第1章 §3 3.2 第1课时 基本不等式(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1　　　　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 解析　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0， 即a＝1时，“＝”成立． 答案　B 2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 解析　∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b. 又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大． 答案　D 3．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析　a＜0时，则a＋≥4不成立，故A错误； a＝1，b＝1时，a2＋b2＜4ab，故B错误； a＝4，b＝16时，则＜，故C错误； 由基本不等式可知D项正确． 答案　D 4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________． ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 解析　根据≥xy，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 答案　③ 5．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________． 解析　∵x－1＋＋1≥3，∴a≤3. 答案　3 6．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c不全相等，∴等号不成立， ∴a＋b＋c＞＋＋. [关键能力·综合提升] 7．(多选)已知a＞0，b＞0，则下列不等式关系正确的是(　　) A．ab≤2 B．ab≤ C.≥ D．≤2 解析　由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2， ∴≥2，故选ABC. 答案　ABC 8.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A.≤(a＞0，b＞0) B.＜(a＞0，b＞0，a≠b) C.≤(a＞0，b＞0) D.＜＜(a＞0，b＞0，a≠b) 解析　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，易得DC＝＝，DE＝＝，∵DE＜DC＜DO，∴＜＜(a＞0，b＞0，a≠b)．故选D. 答案　D 9．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 解析　用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝≤＝1＋， ∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立． 答案　x≤ 10．已知a，b都是正数，求证： ≤≤≤ . 证明　∵＋≥2， ∴≤，即≤. 又∵2＝≤ ＝，∴≤ . 又由基本不等式得≥， 故≤≤≤ (当且仅当a＝b时，等号成立)． [核心价值·探索创新] 11．已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，试比较 ＋与2的大小，并说明理由． 解析　＝≤ ＝＋，当且仅当a＝时，等号成立， 同理 ≤＋， 当且仅当b＝时，等号成立， 所以 ＋≤＋＋＋ ＝＋(a＋b)＝2， 当且仅当a＝，b＝时，等号成立． 故当a＝b＝时， ＋＝2. 当a≠且b≠时， ＋<2. 学科网（北京）股份有限公司 $$