0，即5t2﹣t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值． 【解答】解：设x2+x+c＝0的一个根为t，5t为方程x2﹣x+5c＝0的一个根， ∴t2+t+c＝0①，25t2﹣5t+5c＝0，即5t2﹣t+c＝0②， ②﹣①得4t2﹣2t＝0， 解得t1＝0，t2， 当t＝0时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，不合题意舍去； 当t时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，解得c， 综上所述，c的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x的增大而减小； ③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； ④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0． 其中正确的是 　①③　 ． 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：①由图表中数据可得出：y随x的增大先增大后减小， ∴二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0， 又∵x＝0时，y＝3， ∴c＝3＞0，所以ac＜0，故①正确； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x1.5， ∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； ③∵x＝3时，y＝3， ∴9a+3b+c＝3， ∵c＝3， ∴9a+3b+3＝3， ∴9a+3b＝0， ∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确； ④∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1， ∴当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0是错误的，故④错误． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 14．（3分）已知矩形相邻两边长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，那么这个矩形中一条对角线长是　　 ． 【分析】先用因式分解法解出一元二次方程的两个根，再用勾股定理求出对角线的长即可． 【解答】解：x2﹣5x+6＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， x﹣3＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝3，x2＝2， 则矩形的长为3，宽为2， 则这个矩形的对角线长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的求解，勾股定理，熟练掌握一元二次方程求解方法是解答本题的关键． 15．（3分）一个小球被抛出后，如果距离地面高度h（米）和运行时间t（秒）的函数表达式为h＝﹣5t2+10t+15，那么小球到达地面时的时间是 　3　 秒． 【分析】直接利用配方法得出二次函数顶点坐标，进而得出答案． 【解答】解：令h＝﹣5t2+10t+15＝0， 解得：t＝﹣1（舍去）或3， 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出顶点式是解题关键． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程： （1）4x2﹣1＝0； （2）x2+2x﹣5＝0． 【分析】（1）先把方程两边同时加上1，再把方程两边同时除以4，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时加上5，再同时加上1后进行配方，最后解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得，4x2＝1， ∴， ∴； （2）∵x2+2x﹣5＝0， ∴x2+2x＝5， ∴x2+2x+1＝6， ∴（x+1）2＝6， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 17．（7分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【分析】（1）设日平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设日平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得：200（1+x）2＝338， 整理得，200x2+400x﹣138＝0， 解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍）， 答：日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意列一元二次方程得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 解得y1＝2，y2＝﹣46（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（7分）阅读材料，解答问题： 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0． 【分析】设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值． 【解答】解：设3x﹣5＝y，则原分式方程可化为y2+4y+3＝0， 整理，得（y+3）（y+1）＝0， 解得y1＝﹣3，y2＝﹣1， 当y1＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3， 解得x1， 当y2＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1， 解得x2， 综上所述，原方程的解为，． 【点评】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是构造元和设元． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据9月份的销售量×（1+x）2＝11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低a元，根据利润＝每件的利润×销售量建立方程，解方程可得a的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 500（1+x）2＝720， 解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2＜0（舍去）， 答：月平均增长率为20%． （2）设售价应降低a元， （100﹣a﹣60）（20+2a）＝1200， ∴a2﹣30a+200＝0， ∴a＝10或a＝20， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴a＝20， 答：售价应降低20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 20．（9分）国庆期间，某博物馆展出的珍贵文物吸引了众多游客．通过这些文物，人们仿佛穿越时空，与历史对话，这不仅丰富了精神生活，也促进了文化的传承与发展．据统计，博物馆10月1日接待的人数比9月30日的2倍多0.2万人，这两天共接待2.9万人． （1）求博物馆10月1日接待游客的人数； （2）10月2日、3日游客继续增加，据统计10月3日接待游客2.88万人，预计10月4日游客数量将达到高峰．为使游客有较好的体验效果，规定人数达到3.5万人时，将会采取临时限流措施．按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日是否需要临时限流？ 【分析】（1）设博物馆9月30日接待游客x万人，则博物馆10月1日接待游客（2x+0.2）万人，根据这两天共接待2.9万人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入（2x+0.2）中，即可求出结论； （2）设10月2日、3日的日平均增长率为y，利用10月3日接待游客数量＝10月1日接待游客数量×（1+10月2日、3日的日平均增长率）2，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其符合题意的值代入2.88（1+y）中，可求出预计10月4日接待游客数量，再将其与3.5万人比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设博物馆9月30日接待游客x万人，则博物馆10月1日接待游客（2x+0.2）万人， 根据题意得：x+（2x+0.2）＝2.9， 解得：x＝0.9， ∴2x+0.2＝2×0.9+0.2＝2（万人）． 答：博物馆10月1日接待游客2万人； （2）设10月2日、3日的日平均增长率为y， 根据题意得：2（1+y）2＝2.88， 解得：y1＝0.2＝20%，y2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴2.88（1+y）＝2.88×（1+20%）＝3.456（万人）， ∵3.456＜3.5， ∴按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日不需要临时限流． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21．（9分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 　②④　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②求方程的两个根． 【分析】（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用x1﹣x2＝1，x1+x2＝﹣2即可求得x1、x2． 【解答】解：（1）①解方程x2+x＝6得x1＝2，x2＝﹣3， ∵x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5， ∴方程x2+x＝6不是“邻根方程”； ②解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵x1﹣x2＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴方程x2+3x+2＝0是“邻根方程”； ③解方程x2得x1＝x2， ∵x1﹣x20， ∴方程x2不是“邻根方程”； ④解方程x2﹣5x＝﹣6得x1＝3，x2＝2， ∵x1﹣x2＝3﹣2＝1， ∴方程x2﹣5x＝﹣6是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）①∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k+1，x1﹣x2＝1， ∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， ∴12＝（﹣2）2﹣4（﹣k+1）， 解得k； ②∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根， ∴x1﹣x2＝1，x1+x2＝﹣2， 解得x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 【分析】设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量为[50﹣2（x﹣30）]个，根据每天销售这种钥匙扣的利润为608元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量为[50﹣2（x﹣30）]个， 根据题意得：（x﹣20）[50﹣2（x﹣30）]＝608， 整理得：x2﹣75x+1404＝0， 解得：x1＝36，x2＝39（不符合题意，舍去）， 答：这种商品的售价应定为36元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． （1）求点A，B的坐标； （2）如图2当a＝1时，若，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如图3，过点A的直线l与y轴正半轴交于点G，与抛物线交于点E，将直线l绕点A顺时针旋转使其与y轴负半轴交于点H，与抛物线交于点F，若OG•OH＝9，试判断直线EF是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 【分析】（1）先说明A，B两点的横坐标为方程ax2+2ax﹣3a＝0的解，即方程的解，然后解方程即可解答； （2）根据题意和二次函数的性质可得、顶点C（﹣1，﹣4），如图：过C作CE⊥x轴于点E，交AD于点F，则E（﹣1，0），可说明tan∠CAD＝tan∠ACE，即∠CAD＝∠ACE，则AF＝FC；设点F的坐标为（﹣1，f），则FC＝f﹣（﹣4）＝f+4，，易得（f+4）2＝（﹣3+1）2+f2，解得：，即；再运用待定系数法求得直线AF的解析式为，最后与抛物线解析式联立即可解答． （3）由（2）可得：当a＝1时，函数解析式为y＝x2+2x﹣3，A（﹣3，0），设直线AG的解析式为y＝k1x+b1（k1＞0）可得直线AG的解析式为y＝k1x+3k1、OG＝3k1，再与抛物线解析式联立可得E（k1+1，k1（k1+4））；设直线AG的解析式为y＝k2x+b2（k2＜0），同理可得：y＝k2x+3k2、OH＝﹣3k2，F（k2+1，k2（k2+4））；再由OG•OH＝9可得k1k2＝﹣1；再运用待定系数法求得直线EF的解析式进行分析即可解答． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 当y＝0时，得：ax2+2ax﹣3a＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴点A（﹣3，0），B（1，0）； （2）如图：当a＝1时，函数解析式为y＝x2+2x﹣3， ∴，顶点C（﹣1，﹣4）， 如图2：过C作CE⊥x轴于点E，交AD于点F，则E（﹣1，0）， ∴AE＝﹣1﹣（﹣3）＝2，CE＝0﹣（﹣4）＝4， ∴， ∵， ∴tan∠CAD＝tan∠ACE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∴AF＝FC， 设点F的坐标为（﹣1，f），则FC＝f﹣（﹣4）＝f+4，， ∴， 整理得：（f+4）2＝（﹣3+1）2+f2， 解得：， ∴， 设直线AF的解析式为y＝kx+b，将点A，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AF的解析式为， 联立得：， 解得：或﹣3（不合题意，舍去）， ∴， ∴； （3）直线EF经过定点；理由如下： 由（2）可得：当a＝1时，函数解析式为y＝x2+2x﹣3，A（﹣3，0）， 设直线AG的解析式为y＝k1x+b1（k1＞0），将点A的坐标代入得： 0＝﹣3k1+b1， 解得：b1＝3k1， ∴直线AG的解析式为y＝k1x+3k1，OG＝3k1， 联立得：， 解得：x＝k1+1或x＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴E（k1+1，k1（k1+4））； 设直线AH的解析式为y＝k2x+b2（k2＜0）， 同理可得：y＝k2x+3k2、OH＝﹣3k2，F（k2+1，k2（k2+4））， ∵OG•OH＝9， ∴3k1•（﹣3k2）＝9， 解得：k1k2＝﹣1， 设直线EF的解析式为y＝mx+n，将点E，点F的坐标分别代主得： ， ①﹣②得：m（1+k1）+n﹣[m（1+k2）+n]＝k1（k1+4）﹣k2（k2+4）， ， m（k1﹣k2）＝（k1﹣k2）（k1+k2+4）， ∵k1≠k2， ∴m＝k1+k2+4， 把m＝k1+k2+4代入k1（k1+4）＝m（k1+1）+n可得： （k1+k2+4）（1+k1）+n＝k1（k1+4）， ， n＝﹣k1﹣k2﹣k1k2﹣4＝﹣k1﹣k2﹣（﹣1）﹣4＝﹣k1﹣k2﹣3， ∴直线EF的解析式为y＝（k1+k2+4）x﹣k1﹣k2﹣3，整理得：y＝（k1+k2）（x﹣1）+4x﹣3， ∴当x﹣1＝0，即x＝1时，得：y＝（k1+k2）（1﹣1）+4×1﹣3＝1， ∴直线EF经过定点（1，1）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、正切的定义、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $