2.3 基本不等式及其应用（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

分层作业 2.3 基本不等式及其应用 参考答案 ( 题型0 1 )对基本不等式的理解 1．【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 2．【答案】A 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3．【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 4．【答案】C 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. ( 题型0 2 )由基本不等式比较大小 5．【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 6．【答案】C 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 7．【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选：A. ( 题型0 3 )由基本不等式证明不等式 8．【答案】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 【详解】略 9．【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 【详解】略 10．（专题19不等式（2）三元不等式（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知为正实数．证明：． 【答案】 证明：先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 【详解】略 11．（核心考点3不等式泸教版【讲】）设，都是正数．证明：； 【答案】 由于，都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，得证. 【详解】略 ( 题型0 4 )利用基本不等式求积的最大值 12．【答案】 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故所求函数的最大值为. 故答案为：． 13．【答案】 【详解】当一个直角三角形的斜边为，设直角三角形的直角边为， 所以，所以， 所以，当且仅当时，面积最大， 当面积最大时，三角形的周长为. 故答案为：. 14．【答案】17 【详解】正实数，满足，则 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值17. 故答案为：17 15．【答案】因为,所以,当且仅当时取等号,解得； 于是得, 所以成立. 【详解】略 ( 题型0 5 )利用基本不等式求和的最小值 16．【答案】C 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 17．【答案】A 【分析】 【详解】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 18．【答案】 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 19．【答案】B 【详解】∵点在直线上，且在第一象限， ∴，则， 由， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 20．【答案】/ 【详解】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ( 题型0 6 )有条件等式结合基本不等式求最值 21．【答案】D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 22．【答案】A 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 23．【答案】B 【详解】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 24．【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 25．【答案】－1 【详解】因为，所以， 因为均为正数，所以， 所以 , 当且仅当，即，即时，取得最小值， 故答案为：－1 ( 题型0 7 )三角不等式的应用 26．【答案】 【详解】由绝对值的三角不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立. 27．【答案】2 【详解】由绝对值三角不等式得， 当且仅当时，取得最大值2． 28．【答案】或 【详解】， 则， 即， 当时，等号成立， ，当为0时等号成立， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为，即， 所以或. 故答案为：或 ( 题型0 8 )基本不等式中的恒成立问题 29．【答案】D 【详解】因为，所以. 所以对于，可以看作， 因为，当且仅当时成立，所以， 解得. 30．【答案】A 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 31．【答案】 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 32．【答案】C 【详解】、是正实数，且， 则， 则， 当且仅当即时等号成立， 但、是正实数，所以的最小值的极限值为1， 因为不等式恒成立，所以. 故实数的最大值为1. 故选：C 33．【答案】 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. ( 题型0 9 )基本不等式的实际应用 34．【答案】(1)； (2)当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 【分析】 【详解】（1）依题意，垂直于旧墙的新铁皮墙的长度为， 建造新铁皮墙的总长度为，则， 所以关于的表达式为. （2）由（1）得，当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 35．【答案】(1)10 (2) 【分析】 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 36．【答案】(1)57600元 (2) 【分析】 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 37．【答案】(1)； (2)当产量为60万件时，企业得年利润最大，最大利润为425万元． 【分析】 【详解】（1）根据已知可得 ， 当时，， 当时，， 则. （2）当时，，则时，： 当时，. 当且仅当即时取等， 此时， 综上所述，当产量为60万件时，企业得年利润最大，最大利润为425万元． 38．【答案】(1). (2)当为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低造价为5000元. 【分析】 【详解】（1）每间猪圈靠墙一边长为米，猪圈的总造价为元， 由题意可得，门面积平方米，墙长米，则， 故，. （2）因为，，故，当且仅当时等号成立， 故，为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低总造价为5000元. 1．【答案】C 【详解】根据基本不等式，结合已知得， 整理得，当且仅当时等号成立. 把的上界代入目标式，可得， 对正数，由基本不等式，当且仅当即时等号成立， 代入得，当时，由和， 解得，均为正数，满足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为 . 2．【答案】D 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 3．【答案】B 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 4．【答案】 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 5．【答案】 / / 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 6．【答案】 【分析】 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 7．【答案】5 【详解】由，可得， 令， 则， 令，则， 则， 当且仅当时，取等号， 即当时，的最小值为5， 即当时，取得最小值5. 故答案为：5 8．【答案】 【详解】设，，则，也即，且，所以， 设，则，在中，， 由勾股定理得，解得， 因此的面积， 又， 所以， 又，当且仅当即时取等号，此时满足， 所以，面积的最大值为． 故答案为． 9．【答案】由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 1．【答案】/ 【详解】因 ≤， 当时，， 的最大值是． 2．【答案】B 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 3．（【智】04作业（四）基本不等式-【育博苑】2027高考一轮数学北师）已知，，且，记的最小值为，记的最小值为，则________． 【答案】 【详解】因为，，，故， 令，其中，则， 令，得，解得或（舍去）， 当时，；当时，， 故当时，取得最小值，为， 即； ， 因为，，故，所以，令，则， 故，其中， 当且仅当，即时，等号成立，故， 故，即； 所以． 故答案为：. 4．【答案】 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 1．【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2．【答案】C 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．【答案】/ 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 4．【答案】4 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 5．【答案】 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 基本不等式及其应用 A组 巩固过关 题型01对基本不等式的理解 题型02由基本不等式比较大小 题型03由基本不等式证明不等式 题型04利用基本不等式求积的最大值 题型05利用基本不等式求和的最小值 题型06有条件等式结合基本不等式求最值 题型07三角不等式的应用 题型08基本不等式中的恒成立问题 题型09基本不等式的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )对基本不等式的理解 1．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 ( 题型0 2 )由基本不等式比较大小 5．已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )由基本不等式证明不等式 8． ，求证：.（已知） 9． 设均为正数，且，求证：. 10． （专题19不等式（2）三元不等式（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知为正实数．证明：. 11． （核心考点3不等式泸教版【讲】）设，都是正数．证明：； ( 题型0 4 )利用基本不等式求积的最大值 12．当时，的最大值为______． 13．若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为___________． 14．已知正实数，满足，则的最小值为_____. 15．已知.求证：. ( 题型0 5 )利用基本不等式求和的最小值 16．已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 17．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．已知，，若，则的最小值为________． 19．已知点在直线上，且在第一象限，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 20．已知，，则的最小值为________． ( 题型0 6 )有条件等式结合基本不等式求最值 21．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 22．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 23．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 24．已知正实数，满足，则的最小值为________． 25．已知正数a，b满足，则的最小值为______． ( 题型0 7 )三角不等式的应用 26．的最小值为_____________． 27．对任意实数的最大值为_____． 28．若函数的最小值3，则实数的值为______. ( 题型0 8 )基本不等式中的恒成立问题 29．已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 31．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 32．设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 33．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. ( 题型0 9 )基本不等式的实际应用 34．如图，我校钱学森礼堂将进行维修升级，需要在礼堂外围建一个面积为的矩形围挡封闭施工，要求矩形围挡的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面使用铁皮修建新墙，与旧墙平行的那面新铁皮墙上，需预留5m宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为24元／m，新铁皮墙的造价为40元／m，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)写出关于的表达式； (2)当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 35．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 36．某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 37．随着科学技术不断进步，某企业致力于改善民众生活质量，生产智能小家电.已知该企业每年投入固定成本为500万元，当年产量为万件时，平均每生产1万件智能小家电还需要额外投入万元，经测算，每件智能小家电的平均售价为80元，假设每年进入市场的小家电能够全部售出，且小家电最大产量为100万件. (1)求企业的年利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； (2)当产量为多少万件时，企业的年利润最大？并求最大年利润. 38．为打好扶贫攻坚战，落实帮扶措施，某村为帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边长为米（），猪圈的总造价为元.    (1)求关于的关系式，并求出的取值范围； (2)当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 1．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的最小值为____________________． 5．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 6．已知，，则的最小值为_________. 7．已知实数满足，则的最小值为________. 8．如图，矩形的周长为24，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为，则面积的最大值为___________． 9．若，求证：． 1．若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 2．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（【智】04作业（四）基本不等式-【育博苑】2027高考一轮数学北师）已知，，且，记的最小值为，记的最小值为，则________． 4．当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 5．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 基本不等式及其应用 A组 巩固过关 题型01对基本不等式的理解 题型02由基本不等式比较大小 题型03由基本不等式证明不等式 题型04利用基本不等式求积的最大值 题型05利用基本不等式求和的最小值 题型06有条件等式结合基本不等式求最值 题型07三角不等式的应用 题型08基本不等式中的恒成立问题 题型09基本不等式的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )对基本不等式的理解 1．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 4．如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. ( 题型0 2 )由基本不等式比较大小 5．已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 6．已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 7．已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选：A. ( 题型0 3 )由基本不等式证明不等式 8．，求证：.（已知） 【答案】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 【详解】略 9．设均为正数，且，求证：. 【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 【详解】略 10．（专题19不等式（2）三元不等式（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知为正实数．证明：． 【答案】 证明：先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 【详解】略 11．（核心考点3不等式泸教版【讲】）设，都是正数．证明：； 【答案】 由于，都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，得证. 【详解】略 ( 题型0 4 )利用基本不等式求积的最大值 12．当时，的最大值为______． 【答案】 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故所求函数的最大值为. 故答案为：． 13．若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为___________． 【答案】 【详解】当一个直角三角形的斜边为，设直角三角形的直角边为， 所以，所以， 所以，当且仅当时，面积最大， 当面积最大时，三角形的周长为. 故答案为：. 14．已知正实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】17 【详解】正实数，满足，则 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值17. 故答案为：17 15．已知.求证：. 【答案】因为,所以,当且仅当时取等号,解得； 于是得, 所以成立. 【详解】略 ( 题型0 5 )利用基本不等式求和的最小值 16．已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 17．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 18．已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 19．已知点在直线上，且在第一象限，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵点在直线上，且在第一象限， ∴，则， 由， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 20．已知，，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ( 题型0 6 )有条件等式结合基本不等式求最值 21．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 22．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 23．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【详解】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 24．已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 25．已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】－1 【详解】因为，所以， 因为均为正数，所以， 所以 , 当且仅当，即，即时，取得最小值， 故答案为：－1 ( 题型0 7 )三角不等式的应用 26．的最小值为_____________． 【答案】 【详解】由绝对值的三角不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立. 27．对任意实数的最大值为_____． 【答案】2 【详解】由绝对值三角不等式得， 当且仅当时，取得最大值2． 28．若函数的最小值3，则实数的值为______. 【答案】或 【详解】， 则， 即， 当时，等号成立， ，当为0时等号成立， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为，即， 所以或. 故答案为：或 ( 题型0 8 )基本不等式中的恒成立问题 29．已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 所以对于，可以看作， 因为，当且仅当时成立，所以， 解得. 30．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 31．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 32．设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】、是正实数，且， 则， 则， 当且仅当即时等号成立， 但、是正实数，所以的最小值的极限值为1， 因为不等式恒成立，所以. 故实数的最大值为1. 故选：C 33．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. ( 题型0 9 )基本不等式的实际应用 34．如图，我校钱学森礼堂将进行维修升级，需要在礼堂外围建一个面积为的矩形围挡封闭施工，要求矩形围挡的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面使用铁皮修建新墙，与旧墙平行的那面新铁皮墙上，需预留5m宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为24元／m，新铁皮墙的造价为40元／m，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)写出关于的表达式； (2)当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】(1)； (2)当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 【分析】 【详解】（1）依题意，垂直于旧墙的新铁皮墙的长度为， 建造新铁皮墙的总长度为，则， 所以关于的表达式为. （2）由（1）得，当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 35．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】(1)10 (2) 【分析】 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 36．某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【分析】 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 37．随着科学技术不断进步，某企业致力于改善民众生活质量，生产智能小家电.已知该企业每年投入固定成本为500万元，当年产量为万件时，平均每生产1万件智能小家电还需要额外投入万元，经测算，每件智能小家电的平均售价为80元，假设每年进入市场的小家电能够全部售出，且小家电最大产量为100万件. (1)求企业的年利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； (2)当产量为多少万件时，企业的年利润最大？并求最大年利润. 【答案】(1)； (2)当产量为60万件时，企业得年利润最大，最大利润为425万元． 【分析】 【详解】（1）根据已知可得 ， 当时，， 当时，， 则. （2）当时，，则时，： 当时，. 当且仅当即时取等， 此时， 综上所述，当产量为60万件时，企业得年利润最大，最大利润为425万元． 38．为打好扶贫攻坚战，落实帮扶措施，某村为帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边长为米（），猪圈的总造价为元.    (1)求关于的关系式，并求出的取值范围； (2)当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 【答案】(1). (2)当为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低造价为5000元. 【分析】 【详解】（1）每间猪圈靠墙一边长为米，猪圈的总造价为元， 由题意可得，门面积平方米，墙长米，则， 故，. （2）因为，，故，当且仅当时等号成立， 故，为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低总造价为5000元. 1．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据基本不等式，结合已知得， 整理得，当且仅当时等号成立. 把的上界代入目标式，可得， 对正数，由基本不等式，当且仅当即时等号成立， 代入得，当时，由和， 解得，均为正数，满足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为 . 2．已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 3．若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 4．已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 5．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 / / 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 6．已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 7．已知实数满足，则的最小值为________. 【答案】5 【详解】由，可得， 令， 则， 令，则， 则， 当且仅当时，取等号， 即当时，的最小值为5， 即当时，取得最小值5. 故答案为：5 8．如图，矩形的周长为24，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为，则面积的最大值为___________． 【答案】 【详解】设，，则，也即，且，所以， 设，则，在中，， 由勾股定理得，解得， 因此的面积， 又， 所以， 又，当且仅当即时取等号，此时满足， 所以，面积的最大值为． 故答案为． 9．若，求证：． 【答案】由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 1．若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 【答案】/ 【详解】因 ≤， 当时，， 的最大值是． 2．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 3．（【智】04作业（四）基本不等式-【育博苑】2027高考一轮数学北师）已知，，且，记的最小值为，记的最小值为，则________． 【答案】 【详解】因为，，，故， 令，其中，则， 令，得，解得或（舍去）， 当时，；当时，， 故当时，取得最小值，为， 即； ， 因为，，故，所以，令，则， 故，其中， 当且仅当，即时，等号成立，故， 故，即； 所以． 故答案为：. 4．当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 5．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $