专题2.3 基本不等式及其应用（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（沪教版2020必修第一册）

专题2.3 基本不等式及其应用 一、考情分析 二、考点梳理 【基本不等式(或)均值不等式】 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 三、题型突破 (一) 利用基本不等式求最值 例1.（1）、若，则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】 【解析】 ，当且仅当时取等号. （2）、（2021·贵州威宁四中高一月考）下列结论正确的是（ ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时，的最小值是1 D．设，则的最小值是2 【答案】A 【分析】 利用基本不等式计算即可. 【详解】 对于A, 当时，，当且仅当取等号，故A对， 对于B，当时，为增函数，，没有最小值，B错误, 对于C，，，当且仅当时取等号，即最大值是1，没有最小值.错误， 对于D, ，故D错误. 故选：A （3）、（2021·上海市控江中学高三开学考试）设正数，，当取最小值时，的值为___________. 【答案】 【分析】 利用基本不等式求题设代数式的最小值，确定等号成立时条件，即可知的值. 【详解】 ∵，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立. ∴题设代数式取最小值时，的值为. 故答案为： 【变式训练1-1】、（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））下列各题中结论正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】 利用基本不等式逐个分析判断即可 【详解】 对于A，由于，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以不能取到等号，即，所以A错误， 对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以B正确， 对于C，，当且仅当，即时取等号，而，所以不能取到等号，所以C错误， 对于D，由选项可知，当时，不成立，所以D错误， 故选：B 【变式训练1-2】、（2020·江苏省黄桥中学高二月考）当时，函数的最小值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】 根据给定条件配凑，再利用均值不等式求解即得. 【详解】 当时，，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，函数的最小值为8. 故选：A 【变式训练1-3】、（2021·重庆高一月考）若，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】 结合基本不等式的应用条件对a进行讨论，利用基本不等式求最值，计算即可得结果． 【详解】 因为有意义，所以， 而，，因此且 （1）当时， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． （2）当时，则，， 因此 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． 综上所述，的最小值为． 故答案为：． (二) 不等式变形技巧：“1”的代换 例2.(1)（2020·六安市裕安区新安中学）已知都是正数,且，则的最小值等于 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ,故选C. （2）、（2021·福建三明一中高一月考）已知，且，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】 因为，，， 则， 当且仅当且即，时取等号． 故选：A． (3)、（2021·江西宜春市·丰城九中高二期中（文））已知，，，则的最小值是______． 【答案】16 【分析】 利用基本不等式求得的最小值. 【详解】 依题意. 当且仅当时等号成立. 故答案为：16 （4）、（2021·安徽合肥·高二期末（文））已知，且，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．9 【答案】C 【分析】 利用基本不等式“1”的代换求的最小值即可. 【详解】 由题意，，当且仅当时等号成立. 故选：C 【变式训练2-1】、（2018·河北石家庄市·石家庄一中高一期中（文））若正数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分析：由，可得，进而展开用基本不等式可得最小值. 详解：