精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

龙东十校联盟高三学年数学开学考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合A和B都表示奇数集，所以． 2. 若，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦的诱导公式结合充分不必要条件定义判断求解. 【详解】“”可以推出“”， 当，满足，不能推出, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，求解即可. 【详解】因，则其定义域满足， 从而，解得. 4. 已知中，，，若满足条件的角有两个解，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于满足条件的角有两个解，所以，即，答案为D． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 又，所以，得， 由. 6. 函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换即可得到的值． 【详解】由，， 因为， 则将的图象向左平移个单位，就可以得到的图象， 因为函数的最小正周期为， 则将其向左平移个单位，即相当于将其向右平移个单位即可得到的图象， 所以． 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A，，定义域为，为偶函数，不符合题意； 对于选项B，，定义域为，为偶函数，不符合题意； 对于选项C，，定义域为，函数是奇函数， 当时，，则，不符合题意； 对于选项D，，定义域为，函数是奇函数，符合条件. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由原式，得 ． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确， 又，即，当且仅当时等号成立，故D正确， 由，得，当且仅当时等号成立，故A错误， 因为，由，得， 即，，当且仅当时等号成立，故C正确． 10. 已知，都是不等于1的正数，若，是函数的两个零点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，求出的范围，再利用对数性质将题转化成关于的函数，讨论的范围即可判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即，得， ①当时，，A正确，B错误； ②当时，，C正确，D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 对于任意实数a，都没有最大值 B. 当时，在区间上单调递增 C. 当时，一定有无数个零点，且连续两个零点之差的绝对值都小于 D. 对于任意实数a、m，一定存在实数，当时，都有成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题设结合反证法可判断选项正误；对于B，由时，在上的正负情况可判断单调性； 对于C，由函数和的图象相交情况可得零点情况，当时，设最小的正零点为， 最大的负零点为，说明，可判断选项正误；对于D，设函数，由基本不等式 可得，分类讨论的值，结合题设可得答案. 【详解】对于A，假设存在最大值，设为，则.易得， 对任意实数，取， 则, 这与矛盾，则对于任意实数a，都没有最大值； 对于B，因为，当时，， 当时，，，所以时， ，函数单调递增； 对于C，由，可得，考虑函数和的图象相交情况， 可得时，两函数图象有无数个交点，即一定有无数个零点. 再考虑当时，只要足够大，函数和的图象在时一定存在交点， 在时也一定存在交点，显然不是函数的零点， 不妨设最小的正零点为，最大的负零点为，故，是连续两个零点， 因为时，，而，函数和的图象不可能相交， 所以，由，得，此时连续两个零点之差的绝对值大于，故C错误； 对于D，设函数，因，由基本不等式可得. 当时，任意实数满足条件；当时，取，则时，， 当时，对于方程，结合， 可得，则此时取，当时，有. 综上，对于任意实数a、m，一定存在实数，当时，都有成立. 【点睛】关键点睛：本题涉及函数，方程，不等式的综合运用.如要否定全称命题，只要找到一个反例即可，也可通过反证法 解决；如要说明特称命题正确，找到满足题设要求的数学量即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用分段函数化简求解函数值即可. 【详解】已知函数，则． 13. 函数的值域是______． 【答案】 【解析】 【详解】， 令，则， 所以函数可化为， 因为， 所以当时，，时，， 故值域为． 14. 在中，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理将角转化成边，然后用表示,再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案. 【详解】由， 得，所以， 由此可得 令， ，（当且仅当，即时取等号）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数． （1）若时，函数的图象上存在斜率为的切线，求的取值范围； （2）当时，求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是 【解析】 【分析】（1）对求导后，令换元，把方程有解问题转化为对勾函数求值域，从而求出参数的取值范围； （2）将导函数因式分解，比较两个零点与的大小，分、两类讨论，解不等式得到对应单调递减区间. 【小问1详解】 因为 若时，有解， 即 令，则，即实数a的取值范围是． 【小问2详解】 因为 当，即时，由，可得， 即 当，即时，由，可得， 即 所以当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数图象的对称中心； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化为余弦型函数再求解. （2）先化为余弦型函数再求对称中心. （3）由整体法求解. 【小问1详解】 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 由，得， 所以函数的图象的对称中心为. 【小问3详解】 由，得， 即，得 所以不等式的解集为． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点P在边上，且． （1）求角C的值； （2）若，，求的周长； （3）若，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角形内角关系求出，进而求出C的值； （2）利用余弦定理及中线的性质，结合完全平方公式求出，进而求出三角形周长； （3）计算，利用正弦定理及三角形面积公式，化简关于的函数，采用配方法求分母最大值，进而求出面积最小值． 【小问1详解】 由，得 因为，所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为点P是AB中点，所以，，， 所以，所以， 所以，即， 所以的周长为． 【小问3详解】 因为，，所以， 在中，，得， 在中，，得， 所以面积， 因为，所以， 所以， 所以当时，面积的最小值为． 18. 已知数列、中，，，且满足，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列、的通项公式； （3）求的前项和． 【答案】（1）证明：因为，， 两式相加，得， 令，则 因，可知数列为等差数列， 即数列是等差数列． （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）令，直接验证即可证明； （2）由（1）可知，解法一：直接代入，通过构造求解，再代入即可求解；解法二：令，通过已知条件得到，再结合即可求解； （3）由（2）可知，，代入即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为， 所以，即， 解法一：因为，且，所以， 则， 所以， 所以，； 解法二：因为，， 两式相减，得， 令，则，， 得， 所以， 因为，所以，即，即， 又，联立解得，. 【小问3详解】 由（2）已得，. 则， 所以其前n项和． 19. 已知，函数． （1）若函数存在两个极值点，， ①求a的取值范围； ②求证：； （2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）① ②设，则， 当，即时，，函数单调递减； 当，即时，，函数单调递增； 所以，由此可得， 因为，所以， 设，得， 因为，所以，即， 又因为，所以， 因为，所以，设，得， 因为，所以，即， 由此可得． （2） 【解析】 【分析】（1）①求导，把极值点转化为的两个不同根，进而变形分离参数，新建函数并求导，利用函数单调性求出函数最小值，进而求出的取值范围； ②构造函数并求导，代入不等式，解出，放缩不等式得出，两式相减并化简得出证明结论； （2）利用不等式恒成立，代入，，得出，即，证明充分性，当时利用得出不等关系，构造函数，通过求导证明恒成立，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 ①， 由于，是的两个变号零点，也就是的两个根， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又因为，且时，，时，， 考虑函数的图象和直线的相交情况可知，a的取值范围是． ②略 【小问2详解】 因为恒成立，所以，即，得， 又当时，因为， 所以， 令，， ，当，，， 当，， ，所以函数在上单调递增， 因为， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，即恒成立， 综上所述，a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙东十校联盟高三学年数学开学考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，，若满足条件的角有两个解，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，都是不等于1的正数，若，是函数的两个零点，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 对于任意实数a，都没有最大值 B. 当时，在区间上单调递增 C. 当时，一定有无数个零点，且连续两个零点之差的绝对值都小于 D. 对于任意实数a、m，一定存在实数，当时，都有成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 函数的值域是______． 14. 在中，，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数． （1）若时，函数的图象上存在斜率为的切线，求的取值范围； （2）当时，求函数的单调递减区间． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数图象的对称中心； （3）求不等式的解集． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点P在边上，且． （1）求角C的值； （2）若，，求的周长； （3）若，求面积的最小值． 18. 已知数列、中，，，且满足，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列、的通项公式； （3）求的前项和． 19. 已知，函数． （1）若函数存在两个极值点，， ①求a的取值范围； ②求证：； （2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $