专题7：确定位置（思维拓展）北师大版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题7：确定位置 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：用方向与距离确定位置 3 考点二：行走路线的描述与应用 5 考点三：观测点变化与相对位置 7 考点四：确定位置综合应用 8 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：方向基准混淆 9 易错点 2：观测点不更新 10 易错点 3：相对位置方向只换一半 10 易错点 4：比例尺单位换算错误 10 易错点 5：平均速度用速度平均 10 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 11 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版六年级上册第六单元《确定位置》核心内容，以“方位建构→路线描述→观测转换→综合推理”为主线，系统覆盖方向与距离双要素定位、行走路线的分段描述、观测点变化与相对位置、方位综合应用与推理四大核心模块，渗透空间观念、对应思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从用方向和距离确定物体位置入手，掌握方位角的描述规范，理解“方向 + 距离”缺一不可的定位要素；能按顺序描述简单的行走路线，掌握每段观测点的递换方法；探索观测点变化对位置描述的影响，掌握相对位置的规律；能运用方位知识解决路线规划、位置推理等实际问题；延伸方位角换算、多目标定位、路线还原、方位与行程结合等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何”领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，发展空间方位观念与几何推理能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 方向与距离定位 方位角规范；双要素定位；比例尺换算；角度测量 方位角法、比例换算法 北偏东 / 东偏北混淆；角度基准轴选错 行走路线描述 分段定位；观测点递换；往返路线 分段描述法、观测递推法 每段观测点不更新；往返方向只换一半 观测点变化与相对位置 相对位置规律；方向相反角度等；距离不变 对称法、反向法 方向只换南北不换东西；角度随观测点改变 方位综合与推理 多目标定位；路线还原；方位与行程结合 逆推法、几何分析法 多目标观测点混乱；逆推方向搞反 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 方位距离法 单点定位 ①定观测点；②量偏角；③算距离 定中心，画坐标，北起量，标距离 分段路线法 路线描述 ①分段标观测点；②定每段方位距离；③连序说全程 分段走，逐段说，观测点，随时换 相对位置法 两地相对位置 ①换观测点；②方向反角度同；③距离不变 你看我，我看你，方向反，角度同，距离等 逆推还原法 路线还原问题 ①从终点出发；②反向走同距离；③倒推起点 倒着走，反向行，距离同，回原点 方位角换算法 方向表述转换 ①找基准轴；②算余角；③换表述 北偏 n，东偏 90 减 n，角度和为 90 三、数学思维提升 1. 空间观念 核心要点：感知物体的方位、距离与相对位置关系，想象路线与方位转换，发展空间想象与几何直观能力。 专题示例：想象观测点互换后的位置方向、想象行走路线的终点位置，就是空间观念的体现。 2. 对应思想 核心要点：方向与角度一一对应，位置与距离一一对应，观测点与方位描述一一对应，培养对应思维与精准匹配能力。 专题示例：北偏东对应偏离正北的角度，距离对应实际长度，就是对应思想的应用。 3. 推理思想 核心要点：根据已知方位推理相对位置，根据部分路线推理全程，根据终点还原起点，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据一个方向推出相反方向、根据往返路程推理总路程，就是推理思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用确定位置的知识解决生活中的导航、路线规划、测绘、队列等实际问题，体会方位知识的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：描述上学路线、规划景区游览路线、确定场馆位置，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：用方向与距离确定位置 能力进阶（★★★）—— 比例尺与定位要素 题目：在比例尺是 1:50000 的平面图上，量得地铁站在小区北偏东 35° 方向，图上距离是 2.4 厘米。请描述地铁站的实际位置。 解题步骤： ① 确定位置的两个核心要素是方向和距离。本题中观测点是小区，方向为北偏东 35°。 ② 计算实际距离：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 厘米 = 1200 米 ③ 完整描述：地铁站在小区的北偏东 35° 方向 1200 米处。 验证：1200 米 = 120000 厘米，图上距离厘米，与题目条件一致。 【答案】地铁站在小区北偏东 35° 方向 1200 米处。 【知识点睛】本题考查用方向和距离确定位置的基本方法，对应教材核心重难点。 核心结论：确定物体位置需要方向（角度）和距离两个要素，缺一不可。 方向规范：通常以南北方向为主基准，表述为“北偏东 / 西”“南偏东 / 西”，角度是偏离南北方向的度数；北偏东 n° = 东偏北 (90−n)°。 单位换算：计算实际距离时，注意厘米与米 / 千米的单位转换，1 米 = 100 厘米。 易错警示：把方向说成“东偏北 35°”，忽略以南北为基准的常规表述；单位换算时漏算 0 的个数。 思维拓展（★★★★）—— 方位角偏差辨析 题目：小明描述图书馆的位置时，误将“北偏东 40°”说成了“东偏北 40°”。按照他的描述，找到的位置和实际位置相比，偏差了多少度？ 解题步骤： ① 先明确两种描述的实际方向： 北偏东 40°：以正北方向为起始边，向东旋转 40°，距离正东方向还有。 东偏北 40°：以正东方向为起始边，向北旋转 40°，距离正北方向还有。 ② 两个方向之间的夹角：。 ③ 结论：两种描述的方向偏差了 10°，找到的位置会偏离实际位置。 验证：画图可知，北偏东 40° 更靠近正北，东偏北 40° 更靠近正东，两个方向夹角为 10°，符合计算结果。 【答案】偏差了 10°。 【知识点睛】本题是方位角的经典奥数易错题，考查方向描述的基准与角度换算。 核心规律： · 标准表述以南北为基准，先说北 / 南，再说偏东 / 西； · 北偏东 n° = 东偏北 (90−n)°，南偏西 n° = 西偏南 (90−n)°； · 只有当 n=45° 时，北偏东 45° 和东偏北 45° 是同一个方向（东北方向）。 易错警示：认为“北偏东 40°”和“东偏北 40°”是同一个方向，忽略基准轴的不同。 考点二：行走路线的描述与应用 能力进阶（★★★）—— 往返路线描述 题目：从学校出发，向东走 400 米到达书店，再向北偏东 25° 方向走 600 米到达公园。请描述从公园返回学校的路线。 解题步骤： ① 往返路线的规律：原路返回时，每一段的方向相反，距离不变，观测点随路线逐段递换。 ② 第一段：从公园出发，返回书店。方向与“北偏东 25°”相反，即南偏西 25°，距离还是 600 米。 ③ 第二段：从书店出发，返回学校。方向与“向东”相反，即向西，距离 400 米。 完整描述：从公园出发，向南偏西 25° 方向走 600 米到达书店，再向西走 400 米回到学校。 验证：两段方向均相反，距离均相等，符合往返路线的特征。 【答案】从公园出发，向南偏西 25° 方向走 600 米到书店，再向西走 400 米回到学校。 【知识点睛】本题考查行走路线的描述与往返转换，对应教材重难点。 核心方法：描述路线要按行走顺序，每一段都要明确观测点、方向、距离三个要素；每到一个新地点，观测点就更新为当前地点。 往返规律：原路返回时，每段方向相反、距离相等；观测点顺序颠倒。 易错警示：返回路线只把方向改成相反，忘记观测点也随之改变；或者距离随方向改变。 思维拓展（★★★★）—— 路线与平均速度 题目：小华从家去图书馆，先向北偏东 30° 方向走 1200 米，再向东走 800 米到达，去时用了 40 分钟。原路返回时速度比去时每分钟慢 10 米，求往返的平均速度。 解题步骤： ① 先计算单程总路程：（米） 往返总路程：（米） ② 去时速度：（米 / 分） 返回速度：（米 / 分） 返回时间：（分钟） ③ 往返总时间：（分钟） 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间：（米 / 分） 验证：平均速度不是速度的平均值，必须用总路程除以总时间，结果符合行程问题规律。 【答案】往返的平均速度约是 44.4 米 / 分。 【知识点睛】本题是确定位置与行程问题结合的奥数题型，考查路线长度与平均速度的计算。 核心公式：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 ≠ 速度的平均数。 解题关键：先分别算出往返的路程和时间，再用总路程除以总时间；往返路程相同，方向相反。 易错警示：直接用计算平均速度，忽略路程与时间的对应关系。 考点三：观测点变化与相对位置 能力进阶（★★★）—— 观测点互换 题目：以汽车站为观测点，火车站在北偏西 25° 方向 1500 米处。如果以火车站为观测点，汽车站在什么方向多少米处？ 解题步骤： ① 两个地点互为观测点时，位置描述符合相对位置规律：方向相反，角度相等，距离不变。 ② 北偏西的相反方向是南偏东，角度 25° 不变，距离 1500 米不变。 ③ 结论：汽车站在火车站的南偏东 25° 方向 1500 米处。 验证：画图可知，两点连线，观测点互换后，方向关于连线对称，角度和距离都不变，符合规律。 【答案】汽车站在火车站南偏东 25° 方向 1500 米处。 【知识点睛】本题考查观测点变化的基本规律，对应教材拓展重难点。 核心规律：两个物体的相对位置，方向相反、角度相等、距离不变。 方向对应：北↔南，东↔西；北偏东↔南偏西，北偏西↔南偏东。 易错警示：只改变南北方向，不改变东西方向，比如误说成“北偏东”。 思维拓展（★★★★）—— 三点相对位置推理 题目：甲、乙、丙三个地点，乙在甲的北偏东 40° 方向 600 米处，丙在乙的正南方向 400 米处。丙在甲的什么方向？丙和甲大约相距多少米？ 解题步骤： ① 先分析方位关系：乙在甲北偏东 40°，丙在乙正南 400 米，说明丙在甲的北侧偏东方向，且南北方向距离为。 ② 简化分析：乙在甲的东北侧，丙在乙的正南方，所以丙相对于甲，还是北偏东方向，且偏东的角度比 40° 更大。 通过距离估算：南北方向甲到丙的垂直距离约为米； 东西方向距离约为米； 因此丙在甲的东偏北约 10°（或北偏东约 80°）方向，直线距离约 390 米。 ③ 结论：丙在甲的北偏东约 80° 方向，大约相距 390 米。 验证：通过坐标法验证，设甲为原点，乙的坐标约为 (384,462)，丙的坐标约为 (384,62)，符合北偏东的结论。 【答案】丙在甲的北偏东约 80° 方向，大约相距 390 米。 【知识点睛】本题是多观测点方位推理的奥数题型，考查三点位置关系的空间推理。 解题方法：先确定每个点的相对方位，分解为南北、东西两个方向的分量，再综合判断方向和距离。 拓展技巧：涉及方位的推理，可以转化为坐标或分量分析，化斜为直更清晰。 易错警示：直接根据乙的位置判断丙的方向，忽略丙在乙正南带来的南北距离变化。 考点四：确定位置综合应用 能力进阶（★★★）—— 路线图画法 题目：根据描述画出从学校到少年宫的路线图：从学校出发，向北偏西 40° 走 200 米，再向西走 150 米到达少年宫。 解题步骤： ① 确定起点为学校，画出方向标（上北下南、左西右东），设定比例尺，比如 1 厘米代表 50 米。 ② 从学校出发，用量角器量出北偏西 40° 角，沿该方向画 4 厘米长的线段，标注中途点。 ③ 从中途点出发，向西画 3 厘米长的线段，终点标注少年宫。 验证：每段长度符合比例尺，方向符合描述，路线完整。 【答案】画图步骤见解析。 【知识点睛】本题考查路线图的绘制方法，对应综合实践要求。 画图步骤：定起点→画方向标→定比例尺→逐段画→标名称。 注意事项：角度要以南北 / 东西轴为基准测量；线段长度按比例尺换算；每段终点标注名称。 易错警示：量角度时 0 刻度线对准错误的基准轴；长度不按比例尺换算。 思维拓展（★★★★）—— 正方形方位规律 题目：正方形操场的四个顶点分别为 A、B、C、D，A 在西北角，B 在东北角，C 在东南角，D 在西南角。小明沿对角线从 A 点走到 C 点。那么 B 点在 C 点的什么方向？ 解题步骤： ① A 在西北、C 在东南，对角线 AC 是西北—东南方向。 ② B 在东北角，和东南角 C 在同一条东侧边上，B 位于 C 的正上方。 ③ 以 C 为观测点，按照上北下南，B 位于 C 的正北方向。 验证：B、C 在同一条竖边上，横坐标相同，B 更靠北，所以是正北，不是西北或东北方向。 【答案】B 点在 C 点的正北方向。 【知识点睛】本题是特殊方位的奥数拓展题型，考查正方形中的方位规律。核心规律：正方形中相对的顶点在对角线上，相邻顶点在正东、正西、正南、正北方向上。解题技巧：先判断两点是否在同一条横边或竖边上，在同一条竖边上即为正南、正北关系。易错警示：一看到对角线就误判为西北、东北方向，混淆观测点。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：方向基准混淆 错误示例：北偏东 30° 和东偏北 30° 是同一个方向。 正确分析：北偏东 30° 更靠近正北，东偏北 30° 更靠近正东，两者相差 30°；只有 45° 时两种表述方向相同。 修正方法：常规以南北为基准，先说北 / 南，再说偏东 / 西。 易错点 2：观测点不更新 错误示例：从学校到书店再到公园，描述第二段路线时，观测点还是学校。 正确分析：每到一个新地点，观测点就更新为当前地点，第二段路线的观测点是书店。 修正方法：走一段，换一个观测点，逐段描述。 易错点 3：相对位置方向只换一半 错误示例：甲在乙的南偏东 50°，乙就在甲的北偏东 50°。 正确分析：方向要完全相反，南↔北，东↔西，正确的是北偏西 50°。 修正方法：南北互换，东西互换，角度不变。 易错点 4：比例尺单位换算错误 错误示例：比例尺 1:1000，图上 2 厘米，实际 2000 米。 正确分析：2×1000=2000 厘米 = 20 米，单位是厘米，要换算成米。 修正方法：图上距离乘比例尺分母得到厘米，再除以 100 换成米。 易错点 5：平均速度用速度平均 错误示例：去时速度 50 米 / 分，回时 30 米 / 分，平均速度 40 米 / 分。 正确分析：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不是速度的平均数。 修正方法：先算总路程、总时间，再相除。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 确定物体位置的两个基本要素是（ ）和（ ）。 2. 北偏东 30° 也可以表述为东偏北（ ）°。 3. 小明在小红的南偏西 50° 方向 80 米处，小红在小明的（ ）偏（ ）（ ）° 方向（ ）米处。 4. 图上 1 厘米代表实际 60 米，3 厘米代表实际（ ）米。 5. 从家出发向东走 300 米到超市，再向北走 200 米到学校；从学校返回家，先向（ ）走（ ）米到超市，再向（ ）走（ ）米到家。 6. 以广场为观测点，医院在北偏西 20° 方向，也可以说医院在广场的（ ）偏（ ）70° 方向。 7. 描述方位时，通常以（ ）和（ ）方向为主要基准。 8. 小华从家到学校走了 12 分钟，速度是 60 米 / 分，原路返回用了 9 分钟，返回速度是（ ）米 / 分。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小明从家出发，先向北走 60 米，再向东走 80 米，这时他在家的什么方向？直线距离大约是多少米？ 10. 三个地点中，A 在 B 的北偏东 40°，C 在 B 的南偏东 50°，∠ABC 是多少度？ 11. 小明在小红的北偏东 30° 方向 100 米处，小刚在小红的南偏西 30° 方向 150 米处，小明在小刚的什么方向多少米处？ 12. 小明从起点出发，先向东走 50 米，再向北走 50 米，再向西走 50 米，再向南走 50 米，这时他离起点多少米？ 13. 一根绳子对折后，沿北偏东 45° 方向摆放，每段长 6 米。这根绳子拉直后，最长可以覆盖多少米的距离？ 14. 甲在乙的北偏东 25° 方向，乙在丙的北偏东 25° 方向，甲在丙的什么方向？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】方向（角度）；距离 解题步骤： ① 确定位置需要方向和距离两个要素，缺一不可。 【知识点睛】考查定位的基本要素。核心：方向 + 距离双要素。易错警示：只写一个。 2. 【答案】60 解题步骤： ① ，北偏东 30°= 东偏北 60°。 【知识点睛】考查方位角换算。核心：角度和为 90°。易错警示：30。 3. 【答案】北；东；50；80 解题步骤： ① 相对位置方向相反、角度相等、距离不变；南偏西相反是北偏东。 【知识点睛】考查相对位置规律。核心：方向反，角度等，距离同。易错警示：北偏西。 4. 【答案】180 解题步骤： ① 米。 【知识点睛】考查比例尺换算。核心：图上份数 × 每份距离。易错警示：60。 5. 【答案】南；200；西；300 解题步骤： ① 返回方向相反，北反方向是南，东反方向是西，距离不变。 【知识点睛】考查往返路线。核心：方向反，距离同。易错警示：北、东。 6. 【答案】西；北 解题步骤： ① 北偏西 20°，偏离西，即西偏北 70°。 【知识点睛】考查方位角转换。核心：北偏 n = 西偏 90-n。易错警示：南、东。 7. 【答案】正北；正南 解题步骤： ① 方位描述通常以南北为基准。 【知识点睛】考查方位基准。核心：南北为主，东西为辅。易错警示：正东、正西。 8. 【答案】80 解题步骤： ① 总路程：米；返回速度：米 / 分。 【知识点睛】考查往返速度。核心：路程不变，速度 = 路程 ÷ 时间。易错警示：45。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】北偏东约 53° 方向，大约 100 米。 解题步骤： ① 向北 60 米，向东 80 米，构成直角三角形，斜边 100 米； ② 东向距离更长，所以是北偏东约 53°（或东偏北约 37°）。 【知识点睛】考查方位与距离估算。核心：分解为东西南北分量。易错警示：正东方向。 10. 【答案】90°。 解题步骤： ① A 在 B 北偏东 40°，C 在 B 南偏东 50°，两个角度在 B 点的东侧相加：。 【知识点睛】考查三点方位角计算。核心：同侧角度相加。易错警示：180°。 11. 【答案】北偏东 30° 方向 250 米处。 解题步骤： ① 小明和小刚在小红的相反方向上，同一条直线； ② 小明在小刚的北偏东 30° 方向，距离米。 【知识点睛】考查同一直线相对位置。核心：反向共线，距离相加。易错警示：50 米。 12. 【答案】0 米（回到起点）。 解题步骤： ① 向东 50 米和向西 50 米抵消，向北 50 米和向南 50 米抵消，回到起点。 【知识点睛】考查路线还原。核心：相反方向距离相等则抵消。易错警示：100 米。 13. 【答案】最长 12 米。 解题步骤： ① 对折后沿 45° 摆放，拉直后最长是沿同一直线，长度米。 【知识点睛】考查方位与长度。核心：拉直共线最长。易错警示：6 米。 14. 【答案】北偏东 25° 方向。 解题步骤： ① 甲、乙、丙在同一条北偏东 25° 的直线上，甲在最北侧，所以甲在丙的北偏东 25° 方向。 【知识点睛】考查共线方位推理。核心：同方向共线，方位不变。易错警示：北偏东 50°。 1 学科网（北京）股份有限公司 $