专题11：数据的表示和分析 (三)（思维拓展）北师大版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 11：第九单元 数据的表示和分析（三） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：三种统计图的特征与辨析 3 考点二：统计图的合理选择 4 考点三：数据分段整理与分析 6 考点四：统计决策与综合应用 7 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：混淆三种统计图的作用 10 易错点 2：扇形统计图量率不对应 10 易错点 3：分段统计边界重复 10 易错点 4：折线图只看趋势不看数值 10 易错点 5：统计决策片面化 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 11 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 11 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版六年级上册第九单元《数据的表示和分析（三）》核心内容，以“特征辨析→选择应用→整理分析→决策推理”为主线，系统覆盖三种统计图的特征与辨析、统计图的合理选择、数据分段整理与分析、统计决策与综合推理四大核心模块，渗透数据分析观念、推理思想、优化思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从认识条形、折线、扇形三种统计图的特征入手，掌握各自的优势与适用场景；能根据统计目的选择合适的统计图呈现数据；学会对数据进行分段整理，读懂分段统计表并进行计算分析；结合多维度统计数据进行推理、预测与决策；延伸扇形量率对应、双统计图综合、分段极值推理、统计优化方案等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“统计与概率”领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升数据分析与决策能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 三种统计图特征辨析 条形、折线、扇形的特点；各统计图的优势；形式区别 特征对比法、场景对应法 混淆折线与条形的作用；扇形统计图带单位 统计图的合理选择 根据统计目的选图；不同统计图的适用场景 需求匹配法 为了美观随意选图；忽略统计目的 数据分段整理与分析 分段统计表；分段数据计算；分段极值推断 分段统计法、区间法 分段边界重复或遗漏；数据对应错误 统计决策与综合推理 双统计图综合；数据趋势预测；最优决策 综合分析法、推理法 只看单一数据；决策片面化 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 特征对应法 统计图辨析 ①看统计目的；②找对应特征；③选统计图 条形比多少，折线看变化，扇形表占比 量率对应法 扇形统计图计算 ①找单位“1”；②量率对应；③求总量 / 部分 扇形表占比，对应量除以率 分段统计法 数据分段整理 ①定分段标准；②划记各段数；③算合计 分好段，不重不漏，逐个计 双图综合法 综合统计分析 ①读各图信息；②找关联量；③综合求解 先读单图，再找关联，综合推 趋势推理法 数据预测与决策 ①看变化趋势；②算增减幅度；③推结果 升增降减，顺势推断 三、数学思维提升 1. 数据分析观念 核心要点：收集、整理、描述、分析数据，从数据中提取信息、做出判断，培养数据分析意识与统计思维。 专题示例：根据扇形统计图分析各部分占比、根据折线图分析销量变化，就是数据分析观念的体现。 2. 推理思想 核心要点：根据部分数据推理整体情况，根据现有趋势预测未来变化，根据分段数据推断整体统计量，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据扇形的部分量推算总量、根据折线趋势预测后续数据、根据分段统计估算平均分，就是推理思想的应用。 3. 优化思想 核心要点：根据统计数据选择最优方案，优化决策结果，培养优化意识与决策能力。 专题示例：根据销量统计选择最优进货方案、根据成本统计选择最优搭配，就是优化思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用统计知识解决生活中的调研、决策、预测等实际问题，体会统计的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：班级身高统计、商场销量分析、出行方式调查，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：三种统计图的特征与辨析 能力进阶（★★★★）—— 统计图特征与场景匹配 题目：下面三个统计场景，分别适合用哪种统计图？请说明理由。 （1）统计学校各年级的人数多少； （2）统计小明近 6 个月的身高变化情况； （3）统计班级学生各种出行方式占总人数的百分比。 解题步骤： ① 分析各统计图的核心作用：条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数量，便于比较数量多少；折线统计图不仅能表示数量多少，还能清晰反映数量的增减变化趋势；扇形统计图能清楚地表示各部分占总体的百分比，反映部分与整体的关系。 ② 逐个匹配场景： （1）统计各年级人数，主要是比较数量多少，适合用条形统计图； （2）统计身高变化，重点看变化趋势，适合用折线统计图； （3）统计出行方式占比，反映部分与整体的关系，适合用扇形统计图。 ③ 验证：三个场景分别对应三种统计图的核心优势，选择合理。 【答案】（1）条形统计图；（2）折线统计图；（3）扇形统计图；理由见解析。 【知识点睛】本题考查三种统计图的特征与适用场景，对应教材核心重难点。 核心特征总结： · 条形统计图：用直条的长短表示数量的多少，优点是便于直观比较数量的大小； · 折线统计图：用折线的起伏表示数量的增减变化，优点是能清晰反映变化趋势与幅度； · 扇形统计图：用整个圆表示总数，用圆内大小不同的扇形表示各部分占总数的百分比，优点是能清楚反映部分与整体的关系。 易错警示：认为折线统计图不能表示数量多少，或者扇形统计图能表示具体数量。 思维拓展（★★★★★）—— 扇形统计图差量对应 题目：六（1）班学生参加兴趣小组的扇形统计图中，美术组占 25%，体育组占 35%，体育组比美术组多 6 人。全班一共有多少人？科技组占 40%，科技组有多少人？ 解题步骤： ① 扇形统计图中，单位“1”是全班总人数。先算出体育组比美术组多的分率：。 ② 多的 6 人对应 10%，求单位“1”用除法： 全班总人数：（人） ③ 科技组人数：总人数 × 对应分率 = （人） 验证：美术组人，体育组人，人，符合题意。 【答案】全班一共 60 人；科技组有 24 人。 【知识点睛】本题是扇形统计图的奥数常考题型，考查量率对应的分析方法。 解题方法：扇形统计图的本质是分率表示，先找到已知量对应的百分率，用对应量 ÷ 对应分率 = 单位“1”的总量；求部分量用总量 × 对应分率。 核心联系：扇形统计图的计算和分数应用题思路一致，都是基于量率对应关系。 易错警示：用 6 除以 35%，量和分率不对应。 考点二：统计图的合理选择 能力进阶（★★★★）—— 根据需求选择统计图 题目：某商场要统计下半年各月的销售额，既要能看出每月销售额的多少，又要能反映销售额的增减变化情况，应该选择哪种统计图？如果要分析各品类销售额占总销售额的占比，应该选哪种？ 解题步骤： ① 第一个需求：既要体现具体数量，又要反映变化趋势，符合折线统计图的特点，折线统计图既可以显示每月销售额的具体数值，又能通过折线起伏清晰看出增减变化。 ② 第二个需求：分析各品类占总销售额的比例，反映部分与整体的关系，符合扇形统计图的特点。 ③ 验证：条形只能比多少，不能看趋势；扇形只能看占比，不能看具体数值；折线两者兼顾，符合第一个需求。 【答案】第一个选折线统计图；第二个选扇形统计图。 【知识点睛】本题考查统计图的选择依据，对应教材重难点。 选择原则：根据统计的目的和需求选择最合适的统计图，不是越复杂越好。 · 只比数量多少：选条形； · 看变化趋势：选折线； · 看部分占整体：选扇形。 易错警示：只要有数据就选条形，忽略趋势、占比的需求。 思维拓展（★★★★★）—— 统计图的转换与一致性 题目：某班学生体重情况，条形统计图显示正常体重的有 24 人，扇形统计图显示正常体重占 60%。能不能根据这两个信息算出全班人数和偏瘦、偏胖的人数？如果能，写出计算过程。 解题步骤： ① 两种统计图描述的是同一个班级的体重情况，数据是一致的。正常体重 24 人对应 60%，单位“1”是全班人数，未知。 ② 全班总人数：（人） ③ 偏瘦和偏胖的总人数：（人）；若已知各自的占比还可以分别计算，这里总人数可求，各部分人数可根据占比算出。 验证：全班 40 人，24 人正常，，和扇形统计图一致。 【答案】能；全班 40 人，偏瘦和偏胖共 16 人。 【知识点睛】本题是统计图转换的奥数拓展题型，考查不同统计图间的数据关联与一致性。 核心结论：描述同一总体的不同统计图，总量是一致的，可以通过一个统计图的具体量和另一个统计图的分率，互推计算。 解题技巧：条形给具体量，扇形给分率，结合起来就能求出总量和所有部分量。 易错警示：认为两种统计图不能互相推导，忽略数据的一致性。 考点三：数据分段整理与分析 能力进阶（★★★★）—— 分段统计与计算 题目：六（2）班 20 名男生的立定跳远成绩如下（单位：米）： 1.65、1.72、1.58、1.80、1.75、1.68、1.78、1.62、1.85、1.70 1.76、1.60、1.82、1.73、1.69、1.77、1.83、1.66、1.71、1.88 按成绩分段整理：1.60 以下、1.60~1.79、1.80 及以上，完成统计表并算出哪个段的人数最多。 解题步骤： ① 按分段标准逐个划记数据： 1.60 以下：1.58，共 1 人； 1.60~1.79：1.65、1.72、1.75、1.68、1.78、1.62、1.70、1.76、1.60、1.73、1.69、1.77、1.66、1.71，共 14 人； 1.80 及以上：1.80、1.85、1.82、1.83、1.88，共 5 人。 ② 验证总人数：人，和总人数一致。 ③ 比较各段人数：，所以 1.60~1.79 米段的人数最多。 【答案】1.60 以下 1 人，1.60~1.79 有 14 人，1.80 及以上有 5 人；1.60~1.79 米段人数最多。 【知识点睛】本题考查数据的分段整理方法，对应教材重难点。 分段原则：不重复、不遗漏，每个数据只能属于一个分段；分段边界通常包含起点不包含终点（或统一规则）。 解题步骤：定分段标准→逐个归类→验证总数→分析结果。 易错警示：边界数据重复统计，比如 1.60 既算在 1.60 以下又算在 1.60~1.69。 思维拓展（★★★★★）—— 分段数据推理 题目：20 名学生的数学成绩分段统计：60 分以下 2 人，60~79 分有 7 人，80~89 分有 8 人，90 分及以上有 3 人。全班的平均分可能是多少？在合适的答案后面画 “√”。 72 分（ ） 82 分（ ） 91 分（ ） 解题步骤： ① 先算出各段的分数范围，估算全班总分的范围。 最低总分：都取各段最低分：分； 最高总分：都取各段最高分：分。 ② 平均分范围：最低平均分，最高平均分。 ③ 三个选项中，72 分和 82 分在范围内，91 分超出最高平均分。再看人数分布，80~89 分人数最多，平均分应该更靠近 80 分，所以 82 分最合理。 验证：82 分在 66.5~84.15 之间，且符合人数集中在中高分段的分布。 【答案】82 分（√） 【知识点睛】本题是分段数据的奥数推理题型，考查根据分段统计估算整体统计量。 解题方法：要估算平均分，先算出总分的最小值和最大值，得到平均分的范围，再结合各段人数的分布判断最合理的值。 核心技巧：人数最多的分段，对平均分的影响最大，平均分更靠近人数最多的分段。 易错警示：直接用各段中间值计算，忽略分布的影响。 考点四：统计决策与综合应用 能力进阶（★★★★）—— 根据统计做决策 题目：某文具店近 4 周钢笔和圆珠笔的销量统计如下： 钢笔：12 支、18 支、20 支、26 支 圆珠笔：30 支、28 支、25 支、21 支 如果老板要进货，你有什么建议？ 解题步骤： ① 先分析两种笔的销量变化趋势： 钢笔销量逐周上升：12→18→20→26，销量持续增长，越来越畅销； 圆珠笔销量逐周下降：30→28→25→21，销量持续减少。 ② 再分析销量对比：前两周圆珠笔销量高，后两周钢笔销量反超，整体钢笔增长趋势明显。 ③ 进货建议：多进钢笔，少进圆珠笔，顺应销量变化趋势，避免积压和缺货。 验证：符合销量变化的规律，增长的多进货，下降的少进货，决策合理。 【答案】建议多进货钢笔，减少圆珠笔的进货量，因为钢笔销量持续上升，圆珠笔销量持续下降。 【知识点睛】本题考查统计数据的实际应用与决策，对应综合实践目标。 核心思路：统计的目的是为决策提供依据，要结合数据的变化趋势、数量多少综合判断。 决策原则：销量增长的增加进货，销量下降的减少进货；销量高的多进货，销量低的少进货。 易错警示：只看总销量，忽略变化趋势。 思维拓展（★★★★★）—— 双统计图综合分析 题目：某商场电器销售情况，条形统计图显示空调销售 120 台，扇形统计图显示空调占总销量的 15%，冰箱占总销量的 20%。冰箱销售了多少台？电视的销量比空调多 25%，电视占总销量的百分之几？ 解题步骤： ① 先根据空调的销量和对应占比，算出总销量： 总销量：（台） ② 冰箱销量：总销量 × 冰箱占比 = （台） ③ 电视销量：（台） 电视占总销量的百分比： 验证：空调 120 台占 15%，总销量 800 台，冰箱 160 台占 20%，电视 150 台占 18.75%，数据一致。 【答案】冰箱销售了 160 台；电视占总销量的 18.75%。 【知识点睛】本题是双统计图综合的奥数拓展题型，考查多种统计信息的整合与推理。 解题方法：先从两个统计图中找到关联的量（既有具体数量又有分率的量），求出单位“1”的总量，再用总量解决其他问题。 核心作用：双统计图综合题，关键是找到“量率对应”的公共量，作为突破口。 易错警示：直接用 120 乘 20% 算冰箱销量，忽略分率对应的总量。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：混淆三种统计图的作用 错误示例：要表示各部分占整体的百分比，选条形统计图。 正确分析：表示占比选扇形统计图，条形只能表示数量多少。 修正方法：比多少选条形，看变化选折线，表占比选扇形。 易错点 2：扇形统计图量率不对应 错误示例：美术组 10 人，占 20%，总人数人。 正确分析：求单位“1”用除法，总人数人。 修正方法：已知部分求整体，用除法，对应量 ÷ 对应分率。 易错点 3：分段统计边界重复 错误示例：1.60 既算在 1.60 以下，又算在 1.60~1.70。 正确分析：每个数据只属于一个分段，通常“含前不含后”，1.60 属于 1.60~1.70 段。 修正方法：分段不重不漏，边界统一归属。 易错点 4：折线图只看趋势不看数值 错误示例：折线上升就代表数量很多。 正确分析：折线上升只代表增长，数量多少还要看纵轴数值。 修正方法：看趋势，也要看数值大小。 易错点 5：统计决策片面化 错误示例：总销量高就多进货，忽略下降趋势。 正确分析：决策要结合总量、趋势、结构综合判断。 修正方法：看总量，看趋势，综合决策。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 1. 要清楚表示各班级的人数多少，选（ ）统计图。 2. 扇形统计图用整个圆表示（ ），用扇形表示（ ）。 3. 要反映一天的气温变化情况，选（ ）统计图最合适。 4. 六（1）班男生占全班的 55%，女生占全班的（ ）%。 5. 数据分段统计时，要做到不（ ）、不（ ），每个数据只属于一段。 6. 折线统计图不仅能表示（ ），还能反映（ ）。 7. 扇形统计图中，所有百分比的和是（ ）%。 8. 统计全校各年级人数，用（ ）统计图；统计各年级人数占全校的百分比，用（ ）统计图。 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 9. 扇形统计图中，苹果树占果园总面积的 30%，梨树占 45%，梨树比苹果树多 30 棵。果园一共有多少棵果树？ 10. 10 个同学的跳绳成绩分段：100 下以下 3 人，100~140 下 5 人，140 以上 2 人。他们的平均成绩可能是多少？在 110 下、125 下、145 下中选择。 11. 某班期中数学成绩，条形图显示 80 分的有 12 人，扇形图显示 80 分占 30%。全班有多少人？90 分以上占 25%，有多少人？ 12. 某商店上半年的营业额逐月上升，2 月比 1 月增长 10%，3 月比 2 月增长 10%，3 月营业额是 1 月的百分之几？ 13. 下面三个统计图，哪个更适合表示学校各类图书占图书总数的比例？ A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 14. 根据统计，甲商品销量连续 3 个月下降，乙商品销量连续 3 个月上升。老板应该怎么调整进货量？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】条形 解题步骤： ① 表示数量多少，便于比较，选条形统计图。 【知识点睛】考查条形统计图特点。核心：条形比多少。易错警示：折线。 2. 【答案】总数（单位“1”）；各部分占总数的百分比 解题步骤： ① 扇形统计图的意义：整圆是总数，扇形是各部分占比。 【知识点睛】考查扇形统计图意义。核心：整圆是整体。易错警示：部分数量。 3. 【答案】折线 解题步骤： ① 反映变化情况，选折线统计图。 【知识点睛】考查折线统计图特点。核心：折线看变化。易错警示：条形。 4. 【答案】45 解题步骤： ① 全班是单位“1”，。 【知识点睛】考查扇形百分比和。核心：总和 100%。易错警示：55。 5. 【答案】重复；遗漏 解题步骤： ① 分段统计原则：不重复、不遗漏。 【知识点睛】考查分段原则。核心：每数归一段。易错警示：重复、遗漏写反。 6. 【答案】数量的多少；数量的增减变化趋势 解题步骤： ① 折线统计图的两个作用：表示数量、反映变化。 【知识点睛】考查折线特点。核心：两个功能。易错警示：只写一个。 7. 【答案】100 解题步骤： ① 所有部分合起来是整体，百分比和为 100%。 【知识点睛】考查扇形总和。核心：百分比和为 1。易错警示：1。 8. 【答案】条形；扇形 解题步骤： ① 比人数多少用条形；看占比用扇形。 【知识点睛】考查统计图选择。核心：按需选择。易错警示：都选条形。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】200 棵。 解题步骤： ① 梨树比苹果树多的分率：； ② 总棵数：棵。 【知识点睛】考查扇形量率对应。核心：差量 ÷ 差分率 = 总量。易错警示：20 棵。 10. 【答案】125 下（√）。 解题步骤： ① 最低平均：下； 最高平均：下； ② 125 下在合理范围内，且人数集中在 100~140 分段，最符合分布规律。 【知识点睛】考查分段估算。核心：先算范围再判断。易错警示：110 下。 11. 【答案】全班 40 人；90 分以上有 10 人。 解题步骤： ① 全班人数：人； ② 90 分以上：人。 【知识点睛】考查双图综合。核心：量率对应求总量。易错警示：3.6 人。 12. 【答案】121%。 解题步骤： ① 设 1 月营业额为 1，2 月：； ② 3 月：； ③ 是 1 月的：。 【知识点睛】考查连续增长。核心：依次乘增长分率。易错警示：120%。 13. 【答案】C 解题步骤： ① 表示占比，选扇形统计图。 【知识点睛】考查统计图选择。核心：占比选扇形。易错警示：A。 14. 【答案】减少甲商品的进货量，增加乙商品的进货量。 解题步骤： ① 销量下降的少进货，销量上升的多进货，顺应趋势。 【知识点睛】考查统计决策。核心：结合趋势决策。易错警示：只看总量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $