第25章 一元二次方程 达标练习卷 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元达标卷，覆盖定义、解法及实际应用，题型分层设计，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|定义、配方法、直接开平方法|基础概念辨析，如第1题定义判断，第3题直接开平方法条件| |填空题|6题|根与系数关系、几何应用|代数推理与实际结合，如13题两位数问题，14题矩形猪舍面积| |解答题|6题|方程解法、利润问题、韦达定理|综合实践与迁移应用，如20题超市销售利润，22题材料探究韦达定理，体现数学思维与应用意识|

第25章一元二次方程达标练习卷 一、单选题 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为（     ） A．3 B．9 C． D． 5．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 6．某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 7．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 8．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 9．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 11．已知方程的两根为，，则________，________． 12．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 13．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 14．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 15．当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 16．如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 三、解答题 17．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18．将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 20．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 21．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 22．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A C B B C B A 1．D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．A 【详解】解：． 3．D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 4．A 【分析】先根据方程的根，求得，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得． 原方程为， 移项得. 开平方，得． 方程的另一个根为． 5．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．B 【分析】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 7．B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 8．C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 9．B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 10．A 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 11． 4 【分析】对于一元二次方程，若两根为，，根据根与系数的关系可得 ，． 【详解】解：∵方程为， ∴，，， ∴，． 12． 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 13．31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 14． 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 15． 且 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，分别对二次项系数和一次项系数提出取值要求，推导得到对应条件． 【详解】解：∵关于的方程为当方程是一元二次方程， ∴， 解得； ∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：且． 16． 【分析】由题意得出线段的长度，同理得到线段的长度，据此求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x， ∵， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴； 同理：， 同理：． 17．(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ，． （2）解：，，， ， ， ，． （3）解：， ， ， ， ，． 18．，二次项为，二次项系数为，一次项为，一次项系数为，常数项为． 【分析】首先利用完全平方公式把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义得出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为：， 二次项为，二次项系数为，一次项为，一次项系数为，常数项为． 19．(1)证明： ． 方程总有两个实数根 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 20．(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 21．(1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 22．(1) (2) (3)的最大值为2 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $