专题1：分数除法（思维拓展）北师大版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题1：分数除法 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：分数除法的算理与基本计算 3 考点二：分数混合运算 4 考点三：分数除法简便运算 5 考点四：分数除法实际应用（量率对应） 6 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：被除数和除数倒数搞反 9 易错点 2：混合运算顺序错误 9 易错点 3：分配律漏乘项 9 易错点 4：找错单位“1” 9 易错点 5：带分数除法直接拆分除 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版六年级上册第一单元《分数除法》核心内容，以“算理转化→运算规范→简便优化→实际应用”为主线，系统覆盖分数除法算理与基本计算、分数混合运算顺序、分数除法简便运算、分数除法量率对应应用四大核心模块，渗透转化思想、建模思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从分数除以整数的平均分情境入手，理解“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”的算理，掌握分数除法的基本计算方法；拓展到分数混合运算，掌握运算顺序，能正确进行两步及以上的分数混合运算；将整数运算律推广到分数，能运用交换律、结合律、分配律进行简便计算；运用量率对应思想解决分数除法实际问题；延伸错中求解、拆分凑整、差量率对应等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数”领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升分数运算能力与问题解决能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 分数除法算理与计算 分数除以整数；一个数除以分数；倒数转化算理 倒数转化法、验证法 被除数和除数倒数搞反；带分数除法直接除 分数混合运算 两级运算顺序；有括号的运算；同级运算 分步运算法、顺序法 先算加减后算乘除；括号漏变号 分数除法简便运算 除法转乘法分配律；拆分凑整；提取公因数 转化分配法、拆分法 分配律漏乘其中一项；拆分错误 分数除法实际应用 量率对应；求单位“1”；差量问题 量率对应法、画图法 找错单位“1”；量率不对应 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 倒数转化法 分数除法计算 ①找除数倒数；②除号变乘号；③约分计算 除以数，变乘它，倒数乘，约分算 分步运算法 分数混合运算 ①看运算顺序；②分步算；③合并结果 先乘除，后加减，有括号，先算里 转化分配法 简便运算 ①除法转乘法；②用分配律；③凑整计算 除变乘，分配律，凑整算，更简便 量率对应法 分数实际问题 ①找单位“1”；②找对应量率；③除法求单位 找单位，对量率，求单位，用除法 三、数学思维提升 1. 转化思想 核心要点：将分数除法转化为分数乘法计算，将新知转化为旧知，培养转化迁移与运算能力。 专题示例：计算分数除法时，除以一个数变成乘它的倒数，就是转化思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立分数除法的计算模型、量率对应问题的解题模型，掌握固定的解题方法，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：量率对应问题中，对应量 ÷ 对应分率 = 单位“1”的量，就是典型的解题模型。 3. 推理思想 核心要点：根据错算的结果推理正确的结果，根据量率关系推理未知的量，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：错中求解问题、差量率问题，都是推理思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用分数除法解决生活中的工程、行程、分配等实际问题，体会分数运算的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：已知部分求整体、工程问题初步，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：分数除法的算理与基本计算 能力进阶（★★★）—— 分数除法笔算与算理 题目：计算和，说一说计算时是怎样想的。 解题步骤： ① 计算：分数除以整数，就是把平均分成 2 份，求每份是多少。 根据分数除法算理，除以一个不为零的数等于乘它的倒数，2 的倒数是。 ② 计算：一个数除以分数，就是求这个数里面有多少个。 的倒数是，除以等于乘。 ③ 验证：，，商乘除数等于被除数，计算正确。 【答案】；【知识点睛】本题考查分数除法的基本算理与计算方法，对应教材核心重难点。 核心算理：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 计算步骤：一找（找除数的倒数）、二变（除号变乘号）、三算（按分数乘法计算，先约分再计算）。 易错警示：把被除数也变成倒数，或者除号变乘号后除数不变。 思维拓展（★★★★）—— 错中求解（看错运算符号） 题目：小马虎计算一道分数除法题时，把一个数除以看成了乘，结果得到。正确的结果应该是多少？ 解题步骤： ① 先根据错误的计算，求出原来的被除数。 一个数乘等于，这个数是： ② 再用被除数除以正确的除数，得到正确结果： ③ 验证：原来的数是，正确计算，错误计算，符合题意。 【答案】正确的结果是 1。 【知识点睛】本题是分数除法错中求解的经典奥数题型，考查乘除互逆关系与推理能力。 解题方法：先根据错误的运算和结果，逆推出原来的被除数，再用被除数按正确的运算计算出正确结果。 核心规律：错中求解问题，先求不变量（被除数），再算正确结果。 易错警示：直接用当作正确结果，忽略先求被除数。 考点二：分数混合运算 能力进阶（★★★）—— 分数混合运算顺序 题目：计算。 解题步骤： ① 分数混合运算顺序和整数相同：有括号先算括号里的，再算括号外的；先算乘除，后算加减。 先算括号里的加法： ② 再算除法： ③ 最后算加法：验证：按顺序分步验算，结果正确。 【答案】【知识点睛】本题考查分数混合运算的运算顺序，对应教材重难点。 核心顺序：分数混合运算和整数混合运算顺序完全相同；有括号先算括号内，再算括号外；两级运算先乘除后加减；同级运算从左到右。 易错警示：先算除法再算括号里的，或者先算加法后算除法，搞错运算顺序。 思维拓展（★★★★）—— 漏看括号的错中求解 题目：小马虎在计算时，漏看了括号，按计算，结果得到。正确的结果应该是多少？ 解题步骤： ① 先根据错误的算式，求出□里的数。 错误算式：先算的值：□的值： ② 把□=1 代入正确的算式计算： ③ 验证：错误计算，符合题意；正确计算结果为。 【答案】正确的结果是。 【知识点睛】本题是混合运算错中求解的奥数题型，考查运算顺序与逆推推理。 解题关键：漏看括号会改变运算顺序，先根据错误的顺序和结果逆推出未知数，再代入正确算式计算。 易错警示：直接用结果按正确顺序倒推，忽略错误的运算顺序。 考点三：分数除法简便运算 能力进阶（★★★）—— 乘法分配律的应用 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 分数除法的简便运算，先把除法转化为乘法，除以等于乘 12。 原式 ② 运用乘法分配律，用 12 分别乘括号里的每个数，再相加减： ③ 验证：按顺序计算括号里的，，结果一致。 【答案】 【知识点睛】本题考查分数除法的简便运算，对应教材重难点。 核心方法：除以一个分数，等于乘它的倒数，转化为乘法后，就可以运用乘法的运算律（交换律、结合律、分配律）进行简便计算。 解题技巧：括号里的分数分母都是除数分母的因数时，用分配律分别相乘再加减，比先算括号里更简便。 易错警示：分配律只乘前两项，漏乘第三项。 思维拓展（★★★★）—— 带分数除法拆分简便计算 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 先把带分数化成假分数，不用算出分子的具体结果，保留形式便于约分。 ② 除以一个分数等于乘它的倒数：原式 ③ 约分，2023 和 2023 约掉： ④ 验证：按常规方法计算，结果一致，简便方法更快捷。 【答案】 【知识点睛】本题是带分数除法的经典奥数简便题型，考查乘法分配律在分子中的应用与约分技巧。 解题方法：带分数除法，先把带分数拆成“整数 + 分数”，分子提取公因数，再转化为乘法约分计算。 解题技巧：整数和分子的整数部分相同时，可以直接约分，不用计算大数乘积。 易错警示：带分数除法直接用整数部分除整数部分，分数部分除分数部分，导致错误。 考点四：分数除法实际应用（量率对应） 能力进阶（★★★）—— 已知部分求整体 题目：小明看一本故事书，第一天看了全书的，正好是 120 页。这本书一共有多少页？ 解题步骤： ① 这是分数除法的基本应用题，单位“1”是全书的总页数，未知，用除法计算。 对应量是 120 页，对应分率是。 ② 单位“1”的量 = 对应量 ÷ 对应分率： （页） ③ 验证：全书 200 页，它的是页，符合题意。 【答案】200 页 【知识点睛】本题考查分数除法的基本实际应用 —— 量率对应，对应教材重难点。 核心公式：单位“1”的量 = 对应量 ÷ 对应分率。 解题步骤：先找单位“1”，再找已知量对应的分率，用除法求出单位“1”。 易错警示：用乘法计算，或者对应量和对应分率不匹配。 思维拓展（★★★★）—— 差量率对应问题 题目：一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去全长的，第一次比第二次多剪去 2 米。这根绳子原来长多少米？ 解题步骤： ① 单位“1”是绳子原来的全长，未知。第一次比第二次多剪的分率是：② 第一次比第二次多剪的 2 米，对应的分率就是。 全长 = 差量 ÷ 差率：（米） ③ 验证：全长 24 米，第一次剪米，第二次剪米，米，符合题意。 【答案】24 米 【知识点睛】本题是分数除法的差量率奥数题型，考查量率对应中的差量关系。 解题方法：差量对应差率，单位“1”= 差量 ÷ 差率；先算出两个分率的差，再用数量的差除以分率的差，得到单位“1”的量。 易错警示：直接用 2 除以或，量率不对应。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：被除数和除数倒数搞反 错误示例：。 正确分析：除以一个数，是除数变倒数，被除数不变，正确的是。 修正方法：除号变乘号，只把除数变倒数，被除数不变。 易错点 2：混合运算顺序错误 错误示例：。 正确分析：两级运算先算除法再算加法，正确结果是。 修正方法：先乘除，后加减，有括号先算括号里。 易错点 3：分配律漏乘项 错误示例：。 正确分析：括号里的每个数都要乘除数的倒数，正确的是。 修正方法：分配律，分别乘，不漏项。 易错点 4：找错单位“1” 错误示例：小明有 12 张邮票，是小红的，小红有张。 正确分析：单位“1”是小红的邮票数，未知，用除法，张。 修正方法：“的”前“比”后是单位 1，未知就用除法。 易错点 5：带分数除法直接拆分除 错误示例：。 正确分析：带分数除法要先化成假分数再计算，正确结果是。 修正方法：带分数，先化假，再变乘，算结果。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 计算：（ ） 2. 计算：（ ） 3. 计算：（ ） 4. 计算：（ ） 5. 一个数的是 18，这个数是（ ）。 6. 计算：（ ） 7. 30 比（ ）多。 8. 计算：（ ） 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎把一个数除以看成乘，结果是。正确的结果是多少？ 10. 用简便方法计算： 11. 一桶油，第一次倒出全桶的，第二次倒出全桶的，两次共倒出 26 千克。这桶油原来重多少千克？ 12. 小马虎计算时，漏看括号算成，结果是。正确结果是多少？ 13. 一根绳子，第一次剪去，第二次剪去余下的，还剩 12 米。这根绳子原来长多少米？ 14. 用简便方法计算： 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】 解题步骤： ① 。 【知识点睛】考查分数除以整数。核心：乘整数的倒数。易错警示：。 2. 【答案】12 解题步骤： ① 。 【知识点睛】考查一个数除以分数。核心：乘分数的倒数。易错警示：。 3. 【答案】 解题步骤： ① 先算除法：； ② 再算加法：。 【知识点睛】考查混合运算顺序。核心：先除后加。易错警示：。 4. 【答案】5 解题步骤： ① 转化为乘法：。 【知识点睛】考查分配律简便计算。核心：除变乘，分配律。易错警示：。 5. 【答案】27 解题步骤： ① 单位“1”未知，。 【知识点睛】考查量率对应求单位 1。核心：对应量 ÷ 对应分率。易错警示：12。 6. 【答案】1 解题步骤： ① 同级运算从左到右：。 【知识点睛】考查分数连除。核心：都变乘，约分算。易错警示：。 7. 【答案】25 解题步骤： ① 30 对应分率，单位 1：。 【知识点睛】考查比单位 1 多几分之几。核心：差量对应差率。易错警示：24。 8. 【答案】 解题步骤： ① 先算除法：； ② 再算减法：。 【知识点睛】考查混合运算。核心：先除后减。易错警示：。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】。 解题步骤： ① 被除数：； ② 正确结果：。 【知识点睛】考查错中求解。核心：先求被除数再算正确结果。易错警示：。 10. 【答案】。 解题步骤： ① 带分数化假分数：； ② 原式。 【知识点睛】考查带分数除法简便计算。核心：提取公因数约分。易错警示：。 11. 【答案】40 千克。 解题步骤： ① 两次共倒出的分率：； ② 总重量：（千克）。 【知识点睛】考查量率对应。核心：和量对应和率。易错警示：52 千克。 12. 【答案】。 解题步骤： ① 错误算式中，，； ② 正确算式：。 【知识点睛】考查漏看括号错中求解。核心：先求未知数再算正确结果。易错警示：。 13. 【答案】21 米。 解题步骤： ① 第一次剪后余下：； 第二次剪去余下的，即剪去全长的； 剩下的分率：； ② 全长：（米）。 【知识点睛】考查分率转换。核心：统一单位 1。易错警示：20 米。 14. 【答案】。 解题步骤： ① 转化：； ② 提取公因数：。 【知识点睛】考查提取公因数简便计算。核心：除变乘，提取公因数。易错警示：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $