专题5：分数的应用（思维拓展）北师大版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题5：分数的应用 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：连续求一个数的几分之几 3 考点二：求比一个数多 / 少几分之几的数 4 考点三：分数乘除混合与量率对应 5 考点四：工程问题初步 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：单位“1”混淆 9 易错点 2：比多比少搞反 9 易错点 3：量率不对应 9 易错点 4：工程问题时间相加 9 易错点 5：分率和具体量混淆 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版六年级上册第四单元《分数的应用》核心内容，以“单位识别→量率对应→模型迁移→综合应用”为主线，系统覆盖连续求几分之几与单位“1”传递、比多比少的量率计算、分数乘除混合与差量对应、工程问题与分率思想四大核心模块，渗透对应思想、建模思想、转化思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从连续求一个数的几分之几入手，掌握单位“1”的传递规律，能用连乘解决同类问题；探索比一个数多 / 少几分之几的数量关系，掌握单位“1”已知与未知的不同解法；借助线段图分析量率对应关系，能用分数乘除混合解决复杂实际问题；延伸工程问题模型，理解工作总量为单位“1”的分率思想；拓展逆推还原、差量对应、分工程问题等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数”领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升分数应用与问题解决能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 连续求几分之几 单位“1”的传递；连乘计算；逆推还原 连乘法、逆推法 每步单位“1”找错；逆推时分率搞反 比多比少问题 比单位“1”多 / 少几分之几；量率对应；单位“1”已知与未知 量率对应法、线段图法 比多加成减，比少加成；单位“1”未知用乘法 分数乘除混合应用 总量与部分量；量差与分差；统一单位“1” 量率对应法、差量法 量和分率不对应；多个分率单位“1”不统一 工程问题初步 工作总量单位“1”；工作效率；合作工程 假设法、效率法 把时间当效率；合作时间直接相加 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 量率对应法 一般分数应用题 ①找单位“1”；②找对应分率；③量除以率得总量 找单位，定分率，对应量，除以率 线段图法 复杂数量关系 ①画单位“1”线段；②标分率标量；③看图列式 画线段，标清楚，量率对，好解题 逆推法 还原类分数问题 ①从最后量入手；②倒着算分率；③得原量 倒着推，加变减，乘变除 效率法 工程问题 ①设总工程量为 1；②算各队效率；③求合作时间 总量 1，效率分，合作算，和效率 差量法 量差分差问题 ①算量差；②算分差；③相除得总量 量差除以分差，等于单位总量 三、数学思维提升 1. 对应思想 核心要点：数量与分率一一匹配，不同的量对应不同的分率，培养对应思维与精准匹配能力。 专题示例：剩下的长度对应剩下的分率，多的数量对应多的分率，就是对应思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立分数应用题的通用模型，比如比多比少模型、工程问题模型，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：工程问题把总量看作单位“1”，用效率计算时间，就是典型的建模思想。 3. 转化思想 核心要点：把实际问题转化为分数的量率关系，把未知单位“1”转化为已知，把复杂问题转化为基础模型，培养转化迁移能力。 专题示例：逆推还原问题从后往前转化，差量问题转化为分差对应，就是转化思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用分数知识解决生活中的工程、购物、行程、分配等实际问题，体会分数的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算修路长度、计算工作时间、计算商品价格，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：连续求一个数的几分之几 能力进阶（★★★）—— 连乘计算 题目：幸福社区有 120 户居民，安装智能电表的户数占总户数的，安装天然气报警器的户数是安装智能电表户数的。安装天然气报警器的有多少户？ 解题步骤： ① 第一步把总户数看作单位“1”，先求安装智能电表的户数：（户） ② 第二步把安装智能电表的户数看作单位“1”，求安装天然气报警器的户数：（户） ③ 综合算式：（户） 验证：安装智能电表 90 户，占 120 户的；报警器 60 户，占 90 户的，符合题意。 【答案】60 户 【知识点睛】本题考查连续求一个数的几分之几的实际应用，对应教材核心重难点。 核心方法：连续求几分之几，用连乘计算；每一步都要找准当前的单位“1”，单位“1”已知用乘法。 解题步骤：先根据第一个分率求出中间量，再根据第二个分率求出最终量。 易错警示：混淆两次的单位“1”，直接用 120 乘，导致结果错误。 思维拓展（★★★★）—— 逆推还原 题目：一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下长度的，这时还剩 6 米。这根绳子原来长多少米？ 解题步骤： ① 从最后剩余的量逆推，先算第一次剪完余下的长度。第二次剪去余下的，剩下的 6 米对应余下的。 余下的长度：（米） ② 第一次剪去全长的，余下的 18 米对应全长的。 原来的长度：（米） ③ 验证：全长 24 米，第一次剪去 6 米，剩 18 米；第二次剪去 18 的即 12 米，剩 6 米，符合题意。 【答案】24 米 【知识点睛】本题是连续分率的奥数还原题型，考查逆推法与单位“1”的转换。 解题方法：从最后剩余的量出发，从后往前逆推，每一步都把当前的量看作单位“1”，单位“1”未知用除法。 解题技巧：也可先算剩余分率占全长的几分之几：，再用米，一步计算。 易错警示：直接认为剩下的分率是，忽略第二次的单位“1”是余下的长度。 考点二：求比一个数多 / 少几分之几的数 能力进阶（★★★）—— 单位“1”已知 题目：文具店原有钢笔 80 支，新进的钢笔数量比原有数量多。新进了多少支钢笔？ 解题步骤： ① 把原有钢笔数量看作单位“1”，新进数量对应的分率是。 ② 新进的数量 = 原有数量 × 对应分率：（支） ③ 验证：原有 80 支，多就是多 32 支，支，正确。 【答案】112 支 【知识点睛】本题考查求比一个数多几分之几的数，对应教材重难点。 核心公式： 比单位“1”多几分之几：对应量 = 单位“1”的量 ×（1 + 几分之几） 比单位“1”少几分之几：对应量 = 单位“1”的量 ×（1 - 几分之几） 解题关键：先确定单位“1”已知，再判断是多还是少，确定对应分率后用乘法计算。 易错警示：直接用 80 乘，得到的是多的数量，不是新进的总数。 思维拓展（★★★★）—— 单位“1”未知 题目：小明的体重是 45 千克，比爸爸的体重轻。爸爸的体重是多少千克？ 解题步骤： ① 把爸爸的体重看作单位“1”，小明体重对应的分率是。 ② 单位“1”未知，用对应量除以对应分率：（千克） ③ 验证：爸爸 75 千克，小明比爸爸轻，就是轻 30 千克，千克，符合题意。 【答案】75 千克 【知识点睛】本题是比多比少的奥数常考题型，考查单位“1”未知的分数应用。 解题关键：先找准单位“1”，单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法；比少用 1 减分率。 易错警示：单位“1”找错，把小明体重当单位“1”，用 45 乘，导致结果错误。 考点三：分数乘除混合与量率对应 能力进阶（★★★）—— 和量和率对应 题目：修一条公路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，两周一共修了 700 米。这条公路全长多少米？ 解题步骤： ① 先算两周一共修了全长的几分之几： ② 两周修的 700 米对应全长的，单位“1”是全长，未知，用除法：（米） ③ 验证：第一周修米，第二周修米，一共 700 米，正确。 【答案】1200 米 【知识点睛】本题考查分数乘除混合的量率对应问题，对应教材重难点。 核心公式：单位“1”的量 = 已知量 ÷ 已知量对应的分率。 解题步骤：先求出已知量对应的分率，再用已知量除以对应分率得到单位“1”的总量。 易错警示：分率计算错误，或者量率不匹配。 思维拓展（★★★★）—— 差量差分率对应 题目：果园里苹果树比梨树多 40 棵，梨树的棵数是苹果树的。苹果树和梨树各有多少棵？ 解题步骤： ① 把苹果树的棵数看作单位“1”，梨树是，苹果树比梨树多的分率是。 ② 多的 40 棵对应，苹果树的数量（单位“1”）：（棵） ③ 梨树的数量：（棵） 验证：棵，符合多 40 棵的条件；60 是 100 的，正确。 【答案】苹果树 100 棵，梨树 60 棵。 【知识点睛】本题是量差对应的奥数经典题型，考查差量与差分率的对应关系。 解题方法：差量 ÷ 差分率 = 单位“1”的量；先求出两种量的分率差，再用数量差除以分率差得到单位“1”。 适用场景：已知两个量的差，以及它们的分率关系，求总量。 易错警示：用 40 除以，分率和差量不对应。 考点四：工程问题初步 能力进阶（★★★）—— 合作工程 题目：加工一批零件，师傅单独做需要 8 小时完成，徒弟单独做需要 12 小时完成。师徒两人合作，几小时可以完成？ 解题步骤： ① 把这批零件的总工作量看作单位“1”，师傅每小时完成总工作量的，徒弟每小时完成。 ② 师徒合作的工作效率和： ③ 合作时间 = 总工作量 ÷ 效率和：（小时） 验证：4.8 小时师傅完成，徒弟完成，，刚好完成，正确。 【答案】4.8 小时（或小时） 【知识点睛】本题考查工程问题的基本模型，对应教材拓展重难点。 核心模型：工作总量看作单位“1”；工作效率 = 1 ÷ 工作时间；合作时间 = 1 ÷ 效率和。 解题关键：先求出各自的工作效率，再求效率和，最后用总量 1 除以效率和得到合作时间。 易错警示：直接用计算时间，把时间当效率相加，导致错误。 思维拓展（★★★★）—— 分阶段工程 题目：一项工程，甲队单独做 15 天完成，乙队单独做 20 天完成。甲队先做 3 天，剩下的由两队合作，还需要多少天完成？ 解题步骤： ① 先算甲队 3 天完成的工作量： ② 剩下的工作量： ③ 两队合作的工作效率和： ④ 还需要的时间：（天） 验证：甲一共做了天，完成；乙做了天，完成；，正确。 【答案】天（或天） 【知识点睛】本题是工程问题的奥数拓展题型，考查有先做部分的合作工程问题。 解题方法：先算先完成的工作量，用总量减去先做的得到剩余工作量，再用剩余工作量除以效率和得到合作时间。 解题技巧：工作量相加减，效率相加减，时间不能直接相加减。 易错警示：用总时间减去 3 天，直接得到合作时间，忽略效率不同。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：单位“1”混淆 错误示例：第一次用去全长的，第二次用去剩下的，一共用去全长的。 正确分析：第二次的单位“1”是剩下的长度，不是全长，一共用去。 修正方法：每一步先明确单位“1”，不同单位“1”的分率不能直接相加。 易错点 2：比多比少搞反 错误示例：小明有 50 元，比小华多，小华有元。 正确分析：单位“1”是小华，未知，用除法，小华有元。 修正方法：先找单位“1”，已知乘，未知除；比多加，比少减。 易错点 3：量率不对应 错误示例：一本书第一天看了，第二天看了，还剩 55 页，全书。 正确分析：55 页对应剩下的分率，全书页。 修正方法：已知量和对应分率要匹配，剩下的量对应剩下的分率。 易错点 4：工程问题时间相加 错误示例：甲单独做 2 天，乙单独做 3 天，合作一共要天。 正确分析：合作时间用总量除以效率和，效率相加，时间不能直接相加。 修正方法：工程问题，效率相加，时间不相加。 易错点 5：分率和具体量混淆 错误示例：一根绳子长 10 米，剪去米，还剩 5 米。 正确分析：米是具体长度，不是分率，还剩米。 修正方法：看清是分率还是具体量，带单位的是具体量，不带单位的是分率。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 六（1）班有 45 人，男生占，女生有（ ）人。 2. 甲数是 60，乙数是甲数的，丙数是乙数的，丙数是（ ）。 3. 比 20 千克多是（ ）千克；比 30 米少是（ ）米。 4. 一根绳子用去，还剩 12 米，这根绳子原来长（ ）米。 5. 一箱水果，吃了，剩下的比吃了的多 15 千克，这箱水果原来有（ ）千克。 6. 一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做 12 天完成，合作（ ）天完成。 7. 小明有 120 元，花了，还剩（ ）元。 8. 杨树有 80 棵，比柳树少，柳树有（ ）棵。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 一桶油，第一次倒出全桶的，第二次倒出余下的，还剩 18 千克。这桶油原来有多少千克？ 10. 商店运来苹果和梨共 270 千克，苹果的质量是梨的。苹果和梨各有多少千克？ 11. 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，还剩 300 米没修。这条路全长多少米？ 12. 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。甲先做 2 天，剩下的乙单独做，还要几天完成？ 13. 六（2）班男生比女生多 6 人，女生人数是男生的。男、女生各有多少人？ 14. 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第二天比第一天多看了 20 页。这本书有多少页？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】20 解题步骤： ① 女生占，女生人数：人。 【知识点睛】考查求部分量。核心：总量乘对应分率。易错警示：25。 2. 【答案】30 解题步骤： ① 乙数：，丙数：。 【知识点睛】考查连续求几分之几。核心：连乘计算。易错警示：40。 3. 【答案】25；25 解题步骤： ① 千克；米。 【知识点睛】考查比多比少。核心：单位“1”已知用乘法。易错警示：15、5。 4. 【答案】30 解题步骤： ① 剩下的分率，原长：米。 【知识点睛】考查量率对应。核心：对应量 ÷ 对应分率。易错警示：20。 5. 【答案】35 解题步骤： ① 剩下的分率，剩下比吃了多； ② 原有：千克。 【知识点睛】考查差量对应。核心：差量 ÷ 差分率。易错警示：105。 6. 【答案】4 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，效率和； ② 合作时间：天。 【知识点睛】考查合作工程。核心：1÷ 效率和。易错警示：9。 7. 【答案】72 解题步骤： ① 剩下的分率，剩下：元。 【知识点睛】考查求剩余量。核心：总量乘剩余分率。易错警示：48。 8. 【答案】100 解题步骤： ① 杨树对应分率，柳树：棵。 【知识点睛】考查单位“1”未知。核心：对应量 ÷ 对应分率。易错警示：64。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】40 千克。 解题步骤： ① 第二次倒完剩下的对应分率：； ② 原有：千克。 【知识点睛】考查逆推还原。核心：先算剩余分率再求总量。易错警示：60 千克。 10. 【答案】苹果 120 千克，梨 150 千克。 解题步骤： ① 把梨看作单位“1”，苹果是，总对应分率； ② 梨：千克，苹果：千克。 【知识点睛】考查和倍型分数应用。核心：和量 ÷ 和分率 = 单位“1”。易错警示：苹果 135 千克。 11. 【答案】500 米。 解题步骤： ① 第二天修了全长的：； ② 剩下的分率：； ③ 全长：米。 【知识点睛】考查统一单位“1”。核心：都转化为占全长的分率。易错警示：750 米。 12. 【答案】12 天。 解题步骤： ① 甲 2 天完成：； ② 剩余：； ③ 乙还要：天。 【知识点睛】考查分阶段工程。核心：先算剩余再算时间。易错警示：10 天。 13. 【答案】男生 30 人，女生 24 人。 解题步骤： ① 男生比女生多的分率：； ② 男生人数：人，女生：人。 【知识点睛】考查差量对应。核心：差量 ÷ 差分率 = 单位“1”。易错警示：男生 24 人。 14. 【答案】120 页。 解题步骤： ① 第二天看了全书的：； ② 第二天比第一天多的分率：； ③ 全书页数：页。 【知识点睛】考查差量对应与统一单位“1”。核心：先统一分率再算差。易错警示：80 页。 1 学科网（北京）股份有限公司 $