第三单元 用字母表示（二）-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+8个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练 共46题】-2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图和知识框架图系统构建“用字母表示”单元知识体系，梳理代数式书写、数量关系表示等12个知识点，从基础格式到新型题型（如数形规律、定义新运算），呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，8个高频考点讲练结合“数与形规律”等典例培养推理意识，5个奥数拓展题提升符号意识，20道真题分基础与能力层。配套解题技巧与易错点分析，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第三单元 用字母表示（二）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+8个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练 共46题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 代数式的基本书写格式 3 知识点二 关于代数式的简单计算 4 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 4 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 4 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 4 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 4 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 4 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 4 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 5 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 5 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 5 知识点十二 含有字母的式子求值 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 用字母表示数量关系（2个未知数） 5 高频考点二 数与形（探索规律） 6 高频考点三 利用等式的性质求未知数 6 高频考点四 数与形（归纳递推） 6 高频考点五 含有字母式子的化简与求值 7 高频考点六 用字母表示稍复杂的数量关系 7 高频考点七 数表中的规律 8 高频考点八 含有字母式子的化简与求值 9 难点突破 奥数拓展 9 奥数拓展一 数与形（探索规律） 9 奥数拓展二 数与形（归纳递推） 10 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 10 奥数拓展四 用字母表示稍复杂的数量关系 11 奥数拓展五 数表中的规律 11 优选真题 实战演练 12 【基础通关】 12 【能力提升】 14 知识点一 代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4.关于分数的书写 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 知识点二 关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方法求解。 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 1. 定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二 含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 高频考点一 用字母表示数量关系（2个未知数） 【典例精讲】（25-26四年级下·山东德州·期末）无人机可用于航拍，还可以用于农业生产，一架新型无人机每小时喷洒农药亩，作业效率是人工的20倍以上，每亩的药量仅需800毫升。上午喷洒了3小时，下午喷洒了小时。 (1)用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药多少亩？ (2)如果，时，这架无人机一天喷洒农药多少亩？ 【变式训练】（24-25五年级下·上海徐汇·期末）一桶油连桶重m千克，用去一半油后，连桶还重n千克，桶重多少千克？下列式子中错误的是（    ）。 A．m－2（m－n） B．2n－m C．n－m÷2 D．n－（m－n） 高频考点二 数与形（探索规律） 【典例精讲】（24-25六年级下·江西南昌·期末）如图，3个杯子叠起来高14厘米，5个杯子叠起来高20厘米，照这样计算，10个杯子叠起来的高度是_______厘米，n个杯子叠起来的高度是___________厘米。 【变式训练】（25-26六年级下·广西贺州·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们画点或用小石子来表示数（如图的实心点），按照图中的规律，第5个图形有( )个实心点，第个图形有( )个实心点。 高频考点三 利用等式的性质求未知数 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁营口·期末） ○＝( )，△＝( )。 【变式训练】（24-25五年级下·江苏南京·期末）已知a＋b＋c＝27，2a＋c＝26，a－b＋c＝9，那么a＝_____，b＝_____，c＝______。 高频考点四 数与形（归纳递推） 【典例精讲】（25-26六年级下·河南平顶山·期末）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形。观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 根据发现的规律填空： (1)4×6＋1＝( )，6×8＋1＝( )。 (2)( )×( )＋1＝1002。 【变式训练】（25-26六年级下·浙江台州·期末）如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒……照这样搭下去，搭6个正方体框架用( )根小棒，搭n个正方体框架用( )根小棒。 高频考点五 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】25-26四年级下·山东德州·期末）实验室有一个弹簧测力计，原长为12厘米，最大称重10千克，且每增加1千克，弹簧会伸长2厘米。 (1)用含字母的式子表示当物体质量为n千克时（n小于或等于10），弹簧测力计的长度。 (2)如果物体质量是5千克，那么弹簧测力计的长度是多少厘米？ 【变式训练】（25-26五年级下·山西临汾·期末）一堆货物有吨，运走4次后还剩吨，表示平均每次运走吨数的式子是( )；当时，平均每次运走( )吨。 高频考点六 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中涂色部分拼成的一个长方形。 (1)请分别表示出这两个图形中涂色部分的面积：_______，________。 (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？ 【变式训练】（25-26六年级下·山东青岛·期末）下面的点阵图是按照一定规律排列的。 点阵图 ① ② ③ ④ …… 点的数量 1 5 9 …… (1)根据点阵图的排列规律，完成上表。 (2)第( )个点阵图中有33个点。 高频考点七 数表中的规律 【典例精讲】（25-26六年级下·浙江台州·期末）如下图，某次框出的4个数的图形是，用式子表示m左边的数是( )；当m＝32时，m下面的数是( )。 【变式训练】（2026·湖南长沙·小升初真题）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月的这7个数的和可能是（    ）。 A．106 B．98 C．84 D．78 高频考点八 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期末）按如图所示的方法摆放桌子和椅子，已知一张桌子可以坐8人，2张桌子可以坐12人，3张桌子可以坐16人，那么7张桌子可以坐________人；如果坐100人，需要________张桌子。 【变式训练】（24-25六年级下·江苏盐城·期末）如图①～图③所示，计算如22－12、32－22、42－32…算式的结果，可采用“数形结合”的方法解决。以图①计算22－12的过程为例，先构造两个边长分别为1和2的正方形，算式22－12的结果即可转化为涂色长方形的面积。再把这个构造与转化过程用算式表示并算出结果： 22－12＝（2＋1）×（2－1）＝3。 (1)先观察图②和图③的构造与转化过程，再用算式表示并算出结果。 32－22＝( )； 42－32＝( )。 (2)若将如上算式用字母式概括表示为（n＋1）2－n2，那么（n＋1）2－n2＝( )。 奥数拓展一 数与形（探索规律） 【典例精讲】（25-26六年级下·北京顺义·期末）观察下列图形变化的规律，第6个图形中黑色正方形的数量共有( )个，第2026个图形中黑色正方形的数量共有( )个。 【变式训练】（25-26四年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）下面图形中各有多少个三角形？有什么规律吗？把你思考的过程和发现的规律写下来。 奥数拓展二 数与形（归纳递推） 【典例精讲】（2024·山东青岛·小升初真题）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，第4次操作就在第三次操作基上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，经过4次操作后所有数的和是________。 【变式训练】如图，摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要( )根小棒，照这样下去，26根小棒可以摆( )个六边形。 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25六年级下·广东东莞·期末）用边长为2厘米的小正方形拼成一个大长方形，要求长是宽的3倍，且使用的小正方形数量在30到50之间，需要（    ）个小正方形。 A．36 B．40 C．48 D．54 【变式训练】（2026·重庆·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比甲多带3元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人30多元，则乙带了( )元。 奥数拓展四 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·开学考试）阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘：，记为，如：，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，（即）。 （1）计算：________；________；________。 （2）观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出，，之间的关系式________。 （3）由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果：________（且，，）。 （4）根据上述结论解决下列问题： 已知，求和的值（且）。 【变式训练】（23-24六年级上·广东深圳·期中）推导圆的面积公式有很多种方法。淘气把一个圆平均分成16份，得到16个完全一样的扇形，再把这些小扇形拼成一个近似的三角形（如图）。请你结合以上思路，写出圆面积公式的推导过程。 奥数拓展五 数表中的规律 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏南通·期末）用在下边数表中任意框出3个数，框出的3个数的和不可能是（    ）。 A．42 B．51 C．111 D．64 【变式训练】（25-26六年级下·河南焦作·期末）观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部分，其中a的值为( )，b的值为( )。 【基础通关】 1．（24-25六年级下·广东茂名·期末）下列选项中，能用3a＋1表示的是（    ）。 A．这条线段的长度： B．这个长方形的面积： C．组成a个正方形的小棒根数： D．第a个数的大小：2，5，8，11，… 2．（2025·浙江温州·小升初模拟）如果每天生产零件m个，生产20天后还剩下n个，这批零件有（    ）个。 A．20m＋n B．20m－n C．m÷20＋n D．m÷20－n 3．（24-25六年级下·江苏苏州·期末）妈妈买了a千克西红柿，每千克5元；又买了b千克黄瓜，每千克6元。那么5a－6b表示（    ）。 A．买西红柿和黄瓜一共花了多少元？ B．买的西红柿比黄瓜重多少千克？ C．买黄瓜比买西红柿少花多少元？ D．每千克西红柿比每千克黄瓜贵多少元？ 4．（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）按程序框图（如图）运算，并规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算。若x＝5，则运算进行______次才停止。 5．（24-25六年级下·福建莆田·期末）“化繁为简、由易到难”是我们研究问题的基本思考方法。聪聪向一道思考题发起了挑战：n条直线两两相交，最多有几个交点？聪聪决定从研究最简单的开始研究： (1)数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 (2)推一推：当n（n为整数，且n≥2）条直线两两相交时，最多有( )个交点。（用含有n的式子表示） 6．（25-26六年级下·湖南邵阳·阶段检测）用两张完全一样的长方形纸片分别卷成两个圆柱，并装上两个底面，制成的圆柱体积一定相等。( )（判断对错） 7．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）x2和2x的含义不一样，但是数值有时也会一样。( )（判断对错） 8．（2026·四川绵阳·小升初真题）观察下面关于立方求和的等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，… 由上述规律，我们可以猜测： (1)13＋23＋33＋43＋…＋103＝( )。（填最终结果） (2)13＋23＋33…＋( )3＝784。 (3)13＋23＋33＋43…＋n3＝( )。 9．（25-26六年级下·山东滨州·期末）将一张正三角形的纸按下图形状折叠，展开后沿折痕剪开就剪出四个正三角形，我们把这称为第一次操作；再拿出其中一个正三角形，将它同样也剪成四个正三角形，我们称为第二次操作；再拿出其中一个正三角形，将它同样也剪成四个正三角形，我们称为第三次操作；…… (1)根据操作的情况把下表填完整。 操作的次数 最初 第一次 第二次 第三次 第四次 共有正三角形的个数 1 4 7 (2)如果这个操作可以一直继续下去，那么第m次操作后，一共有多少个正三角形？当第几次操作后，会一共剪出2026个正三角形？ 10．（2026·重庆·小升初真题）如图图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的，且每个小正方形的边长是1，则第七个图形的周长是多少？ 【能力提升】 1．（25-26六年级下·河南南阳·期末）用黑、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第10个图案中有（    ）块白色瓷砖。 A．42 B．40 C．84 D．60 2．（25-26六年级下·广东阳江·期末）（a，b都大于0，且都不为0）。那么a、b的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 3．（24-25六年级下·广东东莞·期末）用边长为2厘米的小正方形拼成一个大长方形，要求长是宽的3倍，且使用的小正方形数量在30到50之间，需要（    ）个小正方形。 A．36 B．40 C．48 D．54 4．（24-25六年级下·陕西汉中·期末）某市第二届校园科学教育荟活动隆重开幕，来自全市32所小学的科学教育“奇思妙想”展精彩亮相，如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想在操场串起来搭建32顶帐篷，那么需要( )根钢管。 5．（25-26六年级下·河南焦作·期末）观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部分，其中a的值为( )，b的值为( )。 6．（2022·湖南邵阳·小升初真题）五年级有学生m人，五年级比六年级少3人，两个年级共有学生2m－3人。( )（判断对错） 7．（25-26六年级上·河北唐山·期末）如下图，用小棒摆图形，摆第12个图形用了22根小棒。( )（判断对错） 8．（2025·河北石家庄·小升初真题）简便运算。                     9．（2026·江苏淮安·小升初真题）下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 10．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）迎新年，甲、乙两个商场都在进行促销活动，甲商场按“每满120元减40元”的方式进行促销，乙商场按“全场七五折”的方式进行促销。 （1）有一件商品，在甲、乙两个商场都标价260元。在哪个商场购买该商品更便宜？便宜多少元？ （2）有一件商品，在甲、乙两个商场的标价相同，且标价低于1000元。按各自的促销方式计算，顾客在两个商场购买这件商品实际应付的钱数也相同。这件商品的标价最高是（    ）元。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第三单元 用字母表示（二）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+8个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练 共46题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 代数式的基本书写格式 3 知识点二 关于代数式的简单计算 4 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 4 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 4 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 4 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 4 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 4 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 4 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 5 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 5 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 5 知识点十二 含有字母的式子求值 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 用字母表示数量关系（2个未知数） 5 高频考点二 数与形（探索规律） 6 高频考点三 利用等式的性质求未知数 8 高频考点四 数与形（归纳递推） 9 高频考点五 含有字母式子的化简与求值 10 高频考点六 用字母表示稍复杂的数量关系 11 高频考点七 数表中的规律 13 高频考点八 含有字母式子的化简与求值 14 难点突破 奥数拓展 16 奥数拓展一 数与形（探索规律） 16 奥数拓展二 数与形（归纳递推） 17 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 19 奥数拓展四 用字母表示稍复杂的数量关系 20 奥数拓展五 数表中的规律 22 优选真题 实战演练 24 【基础通关】 24 【能力提升】 30 知识点一 代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4.关于分数的书写 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 知识点二 关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三 用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四 用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五 用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 知识点六 用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方法求解。 知识点七 五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八 五种新型题型其二：定义新运算 1. 定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 知识点九 五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十 五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一 五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二 含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 高频考点一 用字母表示数量关系（2个未知数） 【典例精讲】（25-26四年级下·山东德州·期末）无人机可用于航拍，还可以用于农业生产，一架新型无人机每小时喷洒农药亩，作业效率是人工的20倍以上，每亩的药量仅需800毫升。上午喷洒了3小时，下午喷洒了小时。 (1)用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药多少亩？ (2)如果，时，这架无人机一天喷洒农药多少亩？ 【答案】(1) 亩 (2) 528亩 【思路引导】（1）根据工作总量＝工作效率×工作时间的数量关系解题。第一问先求出全天总作业时长，再乘每小时喷洒亩数，用含字母的式子表示总亩数. （2）将字母的取值代入式子计算结果。 【规范解答】（1）上午喷洒亩数：3×x＝3x（亩） 下午喷洒亩数：t×x＝tx（亩） 3x＋tx＝（3＋t）x亩 答：用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药（3＋t）x亩。 （2）， （3＋t）x ＝（3＋5）×66 ＝8×66 ＝528（亩） 答：这架无人机一天喷洒农药528亩。 【变式训练】（24-25五年级下·上海徐汇·期末）一桶油连桶重m千克，用去一半油后，连桶还重n千克，桶重多少千克？下列式子中错误的是（    ）。 A．m－2（m－n） B．2n－m C．n－m÷2 D．n－（m－n） 【答案】C 【思路引导】m表示一桶油与桶的重量和，n表示半桶油与桶的重量和，用桶和油的总重量减去一半油的重量和桶的重量，求出一半油的重量为（m－n）千克，再逐一判断各选项计算结果是否为桶的重量。 【规范解答】一半油的重量：（m－n）千克。 A．，总重量减去整桶油的重量，结果为桶重，正确。 B．是2个桶加1整桶油的重量，减去总重量，结果为桶重，正确。 C．是一半油加半个桶的重量，得到的是半个桶的重量，不是桶重，原题说法错误。 D．，用一半油加桶的重量减去一半油的重量，结果为桶重，正确。 所以错误的式子是C选项。 高频考点二 数与形（探索规律） 【典例精讲】（24-25六年级下·江西南昌·期末）如图，3个杯子叠起来高14厘米，5个杯子叠起来高20厘米，照这样计算，10个杯子叠起来的高度是_______厘米，n个杯子叠起来的高度是___________厘米。 【答案】 35 3n＋5 【思路引导】用5个杯子叠起来的高度减去3个杯子叠起来的高度除以（5－3）求出每多叠1个杯子增加的高度，3个杯子叠放时有（3－1）个叠加部分，此时叠加部分的总高度为多叠放1个杯子增加的高度乘（3－1），再用14厘米减去这个高度就是单个杯子的高度，10个杯子叠加起来的高等于单个杯子的高度加上多叠放1个杯子增加的高度乘（10－1），n个杯子叠起来的高度等于单个杯子的高度加上多叠放1个杯子增加的高度乘（n－1）。 【规范解答】（20－14）÷（5－3） ＝6÷2 ＝3（厘米） 14－（3－1）×3 ＝14－2×3 ＝14－6 ＝8（厘米） 8＋（10－1）×3 ＝8＋9×3 ＝8＋27 ＝35（厘米） 8＋（n－1）×3 ＝8＋3n－3 ＝3n＋5 【变式训练】（25-26六年级下·广西贺州·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们画点或用小石子来表示数（如图的实心点），按照图中的规律，第5个图形有( )个实心点，第个图形有( )个实心点。 【答案】 25 【思路引导】根据观察可以发现，第1个图形有1个实心点，可以写成；第2个图形有个实心点；第3个图形有个实心点；第4个图形有个实心点，按照此规律可以推算出，第几个图形就有几的平方个实心点，据此求解。 【规范解答】按照规律： 第5个图形有实心点的数量为：（个） 第个图形有个实心点。 高频考点三 利用等式的性质求未知数 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁营口·期末） ○＝( )，△＝( )。 【答案】 10 4 【思路引导】观察两个算式： ① ○＋○＋△＝24 ② △＋△＋△＋○＋○＝32 对比发现，第二个算式比第一个算式多2个△，用第二个式子减去第一个式子，先求出△代表的数，再代入式子求出○。 【规范解答】用②式－①式： （△＋△＋△＋○＋○）－（○＋○＋△）＝32－24 2△＝8 △＝4 把△＝4代入○＋○＋△＝24 ○＋○＋4＝24 2○＝20 ○＝10 【变式训练】（24-25五年级下·江苏南京·期末）已知a＋b＋c＝27，2a＋c＝26，a－b＋c＝9，那么a＝_____，b＝_____，c＝______。 【答案】 8 9 10 【思路引导】用整体代换、等式相加减的方法来计算。 【规范解答】已知a＋b＋c＝27，a－b＋c＝9， 所以a＋b＋c＋（a－b＋c）＝27＋9， 即2a＋2c＝36， 已知2a＋c＝26，所以2a＋2c－（2a＋c）＝36－26， 那么c＝10 把c＝10代入2a＋c＝26，得2a＋10＝26， 那么a＝8 把a＝8，c＝10代入a＋b＋c＝27，得8＋b＋10＝27， 那么b＝9 所以，a＝8，b＝9，c＝10 高频考点四 数与形（归纳递推） 【典例精讲】（25-26六年级下·河南平顶山·期末）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形。观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 根据发现的规律填空： (1)4×6＋1＝( )，6×8＋1＝( )。 (2)( )×( )＋1＝1002。 【答案】(1) 52/25 72/49 (2) 99 101 【思路引导】（1）由所给算式得出规律：一个自然数，乘比它大2的数，再加1，结果就等于这两个数中间的数的平方。 （2）等式右边是100的平方，说明相乘的两个自然数中间的数是100，用中间的数分别减去1、加上1即可得到这两个自然数。 【规范解答】（1）4和6中间的数是5，所以4×6＋1＝52＝5×5＝25； 6和8中间的数是7，所以6×8＋1＝72＝7×7＝49； （2）100－1＝99 100＋1＝101 99×101＋1＝1002 【变式训练】（25-26六年级下·浙江台州·期末）如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒……照这样搭下去，搭6个正方体框架用( )根小棒，搭n个正方体框架用( )根小棒。 【答案】 52 8n＋4 【思路引导】1个正方体：12＝8×1＋4根；2个正方体：20＝8×2＋4根；3个正方体：28＝8×3＋4根，可以发现： 每多搭1个正方体，只需要增加8根小棒（两个正方体相连会共用4根小棒），搭6个正方体比搭3个正方体多用3个8根，6个正方体需要：（6－3）×8＋28根；搭n个正方体框架，小棒总数为（8n＋4）根。 【规范解答】根据分析，搭6个正方体需要： （6－3）×8＋28 ＝3×8＋28 ＝24＋28 ＝52（根） 搭n个正方体需要（8n＋4）根。 高频考点五 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】25-26四年级下·山东德州·期末）实验室有一个弹簧测力计，原长为12厘米，最大称重10千克，且每增加1千克，弹簧会伸长2厘米。 (1)用含字母的式子表示当物体质量为n千克时（n小于或等于10），弹簧测力计的长度。 (2)如果物体质量是5千克，那么弹簧测力计的长度是多少厘米？ 【答案】(1) 厘米（） (2) 22厘米 【思路引导】（1）弹簧总长度由原长和伸长部分组成，伸长长度等于每千克伸长的长度乘物体质量，据此写出含字母的式子. （2）把数值代入含字母的式子计算即可。 【规范解答】（1）弹簧伸长的长度：厘米 弹簧测力计的长度：厘米（）。 2×n＋12＝（2n＋12）厘米 答：弹簧测力计的长度是（2n＋12）厘米。 （2）当时 ＝10 ＋ 12 （厘米） 答：弹簧测力计的长度是22厘米。 【变式训练】（25-26五年级下·山西临汾·期末）一堆货物有吨，运走4次后还剩吨，表示平均每次运走吨数的式子是( )；当时，平均每次运走( )吨。 【答案】 （a－b）÷4 10.5 【思路引导】平均每次运走的吨数就是用原有的吨数减去还剩的吨数除以运走的次数即可，写出式子后，将代入式子求解即可。 【规范解答】平均每次运走吨数的式子：（a－b）÷4 当时， （a－b）÷4 ＝（50－8）÷4 ＝42÷4 ＝10.5（吨） 所以平均每次运走吨数的式子是（a－b）÷4；当时，平均每次运走10.5吨。 高频考点六 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中涂色部分拼成的一个长方形。 (1)请分别表示出这两个图形中涂色部分的面积：_______，________。 (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？ 【答案】(1) a2－b2 （a＋b）（a－b） (2)（a＋b）（a－b）＝ a2－b2 【思路引导】（1）根据正方形面积公式S＝a2，用大正方形面积减去小正方形面积求出图1涂色面积；找出图2长方形的长和宽，根据长方形面积公式S＝ab求出图2涂色面积。 （2）根据两个图形涂色部分面积相等，推导对应的乘法公式。 【规范解答】（1）图1中，大正方形面积为a×a＝ a2 小正方形面积为b×b＝b2 涂色部分面积＝a2－b2 图2中，拼成的长方形的长是a＋b，宽是a−b 涂色部分面积＝（a＋b）（a−b） （2）两个图形的涂色部分是同一部分，面积相等，因此可以验证乘法公式：（a＋b）（a－b）＝ a2－b2 【变式训练】（25-26六年级下·山东青岛·期末）下面的点阵图是按照一定规律排列的。 点阵图 ① ② ③ ④ …… 点的数量 1 5 9 …… (1)根据点阵图的排列规律，完成上表。 (2)第( )个点阵图中有33个点。 【答案】(1) 点阵图 ① ② ③ ④ …… 点的数量 1 5 9 13 …… 4n－3 (2)9 【思路引导】观察点阵图，可以发现，序号1有1个点，序号2有5个点，序号3有9个点。从1到5增加了4，从5到9增加了4，每次增加4个点，从第①幅图开始，点的数量＝4×（序号－1）＋1；把序号写为n代入就可以得到含有n的式子，代入n＝4计算； 求33个点对应的序号，只需令这个式子的结果等于33，即4×序号－3＝33，解出序号。 【规范解答】（1）根据分析，序号④：4×4－3＝13（个）； 序号n：4×（n－1）＋1 ＝4×n－4＋1 ＝4n－3 （2）令4n－3＝33 4n＝33＋3 4n＝36 n＝36÷4 n＝9 高频考点七 数表中的规律 【典例精讲】（25-26六年级下·浙江台州·期末）如下图，某次框出的4个数的图形是，用式子表示m左边的数是( )；当m＝32时，m下面的数是( )。 【答案】 m－1 39 【思路引导】先观察数表的排列规律：每行有7个数，同一行中相邻的数，右边的数比左边大1；上下相邻的数，下一行的数比上一行同列的数大7。根据这个规律，m左边的数比m小1即（m－1），m下面的数比m大7即（m＋7），再代入m＝32计算即可。据此解答。 【规范解答】当m＝32时，m＋7＝ 用式子表示m左边的数为（m－1）；当m＝32时，m下面的数是39。 【变式训练】（2026·湖南长沙·小升初真题）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月的这7个数的和可能是（    ）。 A．106 B．98 C．84 D．78 【答案】C 【思路引导】组成“U形结构”的数的规律是7个数的和是2＋4＋9＋11＋16＋17＋18＝77，77÷7＝11；商11加上6就是最底下中间数17，即7个数总和一定能被7整除，再用商＋6即可得到最底中间数。先拿四个选项除以7，把除不尽的选项直接排除；剩下能整除的选项，再看对应的日期能不能画出U形结构即可。 【规范解答】106÷7、78÷7都得不到整数，106和78不符合题意； 若总和98，98÷7＝14，14＋6＝20，最底中间数是20，往左推左上角日期是5，5在周五列，列位置不对，画不出U形，排除98； 若总和84：84÷7＝12，12＋6＝18，最底中间数是18，向上推出其余日期都在对应周四、周六列，能画出U形，84符合条件。 高频考点八 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期末）按如图所示的方法摆放桌子和椅子，已知一张桌子可以坐8人，2张桌子可以坐12人，3张桌子可以坐16人，那么7张桌子可以坐________人；如果坐100人，需要________张桌子。 【答案】 32 24 【思路引导】通过观察图形可知，1张桌子可以坐8人，2张桌子可以坐（8＋4）人，3张桌子可以坐（8＋4＋4）人，……多一张桌子多坐4人，以此类推，n张桌子可以坐[8＋4 （n－1）]人；问摆7张桌子可以坐几人，先化简8＋4（n－1），再把n＝7代入化简后的式子即可求出7张桌子可以坐的人数。当人数为100时，代入求出n。 【规范解答】n张桌子可以坐的人数为： 8＋4（n－1） ＝8＋4n－4 ＝4n＋4 当n＝7时，4×7＋4 ＝28＋4 ＝32（人） 4n＋4＝100 4n＋4－4＝100－4 4n＝96 n＝24 7张桌子可以坐32人，如果坐100人，需要24张桌子。 【变式训练】（24-25六年级下·江苏盐城·期末）如图①～图③所示，计算如22－12、32－22、42－32…算式的结果，可采用“数形结合”的方法解决。以图①计算22－12的过程为例，先构造两个边长分别为1和2的正方形，算式22－12的结果即可转化为涂色长方形的面积。再把这个构造与转化过程用算式表示并算出结果： 22－12＝（2＋1）×（2－1）＝3。 (1)先观察图②和图③的构造与转化过程，再用算式表示并算出结果。 32－22＝( )； 42－32＝( )。 (2)若将如上算式用字母式概括表示为（n＋1）2－n2，那么（n＋1）2－n2＝( )。 【答案】(1) （3＋2）×（3－2）＝5 （4＋3）×（4－3）＝7 (2)（2n＋1）/（1＋2n） 【思路引导】（1）正方形面积＝边长×边长＝边长2，观察规律可知，可将两个边长相差1的正方形的面积之差转化成一个长是两个正方形边长之和、宽是两个正方形边长之差的长方形的面积，长方形面积＝长×宽，据此解答； （2）根据（1）中的规律，两个边长相差1的正方形的面积之差＝较小正方形的边长×2＋1，据此解答。 则（n＋1）2－n2＝（n＋1＋n）（n＋1－n）＝2n＋1。 【规范解答】（1）32表示边长为3的正方形面积，22表示边长为2的正方形面积，两个正方形边长之和为（3＋2），边长之差为（3－2）。 32－22＝（3＋2）×（3－2）＝5 42表示边长为4的正方形面积，32表示边长为3的正方形面积，两个正方形边长之和为（4＋3），边长之差为（4－3）。 42－32＝（4＋3）×（4－3）＝7 （2）较小正方形的边长为n，（n＋1）2－n2＝n×2＋1＝（2n＋1）。 奥数拓展一 数与形（探索规律） 【典例精讲】（25-26六年级下·北京顺义·期末）观察下列图形变化的规律，第6个图形中黑色正方形的数量共有( )个，第2026个图形中黑色正方形的数量共有( )个。 【答案】 9 3039 【思路引导】从图形来看：第一个图有2个黑色正方形；第二个图有3个黑色正方形；第三个图有5个黑色正方形；第四个图有6个黑色正方形，第五个图有8个黑色正方形……； 由此可知：第n个图黑色正方形的个数规律为： 当n为奇数时：第一个图有2个黑色正方形，可以写成：（3×1＋1）÷2； 第三个图有5个黑色正方形，可以写成：（3×3＋1）÷2； 第五个图形有8个黑色正方形，可以写成：（3×5＋1）÷2； …… 第n个图形有黑色正方形（3n＋1）÷2个。 当n为偶数时：第二个图形有3个黑色正方形，可以写成：3×2÷2； 第四个图形有6个黑色正方形，可以写成：3×4÷2； …… 第n个图形有黑色正方形3n÷2个。 n＝6，6是偶数，按照3n÷2计算；n＝2026，2026是偶数，按照3n÷2计算。 【规范解答】根据分析可知，当n为偶数时： n＝6； 3×6÷2 ＝18÷2 ＝9（个） n＝2026时： 2026×3÷2 ＝6078÷2 ＝3039（个） 【变式训练】（25-26四年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）下面图形中各有多少个三角形？有什么规律吗？把你思考的过程和发现的规律写下来。 【答案】1个；3个；6个；10个；图①有1个三角形，图②有3个三角形，图③有6个三角形，图④有10个三角形，规律是第n个图形就有（1＋2＋……＋n）个三角形。（规律答案不唯一） 【思路引导】观察发现图①有1个三角形，图②有（1＋2）个三角形，图③有（1＋2＋3）个三角形，图④有（1＋2＋3＋4）个三角形，那么图n有（1＋2＋3＋4＋……＋n）个三角形；据此解答。 【规范解答】图①：1个 图②：1＋2＝3（个） 图③：1＋2＋3＝6（个） 图④：1＋2＋3＋4＝10（个） 图n：1＋2＋3＋4＋……＋n（个） 答：图①有1个三角形，图②有3个三角形，图③有6个三角形，图④有10个三角形，规律是第n个图形就有（1＋2＋……＋n）个三角形。（规律答案不唯一） 奥数拓展二 数与形（归纳递推） 【典例精讲】（2024·山东青岛·小升初真题）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，第4次操作就在第三次操作基上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，经过4次操作后所有数的和是________。 【答案】32 【思路引导】根据题意可知：1＋3＝4 第一次操作后所有数的和是1＋4＋3＝8。 第二次操作后所有数的和是，从，可知：中间的4算了2次，头尾的1和3只算了1次；若1、4、3都各算了2次，再减去头尾的1和3多算的1次，那么第二次比第一次就增加，第二次操作后所有数的和就可以是：。 据此第三次操作后所有数的和＝第二次操作后所有数的和＋第二次操作后所有数的和×2×－4×。 同理第四次操作后所有数的和＝第三次操作后所有数的和＋第三次操作后所有数的和×2×－4×。据此解答。 【规范解答】1＋3＝4 第一次操作后所有数的和是1＋4＋3＝8。 第二次操作后所有数的和： ＝ ＝14 第三次操作后所有数的和： ＝ ＝22 第四次操作后所有数的和： ＝ ＝32 经过4次操作后所有数的和是32。 【考点剖析】根据每次增加的数的规律，推导每次操作后所有数的和的关系式是解题的关键。 【变式训练】如图，摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要( )根小棒，照这样下去，26根小棒可以摆( )个六边形。 【答案】 16 5 【思路引导】摆1个六边形需要6根小棒，即5×1＋1； 摆2个六边形需要11根小棒，即5×2＋1； 摆3个六边形需要16根小棒，即5×3＋1； 摆几个六边形就用5乘几然后加1即可。 用总根数减1，然后除以5即可求出可以摆多少个六边形。 【规范解答】5×3＋1 ＝15＋1 ＝16（根） （26－1）÷5 ＝25÷5 ＝5（个） 摆3个六边形需要16根小棒，照这样下去，26根小棒可以摆5个六边形。 【考点剖析】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个六边形就多5根小棒是解本题的关键。 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25六年级下·广东东莞·期末）用边长为2厘米的小正方形拼成一个大长方形，要求长是宽的3倍，且使用的小正方形数量在30到50之间，需要（    ）个小正方形。 A．36 B．40 C．48 D．54 【答案】C 【思路引导】设宽由个小正方形拼成，拼成的长方形长是宽的3倍，则长为个，总个数为：，说明所需小正方形总个数是3乘一个完全平方数，结合数量在30到50之间的条件筛选即可。 【规范解答】设宽由个小正方形拼成，则长为个，总个数为：要求，化简得，为整数，因此，。总个数：（个）。 【变式训练】（2026·重庆·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比甲多带3元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人30多元，则乙带了( )元。 【答案】45 【思路引导】根据题目给出的钱数比例关系，算出甲、乙、丙三人钱数的连比，结合丁的钱数，解设四人钱数的关联表达式。 根据“平均每人30多元”计算出四人总钱数的取值范围，代入四人钱数总和的表达式，得到关于未知数的不等式，结合整数约束求解。 【规范解答】甲是乙的， 乙是丙的， 乙在两个比里分别是5份、3份，5和3最小公倍数是15，统一乙为15份。 所以， 设每份钱为元，则甲、乙、丙、丁的钱数分别为： 四人总钱数为，化简得 平均每人三十多元，4个人总钱范围： 至之间，即，所以 ，太小； ，太小； ，，，符合； ，，超出上限，不行。 所以每份（元） 乙是15份：（元） 【考点剖析】本题考查比的有关知识，先化连比统一中间量，用份数搭建四人钱数的数量桥梁。结合平均数锁定取值范围，再用枚举法求出唯一符合条件的答案。 奥数拓展四 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·开学考试）阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘：，记为，如：，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，（即）。 （1）计算：________；________；________。 （2）观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出，，之间的关系式________。 （3）由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果：________（且，，）。 （4）根据上述结论解决下列问题： 已知，求和的值（且）。 【答案】（1）2；4；6 （2）＋＝ （3） （4）＝0.6；＝0.9 【思路引导】（1）根据对数的定义，表示3的几次方等于9，表示3的几次方等于81，表示3的几次方等于729；据此解答； （2）观察（1）中三数9、81、729之间满足的关系式，9×81＝729，＝2，＝4，＝6，所以＋＝； （3）由（2）可知，以a为底的M的对数加上以a为底的N的对数和等于以a为底的M×N的对数；据此解答； （4）由（3）的结论可知：＝＋，＝＋＋，据此解答。 【规范解答】（1）因为＝9，＝81，＝729 所以＝2，＝4，＝6。 （2）由（1）可知：＝2，＝4，2＋4＝6，＝6， 所以＋＝。 （3）由（2）的结果，可知： （且，，）。 （4）＝＋＝0.3＋0.3＝0.6 ＝＋＋ ＝0.3＋0.3＋0.3 ＝0.6＋0.3 ＝0.9 【考点剖析】解答此题要读懂题意，弄清楚对数的意义，根据对数的意义结合乘方的意义逐步解答即可。 【变式训练】（23-24六年级上·广东深圳·期中）推导圆的面积公式有很多种方法。淘气把一个圆平均分成16份，得到16个完全一样的扇形，再把这些小扇形拼成一个近似的三角形（如图）。请你结合以上思路，写出圆面积公式的推导过程。 【答案】见详解 【思路引导】由图可知，小扇形的总数是16个，拼成三角形的底占整个圆周长的4÷16＝，拼成的三角形的高相当于半径的4倍，再根据三角形的面积＝底×高÷2，进而表示出圆的面积，据此解答。 【规范解答】设这个圆的半径为r，则圆的周长为， 三角形的底： 三角形的高： 三角形的面积： ＝ ＝ 所以，圆的面积。 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式推导，准确找到三角形的底和高是解决这道题的关键。 奥数拓展五 数表中的规律 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏南通·期末）用在下边数表中任意框出3个数，框出的3个数的和不可能是（    ）。 A．42 B．51 C．111 D．64 【答案】D 【思路引导】框出的3个数的和需要同时满足：①是3的倍数。②数值在某一行的和的范围内。不符合这两个条件的数，就是题目要选的“不可能”的答案。 【规范解答】设框出的三个数中，中间的数为x，那么左边的数是x－1，右边的数是x＋1。三个数的和为：（x－1）＋x＋（x＋1）＝ 3x，这说明：框出的3个数的和一定是3的倍数，且x必须在数表的同一行中，且左右都有数字（即x不能是每行的第1个或第10个）。最小的和：框出1、2、3，和为1＋2＋3＝6（x＝2）最大的和：框出48、49、50，和为48＋49＋50＝147（x＝49）同时，每行的数字范围是： 第1行：1~10 → x的范围：2~9 → 和的范围：6~27 。 第2行：11~20 → x的范围：12~19 → 和的范围：36~57 。 第3行：21~30 → x的范围：22~29 → 和的范围：66~87。 第4行：31~40 → x的范围：32~39 → 和的范围：96~117 。 第5行：41~50 → x的范围：42~49 → 和的范围：126~147。 A．42是3的倍数，在第2行和的范围36~57内，可能。 B．51是3的倍数，在第2行和的范围36~57内，可能。 C．111是3的倍数，在第4行和的范围96~117内，可能。 D．64不是3的倍数，也不在任何行的和的范围内，不可能。 【变式训练】（25-26六年级下·河南焦作·期末）观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部分，其中a的值为( )，b的值为( )。 【答案】 40 49 【思路引导】先分析图①的数字规律：因为第m行第n列的数等于m×n，所以可依据该规律结合图②、图③的已知数确定它们在原表格的行、列位置。 求a的值：先根据图②中28和32的数值差，确定这两个数所在的列数，再确定35和a所在的行数，结合规律计算a。 求b的值：先根据图③中36和56的数值，分别确定它们对应的行和列，再定位b的行、列位置，结合规律计算b。 【规范解答】图②中，28和32在同一行，相邻两数差为32－28＝4，因此这一行是第4行；28＝4×7，说明28在第4行第7列，32在第4行第8列，则a在第5行第8列： a＝5×8＝40。 图③中：36在截取部分的第一行第一列，b在截取部分的第二行第二列，56在截取部分的第三行第二列。 设36在原图的第x行第y列，那么根据规律可得： x×y＝36，（x＋2）×（y＋1）＝56，我们把36的因数对列举出来尝试，发现当x＝6、y＝6时，刚好满足：6×6＝36，（6+2）×（6＋1）＝8×7＝56，完全符合条件。b在原图的第x＋1行第y＋1列，所以：b＝（6＋1）×（6＋1）＝7×7＝49。 【基础通关】 1．（24-25六年级下·广东茂名·期末）下列选项中，能用3a＋1表示的是（    ）。 A．这条线段的长度： B．这个长方形的面积： C．组成a个正方形的小棒根数： D．第a个数的大小：2，5，8，11，… 【答案】C 【思路引导】3a＋1表示的是a的3倍再加上1，依次分析每个选项得出答案。 【规范解答】A．这条线段的长度：1＋a＋3＝4＋a，不能用3a＋1表示； B．这个长方形的面积：3×（a＋1）＝3a＋3，不能用3a＋1表示； C．组成a个正方形的小棒根数为3a＋1，能用3a＋1表示； D．第a个数的大小为3a－1，不能用3a＋1表示； 2．（2025·浙江温州·小升初模拟）如果每天生产零件m个，生产20天后还剩下n个，这批零件有（    ）个。 A．20m＋n B．20m－n C．m÷20＋n D．m÷20－n 【答案】A 【思路引导】零件总个数等于20天已经生产的零件个数加上剩下的零件个数，先求出20天生产的零件数，再加剩下的n个就能得到总个数。 【规范解答】20天生产的零件个数： 零件总个数： 这批零件有（）个 3．（24-25六年级下·江苏苏州·期末）妈妈买了a千克西红柿，每千克5元；又买了b千克黄瓜，每千克6元。那么5a－6b表示（    ）。 A．买西红柿和黄瓜一共花了多少元？ B．买的西红柿比黄瓜重多少千克？ C．买黄瓜比买西红柿少花多少元？ D．每千克西红柿比每千克黄瓜贵多少元？ 【答案】C 【思路引导】妈妈买了a千克西红柿，每千克5元，即买西红柿需要5a元；又买了b千克黄瓜，每千克6元，即买黄瓜需要6b元，据此解答即可。 【规范解答】由分析可得：5a－6b表示买黄瓜比买西红柿少花多少元。 4．（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）按程序框图（如图）运算，并规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算。若x＝5，则运算进行______次才停止。 【答案】4 【思路引导】根据题意，每次运算算式都是3x−2，每判断一次是否大于244，大于244就结束运算，否则就用新得到的数作为x进行再次运算，直到大于244为止，据此作答即可。 【规范解答】初始x＝5 第1次运算：3×5－2＝13，13＜244，继续； 第2次运算：3×13－2＝37，37＜244，继续； 第3次运算：3×37－2＝109，109＜244，继续； 第4次运算：3×109－2＝325，325＞244，停止； 一共进行4次运算才停止。 5．（24-25六年级下·福建莆田·期末）“化繁为简、由易到难”是我们研究问题的基本思考方法。聪聪向一道思考题发起了挑战：n条直线两两相交，最多有几个交点？聪聪决定从研究最简单的开始研究： (1)数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 (2)推一推：当n（n为整数，且n≥2）条直线两两相交时，最多有( )个交点。（用含有n的式子表示） 【答案】(1) 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 10 (2) 【思路引导】（）通过观察表格中直线条数与交点个数的已知数据，发现交点个数是从开始的连续自然数之和。当直线条数为时，交点个数应为加到的和。 （）根据前几项的规律，推导第条直线增加时带来的新交点数量。每增加一条直线，为了得到最多交点，新直线需与之前所有直线相交，因此第条直线会增加个交点。总交点数为从累加到的和，再利用凑数方法得出含的式子。 【规范解答】（1） （2）第条直线没有交点； 第条直线与第条直线相交，增加个交点； 第条直线与前条直线相交，增加个交点； …… 第条直线与前条直线相交，增加个交点。 所以，条直线最多的交点总数为： 最多有个交点。（用含有n的式子表示） 6．（25-26六年级下·湖南邵阳·阶段检测）用两张完全一样的长方形纸片分别卷成两个圆柱，并装上两个底面，制成的圆柱体积一定相等。( ) 【答案】× 【思路引导】解题关键在于理解用长方形纸片卷成圆柱时，可以将长作为底面周长、宽作为高，也可以将宽作为底面周长、长作为高。圆柱的体积公式为，底面半径由底面周长决定。当长方形的长和宽不相等时，两种卷法得到的底面半径和高不同，且半径对体积的影响（平方关系）大于高对体积的影响（一次方关系），因此体积通常不相等。只有当长方形是正方形时，体积才相等。 【规范解答】用长方形纸片卷成圆柱，有两种卷法： 第一种：以长方形的长为底面周长，宽为高。 第二种：以长方形的宽为底面周长，长为高。 设长方形的长为，宽为，且和不相等； 若以长为底面周长，则底面半径 ，高，体积。 若以宽为底面周长，则底面半径，高，体积。 因为，所以，即。 故答案为：× 7．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）x2和2x的含义不一样，但是数值有时也会一样。( ) 【答案】√ 【思路引导】x2表示两个x相乘的积，2x表示两个x相加的和，据此解答。 【规范解答】由分析可得：x2和2x含义不同。但当x＝2时，x2＝2×2＝4，2x＝2×2＝4，它们的值相等。所以原题说法正确。 故答案为：√ 8．（2026·四川绵阳·小升初真题）观察下面关于立方求和的等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，… 由上述规律，我们可以猜测： (1)13＋23＋33＋43＋…＋103＝( )。（填最终结果） (2)13＋23＋33…＋( )3＝784。 (3)13＋23＋33＋43…＋n3＝( )。 【答案】(1)3025 (2)7 (3)（1＋2＋3＋4＋……＋n）2 【思路引导】（1）观察算式可发现规律：从1开始连续自然数的立方和等于这些自然数的和的平方。据此计算1＋2＋3＋……＋10的和的平方即可。 （2）先计算几的平方是784，再计算从1开始连续多少个自然数相加的和等于前一步的结果。 （3）根据（1）可知，结果等于从1到n自然数的和的平方，据此用首尾两两相加乘组数求和。 【规范解答】（1）13＋23＋33＋43＋…＋103 ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2 ＝[（1＋3）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10]2 ＝[10＋10＋10＋10＋5＋10] 2 ＝552 ＝55×55 ＝3025 （2）因为784＝28×28，所以13＋23＋33…＋（  ）3可写成（1＋2＋3＋……＋n）2＝282，即1＋2＋3＋……＋n＝28。 因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以n＝7，因此（1＋2＋3＋……＋7）2＝282，即13＋23＋33…＋73＝784。 （3）根据上述分析可知： 13＋23＋33＋43…＋n3＝（1＋2＋3＋4＋……＋n）2。 9．（25-26六年级下·山东滨州·期末）将一张正三角形的纸按下图形状折叠，展开后沿折痕剪开就剪出四个正三角形，我们把这称为第一次操作；再拿出其中一个正三角形，将它同样也剪成四个正三角形，我们称为第二次操作；再拿出其中一个正三角形，将它同样也剪成四个正三角形，我们称为第三次操作；…… (1)根据操作的情况把下表填完整。 操作的次数 最初 第一次 第二次 第三次 第四次 共有正三角形的个数 1 4 7 (2)如果这个操作可以一直继续下去，那么第m次操作后，一共有多少个正三角形？当第几次操作后，会一共剪出2026个正三角形？ 【答案】(1) 操作的次数 最初 第一次 第二次 第三次 第四次 共有正三角形的个数 1 4 7 10 13 (2)（）个； 675次； 【思路引导】观察已知的操作次数和对应正三角形总个数，发现每进行一次操作，正三角形总个数就增加3个，根据这个规律可以推导第次的总个数，再计算总个数为2026时对应的操作次数。 【规范解答】（1）7＋3＝10（个） 10＋3＝13（个） （2）由图可知没剪的时候，有一个正三角形；以后每操作一次就多出3个正三角形，所以第m次操作后，总的正三角形的个数为3m＋1。 当总个数为2026时，操作次数为：（2026−1）÷3＝2025÷3＝675（次） 答：如果这个操作可以一直继续下去，那么第m次操作后，一共有（）个正三角形。当第675次操作后，会一共剪出2026个正三角形。 10．（2026·重庆·小升初真题）如图图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的，且每个小正方形的边长是1，则第七个图形的周长是多少？ 【答案】42 【思路引导】从第二个开始，将每一个图形的周长都补成一个长方形，如图： 第一个图形的周长：（2＋1）×2； 第二个图形的周长：（4＋2）×2； 第三个图形的周长：（6＋3）×2，以这样的规律继续往后写到第七个是（14＋7）×2。 【规范解答】根据分析，第七个图形的周长是 （14＋7）×2 ＝21×2 ＝42 答：第七个图形的周长是42。 【能力提升】 1．（25-26六年级下·河南南阳·期末）用黑、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第10个图案中有（    ）块白色瓷砖。 A．42 B．40 C．84 D．60 【答案】A 【思路引导】由图可知，第1个图案中有6个白色瓷砖，6＝2＋4×1； 第2个图案中有10个白色瓷砖，10＝2＋4×2； 第3个图案中有14个白色瓷砖，14＝2＋4×3； ……； 由此得出规律，第n个图案中有（2＋4n）个白色瓷砖。 把n＝10代入表达式中算出结果即可。 【规范解答】分析可知，第n个图案中有（2＋4n）个白色瓷砖。 当n＝10时， 2＋4n ＝2＋4×10 ＝2＋40 ＝42 第10个图案中有42块白色瓷砖。 2．（25-26六年级下·广东阳江·期末）（a，b都大于0，且都不为0）。那么a、b的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路引导】可以用假设法来解决此题。如：假设，根据积÷因数＝另一个因数，分别计算出a和b，比较即可。 【规范解答】假设， ， ， 因为，所以。 3．（24-25六年级下·广东东莞·期末）用边长为2厘米的小正方形拼成一个大长方形，要求长是宽的3倍，且使用的小正方形数量在30到50之间，需要（    ）个小正方形。 A．36 B．40 C．48 D．54 【答案】C 【思路引导】设宽由个小正方形拼成，拼成的长方形长是宽的3倍，则长为个，总个数为：，说明所需小正方形总个数是3乘一个完全平方数，结合数量在30到50之间的条件筛选即可。 【规范解答】设宽由个小正方形拼成，则长为个，总个数为：要求，化简得，为整数，因此，。总个数：（个）。 4．（24-25六年级下·陕西汉中·期末）某市第二届校园科学教育荟活动隆重开幕，来自全市32所小学的科学教育“奇思妙想”展精彩亮相，如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想在操场串起来搭建32顶帐篷，那么需要( )根钢管。 【答案】358 【思路引导】根据题意可知，第几幅图就搭建了几顶帐篷，且每增加1顶帐篷就增加11根钢管（因为中间有6根钢管共用），则图1的钢管总数可表示为（6＋11）根，图2的钢管总数可表示为（6＋11×2）根，图3的钢管总数可表示为（6＋11×3）根）……，从而可知，搭建n顶帐篷所需的钢管总数为（6＋11n）根。据此解答。 【规范解答】6＋11×32 ＝6＋352 ＝358（根） 5．（25-26六年级下·河南焦作·期末）观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部分，其中a的值为( )，b的值为( )。 【答案】 40 49 【思路引导】先分析图①的数字规律：因为第m行第n列的数等于m×n，所以可依据该规律结合图②、图③的已知数确定它们在原表格的行、列位置。 求a的值：先根据图②中28和32的数值差，确定这两个数所在的列数，再确定35和a所在的行数，结合规律计算a。 求b的值：先根据图③中36和56的数值，分别确定它们对应的行和列，再定位b的行、列位置，结合规律计算b。 【规范解答】图②中，28和32在同一行，相邻两数差为32－28＝4，因此这一行是第4行；28＝4×7，说明28在第4行第7列，32在第4行第8列，则a在第5行第8列： a＝5×8＝40。 图③中：36在截取部分的第一行第一列，b在截取部分的第二行第二列，56在截取部分的第三行第二列。 设36在原图的第x行第y列，那么根据规律可得： x×y＝36，（x＋2）×（y＋1）＝56，我们把36的因数对列举出来尝试，发现当x＝6、y＝6时，刚好满足：6×6＝36，（6+2）×（6＋1）＝8×7＝56，完全符合条件。b在原图的第x＋1行第y＋1列，所以：b＝（6＋1）×（6＋1）＝7×7＝49。 6．（2022·湖南邵阳·小升初真题）五年级有学生m人，五年级比六年级少3人，两个年级共有学生2m－3人。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意可知，五年级有学生m人，五年级比六年级少3人，六年级人数＝五年级人数＋3；即（m＋3）人。再用五年级人数和六年级人数相加，即可解答。 【规范解答】m＋3＋m ＝（2m＋3）人 五年级有学生m人，五年级比六年级少3人，两个年级共有学生（2m＋3）人。 原题干说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】根据字母表示数以及含有字母的式子化简与求值的知识进行解答。 7．（25-26六年级上·河北唐山·期末）如下图，用小棒摆图形，摆第12个图形用了22根小棒。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】解答这道题的关键是根据前面的四个图形找出小棒的规律，可以把每个图形最左侧的小棒固定，会发现每增加一个三角形就要增加2根小棒，即第一个图形的小棒数量为： 1＋2；第二个图形小棒数量为：1＋2×2；第三个图形小棒数量为：1＋2×3；第四个图形小棒数量为：1＋2×4……，所以第n个图形需要（1＋2n）根小棒，据此解答。 【规范解答】根据分析： 第12个图形的小棒数量为： （根） 所以摆第12个图形用了25根小棒。 故答案为：× 【考点剖析】解答这道题的关键是利用图形的排列规律，确定每个图形小棒的数量为（1＋2n）根。 8．（2025·河北石家庄·小升初真题）简便运算。                           【答案】144；； 10000；1023 【思路引导】（1）分母相同分子相加，分子部分前两项都有144，把48×72也化成144×24的形式，再根据乘法分配律计算结果。 （2）分子相同，则要观察分母的规律：，，，…，，，，，…，，再利用乘法分配律计算结果。 （3）将19961997看作是19961996＋1，将19971997看作是19971996＋1，然后根据乘法分配律化简进行计算。 （4）观察数字规律可知，，，…，，后一个数都是前一个数的2倍，所以原式就是，逐项相加计算即可。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 【考点剖析】数字多且数值大，首先观察数字规律，再灵活运用所学定律进行简便运算。 9．（2026·江苏淮安·小升初真题）下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】(1) (2)210块 (3)（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【思路引导】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【规范解答】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 10．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）迎新年，甲、乙两个商场都在进行促销活动，甲商场按“每满120元减40元”的方式进行促销，乙商场按“全场七五折”的方式进行促销。 （1）有一件商品，在甲、乙两个商场都标价260元。在哪个商场购买该商品更便宜？便宜多少元？ （2）有一件商品，在甲、乙两个商场的标价相同，且标价低于1000元。按各自的促销方式计算，顾客在两个商场购买这件商品实际应付的钱数也相同。这件商品的标价最高是（    ）元。 【答案】（1）甲商场；15元 （2）320 【思路引导】（1）对于标价260元的商品，在甲商场按“每满120元减40元”计算满减次数：用260除以120列式求出满减次数，再用260减去次数乘40求出实际花费；在乙商场按“全场七五折”（75%），把260元看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，求出实际花费为。再把甲商场与乙商场的实际花费进行比较即可解答。 （2）设这件商品的标价里有n个120元，余下的钱数为y（0≤y＜120），根据顾客在两个商场购买这件商品实际应付的钱数相同，列方程为120n＋y－40n＝（120n＋y）×75%，化简得：y＝40n，根据y的取值范围求出n能取的值，再找出n的最大值，代入y＝40n求出y的值，再把y的值代入120n＋y解答即可。 【规范解答】（1）260÷120＝2（次）……20（元） 260－40×2 ＝260－80 ＝180（元） 260×75%＝195（元） 180元＜195元 195－180＝15（元） 答：在甲商场购买该商品更便宜，便宜15元。 （2）解：设这件商品的标价里有n个120元，余下的钱数为y（0≤y＜120）。 120n＋y－40n＝（120n＋y）×75% 80n＋y＝120n×0.75＋0.75y 80n＋y＝90n＋0.75y y－0.75y＝90n－80n 0.25y＝10n 4×0.25y＝4×10n y＝40n 因为0≤y＜120，所以n只能取1、2，当n＝2时标价120n＋y最大。 当n＝2时，y＝40×2＝80 120×2＋80 ＝240＋80 ＝320（元） 答：这件商品的标价最高是320元。 【考点剖析】求出260里有几个120、七五折的含义是解答第一题的关键；设出合适的未知数，求出各自优惠后的价格列出方程，再根据取值范围求出最大值是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 第三单元用字母表示（二） 『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+8个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练共46题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络.. 2 知识梳理温故知新· 3 知识点一代数式的基本书写格式.... 3 知识点二关于代数式的简单计算…… 知识点三用字母或含字母的式子表示数或数量关系… 知识点四用字母或含字母的式子表示运算律....4 知识点五用字母或含字母的式子表示倍数关系.……4 知识点六用字母或含字母的式子表示周长和面积关系… 知识点七五种新型题型其一：数形规律..…。 4 知识点八五种新型题型其二：定义新运算…4 第1页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 知识点九五种新型题型其三：材料定义..·… ...5 知识点十五种新型题型其四：程序框图...... .5 知识点十一五种新型题型其五：数列与算式规律探索…… 6 知识点十二含有字母的式子求值. 5 考点讲练真题汇总.. 5 高频考点一用字母表示数量关系(2个未知数) 高频考点二数与形（探索规律）·… 6 高频考点三利用等式的性质求未知数.... 高频考点四数与形（归纳递推)… 6 高频考点五含有字母式子的化简与求值.· 高频考点六用字母表示稍复杂的数量关系 高频考点七数表中的规律 高频考点八含有字母式子的化简与求值.…· 9 难点突破奥数拓展. 奥数拓展一数与形（探索规律).·. 奥数拓展二数与形（归纳递推） 10 奥数拓展三含有字母式子的化简与求值..· ...10 奥数拓展四用字母表示稍复杂的数量关系 11 奥数拓展五数表中的规律….。 11 优选真题实战演练... 12 【基础通关】..... 12 【能力提升】. ..14 第2页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引梳理脉络 ✉1=▣==■ 1用字母表示数量关系 2.探索规律 3,日历中的数量关系 (1)用字母表示加、减法的数量关系 (1)图形与数量的规律 (1)每个月的天数 和=a+b差=a-b 观察图形变化，找出数量关系，用字母表示 天数=星期×7+余数-余数<7) (2)用字母表示乘、除法的数量关系 (2)相邻日期的数量关系 积■a×b商■a+b倍数关系：几倍数=倍数基数 用 同一列上下相差 相邻列（同一行）相差1 (3)用含字母的式子表示数量关系 (2)数学规律的探素方法 (3)两数之间的关系 例：2023年10月10日是星期二 a的2倍：2a 比a多3：a+3 一画一填一填一找规律一用字母表示一验证一交流 相差n天：前一天加九，后一天减n 2023年10月 a与b的和：a+b a与b的差：a-b 10月20日是星期几？ (3)式子表示的规律 日一三三四五六 1234567 20-10=10(天) (4)用字母表示几何图形的个数和位置关系 如小棒摆三角形：1个三角形用3根小棒 10÷7=1(周)余3天 ·正方体和露在外面的面：程个小正方体，露在外面的面最少为 891011121314 摆背个需要2n+1根 量期二+3天=星期五 6,最多为5n+2 答：星期五 ·三角形、小棒摆法中的个数关系等 5.解决问题（应用字母表达解决实际问题 第三单元 4.花坛的周长 ①某商店草果每千克a元，买5千克需要多少钱？ (1)认识周长 ”元 用字母表示（二） 图形一周的长度就是周长 (2)圆形花坛 凤且 周长■2π7 :半径 用字母表示的好处 (3)正方形花坛 ⊙爱校有装球不个、足球比蓝球多5个 ①简明、准确地表达数量关系： 周长=4a a:边长 15(个) 餐：是球有x十15个 ⊙ ②设于计算和推理 (4)长方形花坛 ③发现规律，解决问题更高效。 周长=2(a+b)a:长，b:宽 国长方形绿场长am,宽6m,它的周长和面积 、用字母表示，就是让数学更简洁、更有力量」 紫周长2的民的 L,巩固练习（含答案） 1.用字母表示下面各数量关系 2.观察图形，按规律填式。 3.根据日历回答问恩。 4.计算下面图形的周长。（取3.14） 5.解决间题 (1)a与b的和 2023年11月 解12m2×3.14×5 本书每本元。买8本要多少钱 日一二三四五六 (1)2023年11月7日是星期二 ()=5m 答：a+b 合阳伦品 1234 14日是星期（二） (2)x的3倍减去5 第1个需要5根小，第2个需要8根小 5678901 (2》小明有x元，小红比小明多6元， (2)2023年11月21日是是期 解：4a=4×12=48(m 答：3x-5 第3个需要11根小棒… 12131415161718 30日是星期（四）， 答：周长是4移m (3)比y的2倍多6的数 世12网 (1)第m个需要(3班+2)根小棒。 19202122232425 (3)2023年11月有(30)天 答：2y+6 2627282930 b=8m20a+b)=2x5+ (3)正方形花玩边长为am,周长是多少米 (2)第10个需要(32)根小棒. =46《m】 =15 答：周长是46m ★学习小贴士：多用字母表示，勒于观察、归纳和验证，数学思维会更灵活，解决问题也会更轻松！ 知识梳理温故知新 R果888装装第装8四 知识点一代数式的基本书写格式 1.关于字母与字母相乘的书写 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：AXB可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写 需要写成平方或立方的形式，例如：BXB可写成B,BXBXB可写成B。 4.关于分数的书写 第3页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5.关于除法的书写 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a写作3，不要写成5÷a。 6.关于单位的书写 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加 减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a本书，他们一共买了(5+a)本。 知识点二关于代数式的简单计算 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变 知识点三用字母或含字母的式子表示数或数量关系 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子 知识点四用字母或含字母的式子表示运算律 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 知识点五用字母或含字母的式子表示倍数关系 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 知识点六用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方 法求解。 知识点七五种新型题型其一：数形规律 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 知识点八五种新型题型其二：定义新运算 1.定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2.解题方法 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入 算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 第4页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 3.注意事项 （1)定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：米、▲、。、◎等，它们并不表示实际意义。 (2)在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号 里的，再算中括号里的。 知识点九五种新型题型其三：材料定义 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 知识点十五种新型题型其四：程序框图 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 知识点十一五种新型题型其五：数列与算式规律探索 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 知识点十二含有字母的式子求值 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过 计算就可以求出含有字母的式子的值。 考点讲练真题汇总 高频考点一用字母表示数量关系(2个未知数) 【典例精讲】(25-26四年级下·山东德州·期末)无人机可用于航拍，还可以用于农业生产，一架新型 无人机每小时喷洒农药x亩，作业效率是人工的20倍以上，每亩的药量仅需800毫升。上午喷洒了3小时， 下午喷洒了t小时。 (1)用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药多少亩？ (2)如果x=66,t=5时，这架无人机一天喷洒农药多少亩？ 第5页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级下·上海徐汇·期末)一桶油连桶重m千克，用去一半油后，连桶还重n千 克，桶重多少千克？下列式子中错误的是( )。 A.m-2 (m-n)B.2n-m C.n-m÷2 D.n-(m-n) 高频考点二数与形（探索规律） 【典例精讲】(24-25六年级下·江西南昌·期末)如图，3个杯子叠起来高14厘米，5个杯子叠起来高 20厘米，照这样计算，10个杯子叠起来的高度是一一 厘米，n个杯子叠起来的高度是 厘米。 20cm 【变式训练】(25-26六年级下·广西贺州·期末)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数 学问题，他们画点或用小石子来表示数（如图的实心点），按照图中的规律，第5个图形有( )个 实心点，第n个图形有( )个实心点。 高频考点三利用等式的性质求未知数 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁营口·期末) ∫0+0+△=24 △+△+△+0+0=32 O=( ),△=( )。 【变式训练】(24-25五年级下·江苏南京·期末)已知a十b十c=27,2a十c=26,a一b十c=9,那么a =_-一b=-,c= 高频考点四数与形（归纳递推） 【典例精讲】(25-26六年级下·河南平顶山·期末)数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图 形转化成规则图形。观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 1×3+1=22 2×4+1=32 3x5+1=42 04040 根据发现的规律填空： (1)4×6+1=( ),6×8+1=( )。 第6页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 (2)( )×( ）+1=100。 【变式训练】(25-26六年级下·浙江台州·期末)如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体 框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒…照这样搭下去，搭6个正方体框架用()根小 棒，搭n个正方体框架用( )根小棒。 高频考点五含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】25-26四年级下·山东德州·期末)实验室有一个弹簧测力计，原长为12厘米，最大称重10 千克，且每增加1千克，弹簧会伸长2厘米。 (1)用含字母的式子表示当物体质量为n千克时(n小于或等于10)，弹簧测力计的长度。 (2)如果物体质量是5千克，那么弹簧测力计的长度是多少厘米？ 【变式训练】(25-26五年级下·山西临汾·期末)一堆货物有a吨，运走4次后还剩b吨，表示平均每 次运走吨数的式子是()；当a=50,b=8时，平均每次运走( )吨。 高频考点六用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】(25-26六年级下·陕西咸阳·期末)如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中涂色部分拼成的一个长方形。 b图1 图2 (1)请分别表示出这两个图形中涂色部分的面积： 0 (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？ 第7页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级下·山东青岛·期末)下面的点阵图是按照一定规律排列的。 ● ● ● ● ● ● ●0 ●●●●● ●●●●●●● ● ● ① ② ③ ④ 年年中事年。 点阵图 ① ② ③ ④ 雨专 回 点的数量 1 5 9 (1)根据点阵图的排列规律，完成上表。 (2)第( )个点阵图中有33个点。 高频考点七数表中的规律 m 【典例精讲】(25-26六年级下·浙江台州·期末)如下图，某次框出的4个数的图形是 ,用式 子表示m左边的数是( );当m=32时，m下面的数是( ）。 12 34 5 6 7 8 9 1011 12 13 1516 171819 20 21 22 23 24 25 2627 …… … 【变式训练】(2026·湖南长沙·小升初真题)如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”形框中的 7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月的这7个数的和可能是( )。 六 日 6 8 9 10 12 13 14 15 16 17 8 19 20 21 22 23 24 25 26 27 282930 31 A.106 B.98 C.84 D.78 第8页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点八含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(24-25六年级下·陕西西安·期末)按如图所示的方法摆放桌子和椅子，已知一张桌子可 以坐8人，2张桌子可以坐12人，3张桌子可以坐16人，那么7张桌子可以坐 人：如果坐100人， 需要 张桌子。 oo oo O00000 8引 8 8 OO OO OO OO OO 【变式训练】(24-25六年级下·江苏盐城·期末)如图①~图③所示，计算如2-1、3-2、4-3…算 式的结果，可采用“数形结合”的方法解决。以图①计算2一1的过程为例，先构造两个边长分别为1和2 的正方形，算式2一1的结果即可转化为涂色长方形的面积。再把这个构造与转化过程用算式表示并算出结 果： 2-1=(2+1)×(2-1)=3。 (1)先观察图②和图③的构造与转化过程，再用算式表示并算出结果。 32-2=( 42-3=( )。 (2若将如上算式用字母式概括表示为(n+1)2-n',那么(n十1)2-n=( )。 图① 图② 图③ 难点突破奥数拓展 奥数拓展一数与形（探索规律）》 【典例精讲】(25-26六年级下·北京顺义·期末)观察下列图形变化的规律，第6个图形中黑色正方形 第9页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 的数量共有( )个，第2026个图形中黑色正方形的数量共有( )个。 图1图2 图3 图4 图5 【变式训练】(25-26四年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)下面图形中各有多少个三角形？有什么规律吗？ 把你思考的过程和发现的规律写下来。 奥数拓展二数与形（归纳递推） 【典例精讲】(2024·山东青岛·小升初真题)在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作： 再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在 第二操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，第4次操作就在第三次操作基上，每相邻两个 数之间写上这两个数之和的片经过4次操作后所有数的和是 【变式训川练】如图，摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要() 根小棒，照这样下去，26根小棒可以摆( )个六边形。 奥数拓展三含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(24-25六年级下·广东东莞·期末)用边长为2厘米的小正方形拼成一个大长方形，要求 长是宽的3倍，且使用的小正方形数量在30到50之间，需要( )个小正方形。 A.36 B.40 C.48 D.54 【变式训练】(2026·重庆·小升初真题)甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的转，乙 带的钱数是丙的，丁比甲多带3元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人30多元，则乙带了() 元。 第10页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展四用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】(24-25六年级下陕西西安开学考试)阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘：a·a·a…a·a, n个 记为a”,如：2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28,(即1og28=3)。 (1)计算：l0g39=；10g381=_；l0g3729=一。 (2)观察(1)中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出1og39,log381,log3729之间的关系式 (3)由(2)的结果，请你归纳出一个一般性的结果：logaM+logaN= (a>0且a≠1，M>0, N>0)。 (4)根据上述结论解决下列问题： 己知loga2=0.3,求loga4和log8的值（a>0且a≠1)。 【变式训练】(23-24六年级上·广东深圳·期中)推导圆的面积公式有很多种方法。淘气把一个圆平均 分成16份，得到16个完全一样的扇形，再把这些小扇形拼成一个近似的三角形（如图）。请你结合以上 思路，写出圆面积公式的推导过程。 奥数拓展五数表中的规律 【典例精讲】(25-26六年级下·江苏南通·期末)用 在下边数表中任意框出3个数，框 出的3个数的和不可能是( ）)。 1 234 5 6 7 8910 11121314 151617181920 2122 2324 2526272829 30 31 323334 3536373839 40 41424344454647484950 A.42 B.51 C.111 D.64 第11页共16页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级下·河南焦作·期末)观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中 截取的一部分，其中a的值为( ),b的值为()。 8 6 36 81216 28 32 b 35 a 56 ① ② ③ 昌优选真题实战演练 【基础通关】 1.(24-25六年级下·广东茂名·期末)下列选项中，能用3a十1表示的是( 1a 3 A.这条线段的长度：L B.这个长方形的面积： a+1 C.组成a个正方形的小棒根数： D.第a个数的大小：2,5,8,11，… 2.(2025浙江温州·小升初模拟)如果每天生产零件m个，生产20天后还剩下n个，这批零件有( 个。 A.20m+n B.20m-n C.m÷20+n D.m÷20-n 3.(24-25六年级下·江苏苏州·期末)妈妈买了a千克西红柿，每千克5元；又买了b千克黄瓜，每千 克6元。那么5a-6b表示( )。 A.买西红柿和黄瓜一共花了多少元？B.买的西红柿比黄瓜重多少千克？ C.买黄瓜比买西红柿少花多少元？ D.每千克西红柿比每千克黄瓜贵多少元？ 4.(25-26六年级下·陕西咸阳·期末)按程序框图（如图）运算，并规定：程序运行到“判断结果是否 大于244”为1次运算。若x=5,则运算进行次才停止。 第12页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 输人 乘以3 减去2 大于244 YES STOP NO 5.(24-25六年级下·福建莆田·期末)“化繁为简、由易到难”是我们研究问题的基本思考方法。聪聪 向一道思考题发起了挑战：条直线两两相交，最多有几个交点？聪聪决定从研究最简单的开始研究： (1)数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 (2)推一推：当n(n为整数，且n≥2)条直线两两相交时，最多有( )个交点。（用含有n的式子表 示) 6.(25-26六年级下·湖南邵阳·阶段检测)用两张完全一样的长方形纸片分别卷成两个圆柱，并装上两 个底面，制成的圆柱体积一定相等。()（判断对错） 7.(24-25五年级上·河南洛阳·期末)x和2x的含义不一样，但是数值有时也会一样。( )(判 断对错) 8.(2026·四川绵阳·小升初真题)观察下面关于立方求和的等式：13+23=(1十2)，13+2+3=(1 +2+3)3,13+23+33+4=(1+2+3+4)3,… 由上述规律，我们可以猜测： (1)13+2+33+43+…+103=( )。(填最终结果) (2)13+23+33.…+( )3=784。 (3)13+23+33+4.…+n3=( 9.(25-26六年级下·山东滨州·期末)将一张正三角形的纸按下图形状折叠，展开后沿折痕剪开就剪出 四个正三角形，我们把这称为第一次操作：再拿出其中一个正三角形，将它同样也剪成四个正三角形，我 们称为第二次操作；再拿出其中一个正三角形，将它同样也剪成四个正三角形，我们称为第三次操作；… 第一次 第二次 (1)根据操作的情况把下表填完整。 第13页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 操作的次数 最初 第一次 第二次 第三次 第四次 共有正三角形的个数 1 4 (2)如果这个操作可以一直继续下去，那么第m次操作后，一共有多少个正三角形？当第几次操作后，会一 共剪出2026个正三角形？ 10.(2026·重庆·小升初真题)如图图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的，且每个小正 方形的边长是1，则第七个图形的周长是多少？ 第1个 第2个 第3个 【能力提升】 1.(25-26六年级下·河南南阳·期末)用黑、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下 去，第10个图案中有( )块白色瓷砖。 88888- 第1个第2个 第3个 A.42 B.40 C.84 D.60 2.(25-26六年级下·广东阳江·期末)a×2=b×3(a,b都大于0，且都不为0)。那么a、b的大小 关系是( )。 A.a>b B.b>a C.a=b D.无法确定 3.(24-25六年级下·广东东莞·期末)用边长为2厘米的小正方形拼成一个大长方形，要求长是宽的3 倍，且使用的小正方形数量在30到50之间，需要( )个小正方形。 A.36 B.40 C.48 D.54 4.(24-25六年级下·陕西汉中·期末)某市第二届校园科学教育荟活动隆重开幕，来自全市32所小学的 科学教育“奇思妙想”展精彩亮相，如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3 第14页共16页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 的方式串起来搭建。如果想在操场串起来搭建32顶帐篷，那么需要( )根钢管。 图1 图2 图3 5.(25-26六年级下·河南焦作·期末)观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部 分，其中a的值为( ),b的值为()。 6 8 6 9 0y 36 81216 28 32 b 35 a 56 ① ② ③ 6.(2022·湖南邵阳·小升初真题)五年级有学生m人，五年级比六年级少3人，两个年级共有学生2m -3人。( )(判断对错) 7.(25-26六年级上·河北唐山·期末)如下图，用小棒摆图形，摆第12个图形用了22根小棒。（) (判断对错) △7SS2S7… ①② ③ ④ 8.(2025·河北石家庄·小升初真题)简便运算。 39×瑞+144×路+48×品 +++品++由 19961997×19971996-19961996×19971997 1+2+4+8+16+·+256+512 第15页共16页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 9.(2026·江苏准安·小升初真题)下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1) (2) (3) (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为(1+2十3十十n),请算出20 个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 10.（24-25六年级上·江苏扬州·期末)迎新年，甲、乙两个商场都在进行促销活动，甲商场按“每满 120元减40元”的方式进行促销，乙商场按“全场七五折”的方式进行促销。 (1)有一件商品，在甲、乙两个商场都标价260元。在哪个商场购买该商品更便宜？便宜多少元？ (2)有一件商品，在甲、乙两个商场的标价相同，且标价低于1000元。按各自的促销方式计算，顾客在 两个商场购买这件商品实际应付的钱数也相同。这件商品的标价最高是( )元。 第16页共16页